九下 2.5.3 切线长定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

课时导入 我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 知识讲解 P 1. 切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量． 2. 切线长与切线的区别在哪里？ 探究 B P O A 在透明纸上画出下图，设 PA，PB 是☉O 的两条切线，A、B 是切点，沿直线 OP 将图形对折，你能猜测一下 PA 与 PB，∠APO 与 ∠BPO 分别有什么关系吗？ （利用图形轴对称性解释） PA = PB，∠APO = ∠BPO. B P O A 我们猜测：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图，连接 OA，OB. ∵ PA，PB 与☉O 相切，点 A，B 是切点， ∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，即 ∠OAP = ∠OBP = 90°. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△AOP ≌ Rt△BOP (HL)， ∴ PA = PB ，∠OPA = ∠OPB. B P O A 下面我们来证明上述猜测是真的. 知识讲解 切线长定理: 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. PA、PB 分别切☉O 于 A、B PA = PB ∠OPA = ∠OPB B P O A 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 例 如图，AD 是☉O 的直径，点 C 为☉O 外一点，CA 和 CB 是☉O 的切线，A 和 B 是切点，连接 BD. 求证：CO//BD. 分析：连接 AB，因为 AD 为直径，那么∠ABD = 90°，即 BD⊥AB. 因此要证 CO//BD，只要证 CO⊥AB 即可. 证明：如图，连接 AB. ∵CA、CB 是☉O 的切线，点 A、B 是切点， ∴CA = CB，∠ACO = ∠BCO， ∴CO⊥AB. ∵AD 是☉O 的直径， ∴∠ABD = 90°， 即BD⊥AB， ∴CO//BD. 特别提醒 经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等. 切线长问题辅助线添加方法 (3)连接圆心和圆外一点. (2)连接两切点； (1)分别连接圆心和切点； 知识讲解 随 堂 小 测 1.如图，直线 AB，AD 分别与☉O 相切于点 B，D，C 为☉O 上一点， 且 ∠ BCD = 130°，则 ∠A 的度数是( ) A．70° B．85° C．80° D．100° C 2.如图，已知四边形 ABCD 的每条边都和☉O 相切，且 BC = 10，AD = 7，则四边形 ABCD 的周长为( ) A．32 B．34 C．36 D．38 B 解：设四边形的各边与圆的切点分别为 P，Q，M，N， 则 AQ = AM，BN = BM，CN = CP，DP = DQ， 所以四边形 ABCD 的两组对边的和相等， 所以四边形 ABCD 的周长 = 2×(7+10) = 34． P Q M N D C A B 3.如图，菱形 ABCD 的边长为 10，圆 O 分别与 AB、AD 相切于 E、F 两点，且与 BG 相切于 G 点．若 AO = 5，且圆 O 的半径为 3，则 BG 的长为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解：如图，连接 OE. ∵☉O 与 AB相切于 E，∴ ∠AEO = 90°， ∵AO = 5，OE = 3， ∵AB = 10，∴BE = 6. ∵BG 与☉O 相切于 G，∴BG = BE = 6. C B P O A 4. PA、PB 是☉O 的两条切线，A，B 是切点，OA = 3. (1)若AP = 4，则OP = ； (2)若∠BPA = 60°，则 OP = . 5 6 5.如图，PA，PB 切☉O 于 A，B 两点，CD 切☉O 于点 E，交 PA， PB 于点 C，D. 若☉O 的半径为 2，△PCD 的周长等于 4，则 线段 AB 的长是_____ . 6.如图，AB，BC，CD 分别与☉O 相切于点 E，F，G， 若∠BOC = 90°，求证：AB//CD． 证明：∵∠BOC = 90°，∴∠OBC＋∠OCB = 90°. 又∵ BE 与 BF 为☉O 的切线， ∴ BO 为 ∠EBF 的平分线．∴ ∠OBE = ∠OBC. 同理可得 ∠OCB = ∠OCG. ∴ ∠OBE＋∠OCG = ∠OBC＋∠OCB = 90°， ∴ ∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG = 180°， 即 ∠ABF＋∠DCF = 180°，∴AB//CD. 7.如图，PA、PB 是☉O 的切线，A、B 为切点，AC 是☉O 的直径，∠BAC = 25°，求∠P 的度数. 解：由切线长定理可知 PA = PB. ∵ PA 是☉O 的切线. ∴ ∠OAP = 90°. ∵ ∠BAC = 25°，∴ ∠BAP = 65°. 又∵ PA = PB，∴ ∠BAP = ∠ABP = 65°， ∴ ∠P = 180°-∠BAP-∠ABP = 50°. 8.如图，一个油桶靠在墙边，量得WY = 1.65 m，并且 XY⊥WY，这个油桶底面半径是多少? 解：设圆心为 O，连接 OW，OX. ∵ YW，YX 均是☉O 的切线，∴ OW⊥WY，OX⊥XY. 又∵ XY⊥WY，∴∠OWY = ∠OXY = ∠WYX = 90°， ∴ 四边形 OWYX 是矩形， 又∵ OW = OX，∴四边形 OWYX 是正方形，∴ OW = WY = 1.65 m， 即这个油桶底面半径是1.65 m. 9.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得 PA = 5 cm，求铁环的半径． 分析：欲求半径 OP，取圆的圆心为 O，连接 OA，OP，由切线性质知 △OPA 为直角三角形，从而在 Rt△OPA 中由勾股定理易求得半径． O 在 Rt△OPA 中，PA = 5，∠POA = 30°， O Q 解：过 O 作 OQ⊥AB 于 Q，设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA. ∵AP、AQ 为☉O 的切线， ∴AO 为∠PAQ 的平分线，即∠PAO = ∠QAO. 又∠BAC = 60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC = 180°，∴∠PAO = ∠QAO = 60°. 即铁环的半径为 小结 切线长 切线长定理 作用 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 内容 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点 之间的线段的长. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 2 $$