九下 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

知识回顾 问题1 一次函数 y = kx+b( k ≠ 0 ) 有几个待定系数？通常需要已 知几个点的坐标求出它的表达式？ 2个 2个 只要求出k和b的值，就可以确定一次函数表达式. ！ 问题2 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法： (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 课时导入 问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个待定系数？ 需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格 的一部分，要求这个二次函数的表达式. x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 解：设这个二次函数的表达式是y = ax2+bx+c， 把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)代入y = ax2+bx+c得 ① 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4， c=-3. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -x2-4x-3. 待定系数法步骤： 1.设：(表达式) 2.代：(坐标代入) 3.解：方程(组) 4.还原：(写表达式) 例1 已知一个二次函数的图象经过三点 (1，3)，(-1，-5)，(3，-13) ，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，将三点坐标 (1，3)，(-1，-5)，(3，-13) 分别代入函数表达式，得 a-b+c=-5， 9a+3b+c=-13， 解得 因此，所求的二次函数的表达式是y = -3x2+4x+2. a+b+c=3， a=-3，b=4，c=2. 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ (1) P(1，-5)， Q(-1，3)， R(2，-3)； (2) P(1，-5)， Q(-1，3)， M(2，-9). 例2 解：(1)设有二次函数 y = ax2+bx+c，它的图象经过 P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a + b + c= -5， a - b+ c = 3， 4a + 2b+c = -3， 因此，二次函数 y = 2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点. (2) 设有二次函数 y = ax2+bx+c 的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于 a，b，c 的三元一次方程组： a + b + c = -5， a - b + c = 3， 4a + 2b + c = -9， 解得 a =0，b = -4，c = -1. 因此，一次函数 y = - 4x -1 的图象经过 P，Q，M 三点. 这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过 P，Q，M 三点. 解得 a = 2，b = -4，c = -3. 例 2 说明了什么？  若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.  二次函数 y = ax2+bx+c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 交点法求二次函数的表达式 选取点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 解：∵(-3，0)，(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点，∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)，(其中x1、x2为交点的横坐标) 因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点(0，-3)代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1)，即y=-x2-4x-3. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 顶点法求二次函数的表达式 选取顶点(-2，1)和点(1，-8)，试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k， 把顶点(-2，1)代入y = a(x - h)2 +k 得 y = a(x + 2)2 +1， 再把点(1，-8)代入上式得 a(1+2)2 + 1 = -8， 解得a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是y = -(x + 2)2 +1或y = -x2 - 4x -3. 知识讲解 这种已知任意三点坐标求二次函数表达式的方法叫作一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a，b，c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 一般式法求二次函数表达式的方法 知识讲解 这种已知抛物线与x轴的交点求二次函数表达式的方法叫作交点法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1，x2代入，得到关于a的一元一次方程； ③将第三点坐标代入方程求出a的值； ④把a用数字换掉，写出函数表达式. 交点法求二次函数表达式的方法 知识讲解 这种已知抛物线的顶点坐标求二次函数表达式的方法叫作顶点法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入方程求出a的值； ④把a用数字换掉，写出函数表达式. 顶点法求二次函数表达式的方法 随 堂 小 测 1.一个二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9) 三点，则这个二次函数的表达式为( ) A．y=－10x2+x B．y=－10x2+19x C．y=10x2+x D．y=－x2+10x D 2. 一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过点(0，－4)，则这个二次函数的表达式为(　　) A．y＝－2(x＋2)2＋4 B．y＝2(x＋2)2－4 C．y＝－2(x－2)2＋4 D．y＝2(x－2)2－4 C 3.已知一条抛物线经过E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1) 四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线表达式的为(　　) C A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G 4.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 2 1 3 4 5 注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式. 注意 5.过点(2，4)，且当x=1时，y有最值为6，则其表达式为 . 顶点坐标是（1，6） y=-2(x-1)2+6 6.如果抛物线 y = x2 - 6x + c -2 的顶点到 x 轴的距离是 3，那么 c 的值等于___________. 8或14 7. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点 A(－1，0)，B(1，0) 是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y＝ a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点 M(0，1)， 所以1＝ a(0＋1)(0－1)，解得 a＝ －1， 所以所求抛物线的表达式为 y＝ －(x＋1)(x－1)， 即 y＝－x2 ＋1. 8.已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0，－3)和(3，0)． (1)求a，h的值； (2)将该抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线对应的函数表达式． （2）新的抛物线对应的函数表达式为y＝(x－2)2－2. 小结 特殊位置抛物线的表达式的设法技巧： 1. 顶点在原点，可设为y=ax2； 2. 对称轴是y 轴( 或顶点在y 轴上)，可设为y=ax2+k； 3. 顶点在x 轴上，可设为y=a(x－h)2； 4. 抛物线过原点，可设为y=ax2+bx. 小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1，x2为交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数的表达式 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 解：将点(0，－3)和(3，0)的坐标分别代入y＝a(x－1)2＋h，得 解得故a，h的值分别为1，－4. $$