九上 3.2 平行线分线段成比例-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(湘教版)

第3章 图形的相似 3.2 　平行线分线段成比例 1 学习目标 1.掌握基本事实：平行线分线段成比例. （重点） 2.了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等”“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 课时导入 观察与思考 下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？ a b c 知识讲解 知识点1 平行线等分定理 已知：直线 a∥b∥c，且 AB = BC. 求证：A1B1 = B1C1. 证明猜想 证明：过点 B 作直线 l3∥l2，分别与直线 a，c 相交于点 A2，C2，由于 a∥b∥c，l3∥l2，因此 A2B = A1B1 ，BC2 = B1C1， 易证：△BAA2≌△BCC2.从而 BA2 = BC2，所以 A1B1 = B1C1. a b c l3 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 归纳总结 知识点2 平行线分线段成比例的概念 如图，任意画两条直线l1，l2,再画三条与l1，l2相交的平行线a,b,c.l1，l2 被直线a,b,c截得的线段分别是AB，BC，A1B1，B1C1，若AB=BC， 请问与相等吗？ 相等，都等于1. b c a 平移直线c,若，请问与相等吗? 证明：已知=,如图，把线段AB二等分，分点是D.过点D作直线d∥a，交l2于点D1．把线段BC三等分，三等分点为E，F，分别过点E，F作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1,F1. e a b c f d 因此AD=DB=BE=EF=FC. 由于a ∥ d∥ b∥ e∥f∥ c， 因此A1O1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1. 从而=. 由于AD=DB= AB，BE=EF=FC=BC， 由已知=，得AB=BC. 若条件“ ”改为“ ”(其中m,n是正整数),请问 的结果是什么呢？ 类似地,进一步可证明,若 (其中k为无理数),则 从而 我们还可以得到 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例. 由此，得到以下基本事实 知识点3 平行线分线段成比例定理的推论的运用 问题：如图，在△ABC中，已知DE∥BC,则=和=成立吗？为什么？ A B C D E M N 如图，过点A作直线MN，使 MN//DE. ∵DE//BC, ∴MN//DE//BC. 因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截. 同时还可以得到 则由平行线分线段成比例可知 由此得到以下结论： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 典例分析 例1：如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( ) A. B. C. D. D A C E B D F l2 l1 l3 例2：如图，在△ABC 中， EF∥BC. (1) 如果 E，F 分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE = 7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ A B C E F 解：∵ ∴ 解得 AF = 4. (2) 如果AB = 10，AE = 6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？ A B C E F 解：∵ ∴ 解得 AC = . ∴ FC = AC－AF = . 随 堂 小 测 1.如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(　　) A. B. C. D. D 2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE = 2 cm，BE = 6 cm，BC = 4 cm，则EF 长 ( ) A A. 1 cm B. cm C. 3 cm D. 2 cm A B C E F A B C E D 3.填空题： 如图：DE∥BC， 已知： 则 . 4.在△ABC 中，ED∥AB，若 ， 则 ， . C A B D E 5. 如图，已知菱形 ABCD 内接于 △AEF，AE = 5 cm，AF = 4 cm，求菱形的边长. 解：∵ 四边形 ABCD 为菱形， B C A D E F ∴ CD∥AB， ∴ 设菱形的边长为 x cm， 则 CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm， ∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm. 6.如图，AB = AC，AD⊥BC 于点 D，M 是AD 的中点，CM 交 AB 于点 P，DN∥CP. （1）若 AB = 6 cm，求 AP 的长； （2）若 PM = 1 cm，求 PC 的长. A C D B M N P 解：(1)∵AB = AC，AD⊥BC 于点 D，M 是 AD 的中点，∴DB = DC，AM = MD. ∵DN ∥CP， 又∵AB = 6 cm， ∴ AP = 2 cm. （2）若 PM = 1 cm，求 PC 的长. ∵ DN∥CP， 又∵ PM = 1 cm， ∴ PC = 2ND = 4PM = 4 cm. 解：由（1）知 AP = PN =NB， A C D B M N P 小结 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 25 C A1 B1 C1 l1 l2 A B C A1 B1 C1 A2 C2 l1 l2 A B C A1 B1 C1 l1 l2 A B B C A1 B1 C1 D E F D1 E1 F1 l1 l2 A $$