21.1一元二次方程 课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版2025·九年级上册 第二十一章 一元二次方程 21.1一元二次方程 章节导读 21.1一元二次方程 21.2.1配方法（2课时） 21.2.2 公式法（2课时） 21.2.3 因式分解法 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 21.3 实际问题与一元二次方程（3课时） 2 学习目标 学 习 目 标 1 2 了解一元二次方程及其根的概念.（重点） 能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数（难点） 情境导入 🎯 黄金比例中的数学之美（2min） 这是西方的维纳斯女神雕像，也是一副极具美感的雕像 其实，它的“美”藏在一个数学秘密里——黄金比例 美学研究发现，当‘腰上部高度:腰下部高度=腰下部高度:整体高度’时，雕像会呈现出最和谐的美感。这个比例约为0.618 假设这个雕像高2米，设下部高为米，上部就是米 根据其比例关系列出并整理后得到 这个方程和我们之前学的一元一次方程有什么不同？又该怎样定义这个方程？ 下面我们一起来学习这类方程！ 自主思考 🎯 一元二次方程的概念（3min（思）+2min（展）） 认真阅读教材2、3页观察方程①②③. 以上三个方程有什么共同点？ （1）这三个方程的两边都是整式. （2）方程中都只含有一个未知数 且未知数的最高次数是2 具有以上特点的方程我们就叫做一元二次方程 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程. 即时训练 🎯 一元二次方程的识别（3min） 下列那些方程是一元二次方程并说明理由： ①x=3y ②=- ③x+3=5 ④3(x-5)-1=2x ⑤-6x-3=0 解：① ：含有2个未知数（），不是一元二次方程； ② ：分母含未知数（），是分式方程，不是一元二次方程； ③ ：未知数最高次数是1，不是一元二次方程； ④ ：整理后为，未知数最高次数是1，不是一元二次方程； ⑤ ：满足“整式、一元、二次”三个条件，是一元二次方程 小组讨论 🎯 一元二次方程的一般形式（3min） 一元二次方程的一般形式是a+bx+c=0(a≠0)，想想为什么要规定a≠0？ 答:由一元二次方程的定义可知，其必须具有二次项，若a=0，则二次项消失，方程变为bx+c=0，不再是“二次”方程 自主思考 🎯 一元二次方程的一般形式（3min） 阅读教材第3页例题，并将方程2x(x+1)-x-2=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 二次项系数为2 一次项系数为1 常数项为-3 即时训练：若方程（m-1）+ x=1是关于 x 的一元二次方程，则m的取值范围是 小组讨论 🎯 一元二次方程的解（2min） 阅读教材3页“思考”下面部分内容完成以下任务. 使方程_______________的____________就是这个一元二次方程的______，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____. 🧠 一元二次方程的解的定义 左右两边相等 未知数的值 解 根 即时训练 🎯 一元二次方程的解（4min） 下面哪些数是方程+3x-10=0的根？ -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5. 解：代入：，是根； 代入：，是根； 其他数代入后均不为0 想要检测是否是方程的根，只需将数字带入方程，如果左右两边的式子结果一致，则为方程的解 学习检测 🎯 共13min 1. 一元二次方程3=5x的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0 2. 下列哪些数是方程+x-12=0的根？ －4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4. C 解：代入：，是根； 代入：，是根； 其他数代入后均不为0 在找二次项、一次项、常数项的系数之前。需先将方程化为一般形式. 学习检测 🎯 共13min 3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）3 +1=6x； （2）4 =81－5x； （1）解：移项：； 二次项系数： 一次项系数： 常数项： （2）解：移项： 二次项系数：； 一次项系数：； 常数项：. 学习检测 🎯 共13min 4. 如果2是方程-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根. 解：代入根：，解得； 方程变为，因式分解得，所以另一个根是. 课堂总结 📜 核心知识 ①一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程. ②一元二次方程的一般形式 a+bx+c=0(a≠0)，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 ②一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 同步练大题解析 1.将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项 (1) (2) 解：(1) 展开得 合并同类项后得 （非一元二次方程） (2) 去分母： 去括号后得 （) 同步练大题解析 2. 已知方程： (1) 当 为何值时，方程为一元一次方程？ (2) 当 为何值时，方程为一元二次方程？ 解：(1) 需 且 由以上可得 (2) 需 则 同步练大题解析 3.如图，用篱笆围成矩形花圃，靠墙一边不围篱笆（墙长20 m），篱笆总长36 m。 (1) 设垂直于墙的边长为 m，用含 的代数式表示花圃面积； (2) 若面积为 ，求 的值并判断是否可行。 解：(1) 平行于墙的边长 = 则 面积 (2) 解方程： 去括号可得 解得 , 验证：当 ，平行边=16<20（可行）；当 ，平行边=20（可行） 同步练大题解析 4.已知关于 的方程： (1) 若方程有且仅有一个解，求 的值； (2) 当 时，判断方程是否为一元二次方程并说明理由。 解：(1) 分类讨论： ① 当 （即 )，一元二次方程有唯一解需判别式=0 ② 当 ： 若 ，方程化为 （一元一次，有解 )； 若 ，方程化为 ，化简后得 （无解） ∴ 仅有 满足题意 (2) 时：方程化为 ，满足 ，是一元二次方程 感谢聆听 $$