3.1 第1课时 二次根式的概念及性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(湘教版2024)

该教案聚焦二次根式的概念及性质，通过复习平方根、算术平方根等旧知，如提问16的平方根、0的算术平方根等，搭建从已学知识到新知的学习支架，梳理前后知识脉络。 其特色在于结合第一宇宙速度等实际情境引入，通过小组讨论归纳被开方数非负性及性质，培养抽象能力与推理意识。例题与“做一做”强化应用，结构清晰，助力教师高效教学，提升学生数学思维与应用意识。

课题 第3章 3.1 二次根式的概念及性质 第1课时 二次根式的概念及性质 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能  1.了解二次根式的概念. 2.掌握二次根式的基本性质. 3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围. 二、过程与方法  经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力. 三、情感、态度与价值观  经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体会发现的快乐，并提高应用的意识. 教学重点、难点 教学重点：二次根式的概念及意义. 教学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题. 教学方法 本节课主要学习二次根式的概念，讨论二次根式一些简单的性质，为后面的学习打下基础. 教学准备 多媒体课件 教学过程 1.新课导入 1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 3.16的平方根是什么？算术平方根是什么？ 4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 5.-7有没有平方根？有没有算术平方根？ 【说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况． 2.讲授新课 1.思考： （1）2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的? （2）用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为重力加速度.若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（用带有根号的式子表示） （3）比较（1）（2）的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？ （1）2，3，5的算术平方根分别为，，. （2）因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度v=. (3) ，，与等都是形如的式子. 【归纳结论】一般地，形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数． 我们知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，分别为和一，其中称为a的算术平方根.同时，在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 【说明】通过复习平方根，以及一个实际问题的结果可以表示成二次根式的形式来引出二次根式的概念，教学时，可以根据学生的实际情况，选择他们感兴趣的实际问题引入，但仍要复习平方根、算术平方根的相关概念. 2.思考： 二次根式“”中被开方数a能取任意实数吗？ （学生小组交流讨论，教师总结） 【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义． 对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此 （）2=a（a≥0）. 3.做一做： 填空： （1） ； （2） ； 1.2 （3） ；（4） ； 1.2 由于a的平方等于a²，因此a是a2的一个平方根.当a≥0时，根据算术平方根的意义，有=a，由此得出：=a（a≥0）. 由于-a的平方等于a²，因此-a是a²的一个平方根.当a＜0时，-a>0，根据算术平方根的意义，可以得到：==-a（a<0）. 【归纳结论】二次根式的性质： =|a|= 【说明】通过分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳，获得猜想，然后利用算术平方根的意义对这条性质进行分析推理.整个栏目的过程渗透了“观察抽象—归纳猜想—演绎推理—得到法则”的思路，对于培养学生科学、严谨的数学思维方式以及积累基本活动经验是有积极意义的. 【提示】学生小组交流期间师巡回指导，引导学生小结形成新知，理解新知；引导学生对二次根式的性质做出合理的解释． 3.典型例题 例1：当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？ 解 由x-1≥0，解得x≥1. 因此，当x≥1时，在实数范围内有意义． 例2：计算： （1）（）2； （2）（-2）2. 解：（1）（）2=5. （2）（-2）2=（2）2=22+（）2=4×2=8. 例3：计算： （1） ； （2）. =|3-π|=π-3. （2） =||=. 4.课堂小结 根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如；②被开方数为非负数. 求不等式组的特殊解时，先解每一个不等式，求出不等式组的解集，然后根据题目要求确定特殊解．确定特殊解时也可以借助数轴. 要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零. 利用＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号. 5.板书设计 二次根式 教学设计反思 本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质. 学科网（北京）股份有限公司 $$