6.3 角 同步练 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

第2课时 角的平分线与角的乘除运算 A组·基础达标 知识点1 角的平分线 1．［2024无锡模拟］如图， ， ，是的平分线，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．［2024沈阳模拟］如图，点在直线上，射线平分.若 ，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．按图①～图④的步骤作图，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 4．如图,,为内的两条射线,平分,.若 ,则的度数是_ _ _ _ _ _ . 5．如图，平分，平分. （1） 若 ， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ ； （2） 若 ， ，求的度数. 知识点2 等分角 6．如图，将一个圆形的蛋糕等分成六份，则每一份中的角的度数为_ _ _ _ _ _ . 知识点3 角的乘除运算 7．计算： （1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） _ _ _ _ _ _ _ _ . 易错点 角平分线的概念理解不透导致的错误 8．已知是内的一条射线，下列条件中不能确定是的平分线的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，若有，，则下列结论错误的是（ ） A．是的平分线 B．是的平分线 C． D．是的平分线 B组·能力提升 10．如图，已知是的平分线，是的平分线.如果 ，比的2倍还多 ，那么的度数为_ _ _ _ _ _ . 11．计算： （1） ； （2） . 12．如图，是直线上的一点， ，是的平分线， ，求和的度数． 13．如图,直线,相交于点, ,平分,设 . （1） 求和的度数（用含的式子表示）; （2） 当为何值时,? C组·核心素养拓展 14．【推理能力】已知在同一平面内, , . （1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 若平分,平分,则的度数为_ _ _ _ _ _ . （3） 在（2）的条件下,将题目中的 改成,其他条件不变,你能求出的度数吗？若能,请写出求解过程;若不能,说明理由. 第2课时 角的平分线与角的乘除运算 A组·基础达标 知识点1 角的平分线 1．A 2．A 3．D 4． 5．（1） （2） 解：平分，平分， . 又 , . 知识点2 等分角 6． 知识点3 角的乘除运算 7．（1） （2） 易错点 角平分线的概念理解不透导致的错误 8．C 9．D B组·能力提升 10． 11．（1） 解：原式 . （2） 原式 . 12．解： ， ， . 是的平分线， ， ． 13．（1） 解: , , . . 平分, . （2） , , 令,则, 解得. 当的值为54时,. C组·核心素养拓展 14．（1） 或 （2） （3） 解:分两种情况讨论: 当在内部时,如答图①. 平分,平分, ,. ; 当在外部时,如答图②. 平分,平分, ,. . 综上所述,的度数为 . 第14题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.3 余角和补角 A组·基础达标 知识点1 余角和补角的定义 1．如果 , ,那么是的（ ） A．直角 B．余角 C．补角 D．平角 2．已知，则它的余角的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（1） 若 ,则 的补角的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ , 的余角的度数为_ _ _ _ _ _ , 的补角与余角的度数差为_ _ _ _ _ _ ; （2） 若一个角是,则它的余角的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 4．［2023赣州模拟］按如图所示放置三角尺和直尺． （1） 与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 若的补角比的2倍多 ，求的度数． 知识点2 余角、补角的性质 5．如图，如果 ，那么，这是根据（ ） A．直角都相等 B．等角的余角相等 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 6．若 ，且 ， ，则与的大小关系是_ _ _ _ ，理由是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 7．［2023平顶山模拟］如图， ． （1） 与相等吗？请说明理由. （2） 若 ，射线平分，则的度数为_ _ _ _ _ _ . 易错点1 混淆互余和互补的概念而致错 8．下列说法正确的有_ _ _ _ （填序号）. ①钝角与锐角互补; ② 的余角是 ; ③的补角是 ; ④若 ,则,,互余. 易错点2 找余角或补角时漏解 9．如图,直线与相交于点,且 ，则与互余的角有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . B组·能力提升 10．［2025清远模拟］如图，一副三角尺按图中的位置摆放，其中 和 具有互余关系的位置是（ ） A． B． C． D． 11．如果 和 互补，且 ，则下列表示 的余角的式子： ； ；；.其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．［2024永州模拟]如图，是直线上一点，平分，，平分，与互余，则_ _ _ _ _ _ . 13．如图，是直线上的一点， ，． （1） 的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 图中有哪几对角互为余角？ （3） 图中有哪几对角互为补角？ C组·核心素养拓展 14．［2025长沙模拟］【推理能力】已知 ，与互余，平分. （1） 在图①中，若 ，求的度数. （2） 在图①中，设 ， ，请探索 与 之间的数量关系. （3） 已知条件不变，当绕点逆时针转动到如图②的位置时，（2）中 与 的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请探索 与 之间的数量关系. 6.3.3 余角和补角 A组·基础达标 知识点1 余角和补角的定义 1．C 2．B 3．（1） ； ； （2） 4．（1） （2） 解：设 ，则 . 由题意，得， 解得. 的度数是 ． 知识点2 余角、补角的性质 5．C 6．； 等角的补角相等 7．（1） 解：.理由如下： ， ， 即. （2） 易错点1 混淆互余和互补的概念而致错 8．③ 易错点2 找余角或补角时漏解 9．, B组·能力提升 10．D 11．C 12． 13．（1） （2） 解：互余的角有：与，与，与，与． （3） 互补的角有：与，与，与，与，与，与，与． C组·核心素养拓展 14．（1） 解：与互余， . 平分， . ， . （2） 与互余， . 平分， . ， ， ， . （3） 不成立. 与互余， . 平分， . ， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 角 6.3.1 角的概念 A组·基础达标 知识点1 角的定义及表示方法 1．下列说法中,正确的是（ ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角 C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形 2．如图,分别填出下列各角的另一种表示方法: 即_ _ _ _ _ _ _ _ ,即_ _ _ _ _ _ ,即_ _ _ _ _ _ _ _ ,即_ _ _ _ _ _ _ _ ,即_ _ _ _ ,即_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 知识点2 角的度量 3．下列各角中：周角、平角、平角、平角，是钝角的是_ _ _ _ _ _ _ _ . 4．用度表示下列各角： （1） _ _ _ _ _ _ _ _ ; （2） _ _ _ _ _ _ _ _ ; （3） _ _ _ _ _ _ _ _ . 5．将下列各角用度、分、秒表示： （1） ; （2） ; （3） . 知识点3 方向角 6．如图，根据点，，，，在图中的位置填空． （1） 射线表示_ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 射线表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （3） 射线表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （4） 射线表示_ _ _ _ _ _ _ _ ； （5） 射线表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 7．如图,点位于点正北方向,点位于点北偏东 方向,点位于点南偏东 方向,则的度数为_ _ _ _ _ _ . 知识点4 钟面角 8．[［2024衡阳模拟］]自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是_ _ _ _ _ _ . 9．[［2024衡阳模拟］]下午5：15是同学们的阳光体育活动时间，那5：15时的分针与时针的夹角是_ _ _ _ _ _ _ _ . B组·能力提升 10．若,, ,则有（ ） A． B． C． D． 11．如图,是一条直线,图中小于平角的角的个数是（ ） A．4 B．8 C．9 D．10 12．在图中画出下列方向的射线． （1）射线南偏东 ； （2）射线北偏东 ； （3）射线西南方向． 13．［2024长沙模拟］如图，以点为顶点的角有几个？把它们表示出来.以点为顶点的小于平角的角有几个？把它们表示出来. C组·核心素养拓展 14．【模型观念】从12时整开始,至少再过多少分钟,分针与时针再一次重合？ 15．【推理能力】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角,这个公共端点叫作角的顶点. （1） 如图①,在角的内部作1条射线,那么图中一共有_ _ _ _ 个角; （2） 如图②,在角的内部作2条射线,那么图中一共有_ _ _ _ 个角; （3） 如图③,在角的内部作3条射线,那么图中一共有_ _ _ _ 个角; （4） 若在角的内部作条射线,那么图中一共有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 个角; （5） 以直线外一点为端点,向直线上的个点作射线,则以点为顶点,以这些射线为边的角（小于）的个数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （用含有的式子表示）. 6.3 角 6.3.1 角的概念 A组·基础达标 知识点1 角的定义及表示方法 1．C 2．； ； ； ； ； 或或 知识点2 角的度量 3．平角 4．（1） （2） （3） 5．（1） 解:,, . （2） ,. （3） ,. 知识点3 方向角 6．（1） 东北方向 （2） 北偏西 （3） 南偏西 （4） 正南方向 （5） 南偏东 7． 知识点4 钟面角 8． 9． B组·能力提升 10．C 11．C 12．解：如答图. 第13题答图 13．解：以点为顶点的角有3个，分别是，，， 以点为顶点的小于平角的角有4个，分别是，，，. C组·核心素养拓展 14．解:设至少再过，分针与时针再一次重合. 由题意,得, 解得. 从12时整开始,至少再过,分针与时针再一次重合. 15．（1） 3 （2） 6 （3） 10 （4） （5） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.2 角的比较与运算 第1课时 角的比较与角的和差运算 A组·基础达标 知识点1 角的比较 1．［2024西安模拟］用“叠合法”比较与的大小，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图,若,则（ ） A． B． C． D．,的大小不确定 3．如图，比较下列各角的大小，用“ ”或“ ”填空： （1） _ _ _ _ ； （2） _ _ _ _ ； （3） _ _ _ _ . 知识点2 角的和差运算 4．将一副直角三角尺按如图所示摆放,则图中的度数是（ ） A． B． C． D． 5．如图①,②，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（ ） A． B． C． D． 6．根据图形填空. （1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; （2） _ _ _ _ _ _ _ _ ; （3） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 7．如图，是一个平角，如果，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 8．计算: （1） ; （2） . 易错点 无图问题的角度计算中忽视分类讨论 9．已知 ,过点作射线,使得 ,则的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . B组·能力提升 10．［2024杭州模拟］如图，方格纸中的和的大小关系是（ ） A． B． C． D． 11．如图，与都是直角，如果 ，则_ _ _ _ . 12．［2024广州模拟]如图，射线在的内部. （1） 如图①，若 ，，求的度数； （2） 如图②，若射线在的内部， ， ，求的度数. C组·核心素养拓展 13．【推理能力】【动手实践】在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式. 请利用一副含有 角的直角三角板和含有 角的直角三角板尝试完成探究. 【实验操作】 （1） 若边和边重合摆成图①的形状，则_ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 如图②，保持三角板不动，将 角的顶点与三角板的 角的顶点重合，然后摆动三角板，求当 时，的度数； 【拓展延伸】 （3） 如图③，保持三角板不动，将 角的顶点与三角板的 角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的2倍，请直接写出所有满足题意的的度数. 6.3.2 角的比较与运算 第1课时 角的比较与角的和差运算 A组·基础达标 知识点1 角的比较 1．D 2．C 3．（1） （2） （3） 知识点2 角的和差运算 4．B 5．C 6．（1） ； ； （2） （3） 7． 8．（1） 解:原式. （2） 原式. 易错点 无图问题的角度计算中忽视分类讨论 9． 或 B组·能力提升 10．D 11．150 12．（1） 解：，， ，即 ， . （2） ， . ， ， ， ， . C组·核心素养拓展 13．（1） （2） 解：当三角板如答图①时， 第13题答图① ， ， . 当三角板如答图②时， ， ， 第13题答图② . 当 时，的度数为 或 . （3） 设 ，满足题意的情况有四种： 如答图③, 第13题答图③ 则有，解得; 如答图④， 则有，解得； 第13题答图④ 如答图⑤， 第13题答图⑤ 则有，解得； 如答图⑥， 则有，解得. 综上所述，的度数为 ， ， 或 . 第13题答图⑥ 学科网（北京）股份有限公司 $$