第4章 一元一次方程（基础+中等类型）题型过关专练2025-2026学年七年级数学上册（苏科版2024）

第4章 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、(一元一次)方程的定义 【解惑】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【融会贯通】 1．下列式子，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 3．如果是关于的一元一次方程，求 ． 类型二、(一元一次)方程的解 【解惑】若关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 2．是方程的解，则m的值是 3．已知是关于x的方程的解，则代数式的值是 ． 类型三、等式的基本性质与列方程 【解惑】运用等式的基本性质，下列变形错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【融会贯通】 1．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 2．如图，两边都放着物体的天平处于平衡状态，用等式表示天平两边所放物体质量的关系为 ． 3．根据等式的性质填空： (1)如果，那么________； (2)如果，那么________； (3)如果，那么________； (4)如果，那么． 类型四、解一元一次方程——移项、合并同类项 【解惑】下列方程中与的解相同的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是 ； 3．解方程： (1)； (2)． 类型五、解一元一次方程——去括号 【解惑】已知是关于的方程的解，那么的值为（　　） A． B． C．8 D．-8 【融会贯通】 1．方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解为 ． 3．解方程：． 类型六、解一元一次方程——去分母 【解惑】在解方程时，去分母的过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．解方程，下列去分母的过程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将方程的两边同乘12，可得到，这种变形的依据是 ． 3．解下列方程： (1)； (2)． 类型七、一元一次方程的应用——古代、数字问题 【解惑】《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有一群人共买物，人出九，盈六；人出六，不足三，问人数几何？设共有人，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如表的三阶幻方中，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 2．【小数点的位置移⋯位】一个小数，如果把它的小数点向左移动一位，所得的数比原数小，原数是 ． 3．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 类型八、一元一次方程的应用——和差倍分、分配问题 【解惑】数学课外活动小组的女生占全组人数的，再加入6名女生就占全组人数的一半，设这个课外活动小组原有x名同学，列方程为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 2．甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 元． 3．解答： 小军班有多少人？小丽班有多少人？ 类型九、一元一次方程的应用——行程、工程问题 【解惑】某电视机厂接到一项生产任务，计划每天生产电视机120台，这样刚好可以按期完成任务，实际每天比计划多生产10台，结果提前4天完成任务．这批电视机共有多少台？（用方程解） 【融会贯通】 1．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 2．甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 3．列一元一次方程解决实际问题 甲列车从地开往地，速度是60千米/时，乙列车从地开往地，速度是90千米/时，已知，两地相距600千米． (1)若两车同时出发，几小时后两车相遇？ (2)若甲列车先出发2小时后乙列车再出发，则甲列车出发几小时后两车相遇？ (3)若两车同时出发，几小时后两车相距150千米？ 类型十、一元一次方程的应用——日历问题 【解惑】将连续的奇数按如下图所示的规律排列． (1)十字框中的五个数的平均数与27有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 2．数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 3．【综合与实践】 【知识背景】日历表中的日期数字都是按星期日，星期一，星期二，…，星期六的顺序来排列的，如图为某年1月份的日历表，在表中用一个小方框任意圈出4个阿拉伯数字（如图所示），设这4个数从小到大依次为． 【观察发现】小方框中的四个数总存在着某种数量关系． （1）若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：_______，_______，_______； （2）请用含有的式子表示； 【解决问题】利用发现的规律解决问题： （3）按照这种方法所圈出的四个数的和能否等于88？请列出一元一次方程并解答． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、(一元一次)方程的定义 【解惑】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据方程的定义，判断所给式子是否为含有未知数的等式，从而确定方程的个数．本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 【详解】解：方程是含有未知数的等式 ①，是含有未知数的等式，是方程 ②，不是等式，不是方程 ③，是含有未知数的等式，是方程 ④，是含有未知数的等式，是方程 ⑤，不是等式，不是方程 ⑥，是含有未知数的等式，是方程 ⑦，是含有未知数的等式，是方程 ⑧，是含有未知数的等式，是方程 ①③④⑥⑦⑧是方程，共个 故选：． 【融会贯通】 1．下列式子，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程，据此判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，该选项不合题意； 、是一元一次方程，该选项符合题意； 、不是方程，该选项不合题意； 、含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 【答案】 、、； 、． 【分析】本题考查了等式和方程，用等号表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；解决本题的关键是根据等式和方程的定义进行判断． 【详解】解：用等号表示相等关系的式了叫等式， 等式有：、、； 含有未知数的等式是方程， 方程有：、． 故答案为：、、； 、． 3．如果是关于的一元一次方程，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，，进而求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 类型二、(一元一次)方程的解 【解惑】若关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意． 故选：D． 2．是方程的解，则m的值是 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是将方程的解代入原方程，建立关于m的方程并求解．根据方程的解的定义，把代入方程；得到含m的一元一次方程后，通过移项、计算得出m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得． 即． 合并同类项得． 移项得． 故答案为：． 3．已知是关于x的方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程解的概念和一元一次方程的解法，结合已知条件求得的值是解题的关键． 把代入方程得出，求得的值，然后计算的值即可． 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 则， 那么， 故答案为： 类型三、等式的基本性质与列方程 【解惑】运用等式的基本性质，下列变形错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．直接利用等式的基本性质分别分析得出答案． 【详解】解：A． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； B． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； C． 若，则，则，原变形正确，该选项不符合题意； D． 若，则，即，原变形错误，该选项符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 【详解】解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 2．如图，两边都放着物体的天平处于平衡状态，用等式表示天平两边所放物体质量的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式，列方程，根据等式的表示方法即可求解，熟练掌握等式的表示方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，表示天平两边所放物体质量的关系为， 故答案为：． 3．根据等式的性质填空： (1)如果，那么________； (2)如果，那么________； (3)如果，那么________； (4)如果，那么． 【答案】(1)1 (2) (3)5 (4)2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除同一个数，除数不为0）等式仍然成立是解题的关键． （1）根据等式两边同时加同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时加1，所以． （2）根据等式两边同时减同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时减2，所以． （3）根据等式两边同时乘同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时乘5，所以． （4）根据等式两边同时除以同一个不为的数等式仍然成立，已知，在等式两边同时除以3，所以． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：5； （4）解：∵， ∴， 故答案为：2； 类型四、解一元一次方程——移项、合并同类项 【解惑】下列方程中与的解相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元一次方程的解的应用，解题关键在于掌握使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．求出已知方程的解，再把求出的数代入每个方程，看看左、右两边是否相等即可． 【详解】解：由方程得：， A、把代入方程得：，左边右边，故本选项正确； B、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误； C、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误； D、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误． 故选：A． 【融会贯通】 1．若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到的值． 此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：A． 2．方程的解是 ； 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据解一元一次方程的一般步骤求解即可，即解方程步骤中的移项、系数化为1． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：． 故答案为：． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程解法步骤是解题的关键． （）根据移项，合并同类项，化系数为的步骤求解即可； （）根据移项，合并同类项，化系数为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型五、解一元一次方程——去括号 【解惑】已知是关于的方程的解，那么的值为（　　） A． B． C．8 D．-8 【答案】A 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解满足方程是解答的关键．先将代入方程中得到，进而解方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 【融会贯通】 1．方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则对原方程去括号，然后逐一分析选项得出正确答案．本题主要考查了去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴，即． 故选：C． 2．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，移项合并同类项，把x的系数化为1即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把的系数化为1，得， 故答案为：． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键．去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得． 类型六、解一元一次方程——去分母 【解惑】在解方程时，去分母的过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据解一元一次方程的方法：去分母即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得． 故选：D． 【融会贯通】 1．解方程，下列去分母的过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质，给方程两边同乘分母的最小公倍数，将分数系数化为整数系数，从而去掉分母，然后逐一分析选项．本题主要考查了一元一次方程去分母的方法，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵方程中分母分别为3和2， ∴它们的最小公倍数是6． ∵给方程两边同时乘以6， ∴． ∵计算可得， ∴选项D正确． 故选：D． 2．将方程的两边同乘12，可得到，这种变形的依据是 ． 【答案】等式性质二 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据方程的特点，两边同时乘12，对方程进行去分母处理，去分母的依据是等式的基本性质． 【详解】解：将方程的两边同乘12，可得到， 这种变形的依据是等式性质二 故答案为：等式性质二． 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，即可求出解． （2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化成，得． 类型七、一元一次方程的应用——古代、数字问题 【解惑】《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有一群人共买物，人出九，盈六；人出六，不足三，问人数几何？设共有人，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据人数不变，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得． 故选：A． 【融会贯通】 1．如表的三阶幻方中，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键利用三阶幻方的特点列出方程．根据题意设左上角的数字为，设右上角的数轴为，根据题三阶幻方的特点得出，，进而根据，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，设左上角的数字为，则 解得： 设右上角的数轴为， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 故选：B． 2．【小数点的位置移⋯位】一个小数，如果把它的小数点向左移动一位，所得的数比原数小，原数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查小数点的位置移动引起数的大小变化规律：一个数的小数点向右（或向左）移动一位、两位、三位，这个数就扩大（或缩小）10倍、100倍、1000倍，反之也成立．根据小数点位置移动引起数的大小变化规律的运用，小数点向左移动1位，此数就缩小了10倍，原数是10份数，现在的数就是1份数，再根据这个数就比原来的数减少，进一步求出原数即可． 【详解】解：设现在的数为，原来的数是， ， ， ； ； 答：原数应该是． 故答案为：． 3．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【答案】长木长尺 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：长木长尺． 类型八、一元一次方程的应用——和差倍分、分配问题 【解惑】数学课外活动小组的女生占全组人数的，再加入6名女生就占全组人数的一半，设这个课外活动小组原有x名同学，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设这个课外活动小组原有x名同学，根据女生人数的关系列出方程即可． 【详解】解：设这个课外活动小组原有x名同学，根据题意得， 故选：D． 【融会贯通】 1．元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设班长共买了颗糖果，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设班长共买了颗糖果，依题意得： ， 解得：． ∴班长共买了160颗糖果． 故选：C. 2．甲、乙两人原有的钱数之比是，后来甲用去80元，乙得到20元，这时甲，乙两人的钱数比是，原来甲有 元． 【答案】1380 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．设原来甲有元，原来乙有元，根据题意列出方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设原来甲有元，原来乙有元， ， ， ， ∴， 故答案为：1380． 3．解答： 小军班有多少人？小丽班有多少人？ 【答案】　小军班40人，小丽班48人 【分析】本题考查了百分比计算与一元一次方程的应用，核心在于理解题目中的数量关系并准确转化为数学表达式，通过设立未知数、构建等量关系方程来解决问题，解题关键是识别出“8人”对应小军班人数的，进而求出小军班的具体人数，再根据人数差求得小丽班的人数．本题可先根据小丽班和小军班人数的关系求出小军班的人数，再根据两班人数关系求出小丽班的人数． 【详解】解： 设小军班的人数为x人，根据题意得 ， 解得（人）， 小丽班比小军班多8人，小军班有40人， 小丽班人数为（人）． 答：小军班有40人，小丽班有48人． 类型九、一元一次方程的应用——行程、工程问题 【解惑】某电视机厂接到一项生产任务，计划每天生产电视机120台，这样刚好可以按期完成任务，实际每天比计划多生产10台，结果提前4天完成任务．这批电视机共有多少台？（用方程解） 【答案】台 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设计划需要天完成任务，根据“计划每天生产电视机120台，这样刚好可以按期完成任务，实际每天比计划多生产10台，结果提前4天完成任务”，列出一元一次方程，解方程可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设计划需要天完成任务， 由题意可得：， 解得， ∴（台）， 即这批电视机共有台． 【融会贯通】 1．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 2．甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 【答案】(1)若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇 (2)若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可； （2）设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇． （2）解：设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇． 3．列一元一次方程解决实际问题 甲列车从地开往地，速度是60千米/时，乙列车从地开往地，速度是90千米/时，已知，两地相距600千米． (1)若两车同时出发，几小时后两车相遇？ (2)若甲列车先出发2小时后乙列车再出发，则甲列车出发几小时后两车相遇？ (3)若两车同时出发，几小时后两车相距150千米？ 【答案】(1)4小时 (2)小时 (3)3小时或5小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设两车同时出发，小时后两车相遇，根据相遇时，两车行驶的路程之和等于600千米建立方程，解方程即可得； （2）设甲列车出发小时后两车相遇，则甲车行驶的路程为千米，乙车行驶的路程为千米，根据相遇时，两车行驶的路程之和等于600千米建立方程，解方程即可得； （3）设两车同时出发，小时后两车相距150千米，分两种情况：①在两车相遇前，两车相距150千米，②在两车相遇后，两车相距150千米，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设两车同时出发，小时后两车相遇， 由题意得：， 解得， 答：若两车同时出发，4小时后两车相遇． （2）解：设甲列车出发小时后两车相遇， 由题意得：， 解得， 答：甲列车出发小时后两车相遇． （3）解：设两车同时出发，小时后两车相距150千米， ①在两车相遇前，两车相距150千米， 则， 解得； ②在两车相遇后，两车相距150千米， 则， 解得； 答：若两车同时出发，3小时或5小时后两车相距150千米． 类型十、一元一次方程的应用——日历问题 【解惑】将连续的奇数按如下图所示的规律排列． (1)十字框中的五个数的平均数与27有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的平均数与27相等 (2)能， 【分析】（1）先算出十字框中的五个数的平均数，然后判断与的关系； （2）设中间的数是，表示出其余个数，然后列出方程并求解，再根据是奇数且前后都有奇数解答． 【详解】（1）解：相等. ． 故十字框中的五个数的平均数与相等． （2）解：能． 设中间的数是，则其余个数分别为，，，， 则五个数的和为， ， 则其上面的数为， 其下面的数为， 其左边的数为， 其右边的数为， 故这五个数为：，，，，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)，， (3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式； （1）找到表格中的，结合表格可得答案； （2）观察图形，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外三个数； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，根据四个数之和为92，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合19在第七列，可得出假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【详解】（1）解：用长方形框框出的四个数中左上角的数为18， 右下角的数为，这四个数之和为. （2）解：记左上角的数为，则另外三个数分别为，，． （3）解：不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下： 假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92， 根据题意得：， 解得：， 在第七列，不符合题意， 假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 2．数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)70 (2)29 (3)不能，理由见解析 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，，然后得出一元一次方程求解即可； （3）设型框正中间的数字为．同（2）求解方程，结合日历表即可求解 【详解】（1）解：根据题意得． （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，； 所以这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 所以． 答：这七个数字中最大的数字是29． （3）不能． 理由：设型框正中间的数字为．由（2）可知，这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 因为，32不在月历表中， 所以型框框住的七个数字之和不能为168． 3．【综合与实践】 【知识背景】日历表中的日期数字都是按星期日，星期一，星期二，…，星期六的顺序来排列的，如图为某年1月份的日历表，在表中用一个小方框任意圈出4个阿拉伯数字（如图所示），设这4个数从小到大依次为． 【观察发现】小方框中的四个数总存在着某种数量关系． （1）若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：_______，_______，_______； （2）请用含有的式子表示； 【解决问题】利用发现的规律解决问题： （3）按照这种方法所圈出的四个数的和能否等于88？请列出一元一次方程并解答． 【答案】（1）1，7，8；（2），，；（3）可以圈出四个数的和等于88，解答见解析 【分析】本题考查了日历中的规律问题，一元一次方程的应用： （1）观察日历，即可求解； （2）观察日历可得上下相邻的两个数相差，左右相邻的两个数相差1，据此即可求解； （3）由（2）可得方程，解方程，即可求解； 掌握日历中的规律：“左右两数相差，上下相邻的两个数相差．” 是解题的关键． 【详解】解：（1）观察日历可知：，，； （2）根据日历可知：，，； （3）设最小的数为a，由（2）知，，， 则有：， 解得， 所以：，，， 按照这种方法所圈出四个数为，，，， ∴按照这种方法所圈出的四个数的和可以等于88． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$