1.2.4绝对值（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元教学分层优化练2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 1.2.4绝对值（基础练+提升练+拓展练+达标检测） A 夯基础 四大题型提分练 知识点1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 读作“a的绝对值”. 要点诠释： a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 题型1绝对值的几何意义 例1． 画一条数轴，并分别标出表示绝对值是的数的点． 解题策略： 首先根据绝对值的几何意义是数轴上的点到原点的距离，然后根据绝对值找到对应的数，最后标出这些数的位置. 【变式1-1】．是有理数，且，用数轴上的点来表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．若，则 ；若，则 ；若，则 ． 【变式1-3】．给出下列判断：①若，则；②若，则；③若，则或．其中正确的是 （填序号）． 知识点2 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 题型2 求一个数的绝对值 例2．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 解题策略 首先确定这个数的正负，根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0求一个数的绝对值 【变式2-1】．绝对值大于且不大于3的整数有 【变式2-2】．（1）计算：① ；② ， ；③ ， ． （2）比较大小： 0． 【变式2-3】．求下列各数的绝对值：，，，0，，． 知识点3 绝对值的非负性 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 题型3 绝对值的性质 例3．已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 解题策略 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”解决。 【变式3-1】．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．4050 C．20 D． 【变式3-2】．（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 【变式3-3】．已知，求的值． 题型4绝对值的应用 例4．水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 解题策略 绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义解决 【变式4-1】．现有四个标号为1，2，3，4的乒乓球，它们的重量与标准重量的差分别是，，最接近标准重量的乒乓球标号是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】．一批食品的标准质量是，现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．下列各数中，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】．正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，允许有的误差．下面是个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的千克数，用负数记不足规定质量的千克数，单位：）： 1号 2号 3号 4号 5号 6号 （1）请你指出哪几号排球符合要求． （2）请你对6个排球按照最好到最差排名． ． B抓核心 三大题型提升练 题型5 利用数轴化简绝对值 例5．实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】．．在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接 ． 【变式5-3】．．数轴上表示有理数，，的点如图所示． (1)填空：____，____； (2)在图中的数轴上表示，，； (3)将，，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． 题型6分类讨论化简绝对值 例6．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【变式6-1】．．“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题：已知，求的值． 【变式6-2】．．阅读材料，解答下列问题： 例：当，则，故此时的绝对值是它本身；当时，，故此时的绝对值是0；当时，如，则，故此时的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．请仿照图例中的分类讨论，解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若数轴上表示数a的点位于与0之间，求的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值是 　 　． 【变式6-3】．．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系（   ）． A．-a＜a＜1    B．1＜-a＜a    C．1＜-a＜a    D．a＜1＜-a （2）分类讨论思想：已知．求x-y的值． 题型7利用几何性质化简绝对值 例7 .同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求 1 ． （2）找出所有符合条件的整数x，使得成立的整数是 2 ． 【变式7-1】．．已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试确定的值． (2)两点之间的距离为多少？ 【变式7-2】．．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 【变式-3】．．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． C抓拓展 培优练 例8．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【变式8-1】．．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式8-2】．．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：． (1)则______，______； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．等于（    ） A．5 B． C． D． 2．如图数轴上点表示的数为，则是（    ） A． B． C． D． 3．下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．0.6和 4．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 5．马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6．”被墨水遮住的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．或9 6．如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 8．下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若实数x的绝对值是，则x的值为 ． 10．给出下列判断：①若，则；②若，则；③若，则或．其中正确的是 （填序号）． 11．a和b互为相反数，并且它们的绝对值最小，则 ， ． 12．如果，那么 ． 13．的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．在数轴上画出表示下列各数的点，并求出它们的绝对值． ，，0，，． 15．化简下列各数： ，，，，，． 16．张师傅要从6个圆形机器零件中选取2个拿去使用．经过检验，比规定直径长的记为正数，比规定直径短的记为负数，记录如下（单位：）： 1号零件 2号零件 3号零件 4号零件 5号零件 6号零件 张师傅会拿走哪2个零件？请你用绝对值的知识加以解释． 17．写出下列各数的绝对值： ． 18．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 19．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 20．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 1.2.4绝对值（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） A 夯基础 四大题型提分练 知识点1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 读作“a的绝对值”. 要点诠释： a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 题型1绝对值的几何意义 例1． 画一条数轴，并分别标出表示绝对值是的数的点． 解题策略： 首先根据绝对值的几何意义是数轴上的点到原点的距离，然后根据绝对值找到对应的数，最后标出这些数的位置. 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】首先明确绝对值的几何意义是数轴上的点到原点的距离，然后根据绝对值找到对应的数，最后标出这些数的位置. 【详解】解：如图: 两点表示的数-3和3的绝对值是3． 两点表示的数和1.5的绝对值是1.5． 点表示的数0的绝对值是0． 【点睛】本题考查了对绝对值几何意义的理解，以及在数轴上准确标出对应点的能力,关键把握绝对值的几何意义. 【变式1-1】．是有理数，且，用数轴上的点来表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴的知识，解决本题的关键是理解数轴上各点的大小关系，掌握原点左边的数小于0，原点右边的数大于0．根据绝对值的定义和数轴的定义解答此题即可． 【详解】解：因为， 所以， 故选：A． 【变式1-2】．若，则 ；若，则 ；若，则 ． 【答案】 或 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值和绝对值方程，根据绝对值的定义和解绝对值方程进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴或 解得或， 故答案为：，，或 【变式1-3】．给出下列判断：①若，则；②若，则；③若，则或．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义，以及互为相反数的两个数的绝对值相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则；故①正确； 若，则；故②正确； 若，则或．故③正确； 故答案为：①②③ 知识点2 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 题型2 求一个数的绝对值 例2．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 解题策略 首先确定这个数的正负，根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0求一个数的绝对值 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握“绝对值的非负性”是解题的关键.对每个选项分别进行计算，再判断即可. 【详解】解：A选项：，而等式右侧为，显然，故A错误，不符合题意； B选项：，左侧为，右侧为，等式不成立，故B错误，不符合题意； C选项：，而右侧为，显然，故C错误，不符合题意； D选项：，左侧为，右侧也为，等式成立，故D正确，符合题意； 故答案为：D. 【变式2-1】．绝对值大于且不大于3的整数有 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的范围进行解答即可． 【详解】解：绝对值大于且不大于3的整数为． 故答案为：． 【变式2-2】．（1）计算：① ；② ， ；③ ， ． （2）比较大小： 0． 【答案】 0 6 7 8 9 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的概念，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． （1）根据绝对值的概念求解即可． （2）根据绝对值的非负性，即． 【详解】解：（1）①； ②；； ③；； （2） 当时， 当时， 当时， 所以． 故答案为：① 0 ；② 6；③ 7 ；④ 8；⑤ 9；（2）． 【变式2-3】．求下列各数的绝对值：，，，0，，． 【答案】见解析 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查绝对值．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 知识点3 绝对值的非负性 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 题型3 绝对值的性质 例3．已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 解题策略 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”解决。 【答案】(1)，； (2)的相反数为或． 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值概念和绝对值非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据非负数的性质即可求出、的值； （）将与的值代入代数式进行计算，然后解出 的值，再求 的相反数即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以的相反数为或． 【变式3-1】．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．4050 C．20 D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是解题的关键．本题考查绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出正确答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 有最大值， 所以当时，式子有最大值，最大值为2025． 故选A． 【变式3-2】．（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 3 4 30 5 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个绝对值的和为零，则它们全都为零，以及绝对值的计算. （1）根据绝对值的非负性质求a和b的值即可； （2）根据绝对值的非负性质先求出a，b，c的值再代入求解； （3）根据绝对值的非负性质得到x与y的值，代入求解. 【详解】解：（1） ； 故答案为：①3；②4； （2） 故答案为：30； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴. 故答案为： 5． 【变式3-3】．已知，求的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．先求出a、b的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 又， ， ， ∴． 则． 题型4绝对值的应用 例4．水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 解题策略 绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义解决 【答案】3 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 【变式4-1】．现有四个标号为1，2，3，4的乒乓球，它们的重量与标准重量的差分别是，，最接近标准重量的乒乓球标号是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．先比较出超标情况的大小，再根据绝对值最小的越接近标准质量，即可得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴球的质量最接近标准质量是1号乒乓球， 故选：A． 【变式4-2】．一批食品的标准质量是，现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．下列各数中，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义．直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，且 ∴最接近标准质量的是， 故选：C． 【变式4-3】．正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，允许有的误差．下面是个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的千克数，用负数记不足规定质量的千克数，单位：）： 1号 2号 3号 4号 5号 6号 （1）请你指出哪几号排球符合要求． （2）请你对6个排球按照最好到最差排名． 【答案】(1)2号和6号 (2)排球按照最好到最差的排名为6号、2号、4号、5号、3号、1号 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握如何去绝对值是解题的关键； （1）根据题干的允许误差与表格中的误差进行比较，即可得到符合要求的序号， （2）比较六个排球的误差绝对值大小，可以得到排球质量好坏排名. 【详解】解：（1）故符合要求的有号和号． （2），，， ，，． 因为， 数越小，代表排球的质量越好， 所以排球按照最好到最差的排名为号、号、号、号、号、号． B抓核心 三大题型提升练 题型5 利用数轴化简绝对值 例5．实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大逐项分析即可． 【详解】解：A．，互为相反数，，，，，故A错误； B．，互为相反数，，，故B错误； C．，互为相反数，，故C错误； D．，互为相反数，，，故D正确． 故选∶D． 【变式5-1】．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据数轴可得：，然后对各个选项逐一判断即可． 【详解】由数轴可知：， ，， 选项A，B，C都错误，正确的为D 故选：D 【变式5-2】．．在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值，根据数轴上点的位置，绝对值的意义解题即可． 【详解】解：∵，且靠近，且远离， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】．．数轴上表示有理数，，的点如图所示． (1)填空：____，____； (2)在图中的数轴上表示，，； (3)将，，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由数轴可得，，再由绝对值的意义即可得解； （2）由数轴可得，，，从而可得，，，再表示在数轴上即可； （3）根据数轴比较大小即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，； （2）解：由数轴可得：，，， ∴，，， ∴在图中的数轴上表示，，如图所示： （3）解：由数轴可得：． 题型6分类讨论化简绝对值 例6．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟悉绝对值的化简方法是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （2）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （3）先分同号和异号两种情况求绝对值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴． （2）解：当时， ， ∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 【变式6-1】．．“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题：已知，求的值． 【答案】4或或10或 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法以及绝对值，掌握有理数的加法法则是解题的关键．根据绝对值的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 故的值为4或或10或． 【变式6-2】．．阅读材料，解答下列问题： 例：当，则，故此时的绝对值是它本身；当时，，故此时的绝对值是0；当时，如，则，故此时的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．请仿照图例中的分类讨论，解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若数轴上表示数a的点位于与0之间，求的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值是 　 　． 【答案】(1)或 (2)3 (3)， 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程 【分析】（1）按照，分类讨论，从而得解； （2）由题意得：，根据的取值范围化简绝对值，从而得解； （3）根据绝对值的非负性得：，故最小值为，从而得解． 【详解】（1）， 当时，原式，， 当时，原式，； 故答案为：或 （2）由题意得：， 故当时， 原式， ； （3）， 故最小值为， 即，， 故，当时，最小值为 【点睛】本题考查了根据取值范围化简绝对值，渗透了数学中的分类讨论思想，是常见题型． 【变式6-3】．．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系（   ）． A．-a＜a＜1    B．1＜-a＜a    C．1＜-a＜a    D．a＜1＜-a （2）分类讨论思想：已知．求x-y的值． 【答案】（1）D；（2）或 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）先在数轴上标出，再根据数轴的性质即可得； （2）先根据绝对值的性质可得，再代入计算即可得． 【详解】解：（1）在数轴上标出如下所示： 则， 故选：D； （2）， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法、绝对值、代数式求值，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 题型7利用几何性质化简绝对值 例7 .同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求 1 ． （2）找出所有符合条件的整数x，使得成立的整数是 2 ． 【答案】(1)7 (2)2，1，0， 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，解决本题的关键是数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值． （1）由题意可知表示5与两数在数轴上所对的两点之间的距离； （2）根据题意可得表示x在数轴上对应的点到2对应的点与对应的点之间的距离之和为5，然后根据数轴可写出满足条件的整数x． 【详解】（1）解：表示5与两数在数轴上所对的两点之间的距离， ∴； 故答案为：7 （2）解：表示x在数轴上对应的点到2对应的点与对应的点之间的距离之和为5， ∴x在2与之间， ∴使得成立的整数是2，1，0，． 故答案为：2，1，0， 【变式7-1】．．已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试确定的值． (2)两点之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2)两点之间的距离为3 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，解题的关键是利用数轴确定a，b的符号. （1）由数轴可知，a，b均为负数，结合绝对值，得到a，b的值. （2）A，B两点之间的距离是大数减去小数. 【详解】（1）解：因为, 所以或，或， 由数轴可知：a，b在数轴的左侧，所以, 所以. （2）解：由（1）可得， 所以A，B两点之间的距离为：. 【变式7-2】．．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 【答案】(1) (2)3 (3)2 (4) 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴和绝对值，理解题绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当在和2之间时，； （2）当在3和6之间时，的值最小； （3）当时，的值最小； （4）当时，取最小值． 【详解】（1）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示，2两点之间的距离之和等于7， ∴当时，， ∵x是整数， ∴． 故答案为：； （2）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示3，6两点之间的距离之和， 当时，的值最小， 最小值为：， 故答案为：3； （3）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数， ∴当时，的值最小， ∴最小值为， 故答案为：2； （4）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示数1，2，3，…，1997的点之间的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴最小值为 ． 【变式-3】．．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 C抓拓展 培优练 例8．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 【变式8-1】．．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 【变式8-2】．．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：． (1)则______，______； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值． 【答案】(1)，12 (2)①6，0；②15，45，60， 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性 【分析】（1）利用平方数和绝对值的非负性来确定a、b的值； （2）①通过设点M对应的数，根据“友好点”的定义列出方程求解； ②先根据求出的值，再设点P、Q对应的数，分情况讨论当B、P、Q分别为“友好点”时列出方程求解的值． 【详解】（1），，且， ，， 解得，， 故答案为，12； （2）①设数轴上点M表示的数为x， ，， 根据“友好点”的定义，M到A、B两点的距离满足其中一个距离是另一个距离的2倍，即或， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得 所以数轴上点M对应的有理数是6或0； ②，且， ， 设点P表示的数为p， 点P在点A右侧，A表示的数为， ， 解得， 设点Q表示的数为q，则， 当点B是P、Q的“友好点”时：有或，， 当时，， 解得， 当时，， 当点P是B、Q的“友好点”时：有或，，， 当时，， 解得，则， 当时，， 解得，则， 当点Q是B、P的“友好点”时：有或，，， 当时，， 解得，则， 当时，， 解得（因为点Q在B右侧，所以舍去）， 故的值为15或45或60或90． 【点睛】本题是一道综合性较强的数轴与绝对值应用问题，非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．等于（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义是解题的关键； 根据绝对值的定义求解． 【详解】解：． 故选：C． 2．如图数轴上点表示的数为，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可知：点表示的数，然后根据绝对值的性质进行计算即可． 本题主要考查了数轴和绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数， ， 故选：C． 3．下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．0.6和 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，相反数的定义．先化简各数，然后根据相反数的定义，即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】解：A、和，则和不是互为相反数，故该选项不符合题意；     B、和，则和互为相反数，故该选项符合题意；     C、和，则和不是互为相反数，故该选项不符合题意；        D、和，则0.6和不是互为相反数，故该选项不符合题意；         故选：B． 4．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数和它们的绝对值．从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近． 【详解】解：，，，， ∵ ∴从轻重的角度看，最接近标准的是C． 故选：C． 5．马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6．”被墨水遮住的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．或9 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解决本题的关键． 设被墨水遮住的数为，根据绝对值的性质，原式可转化为两个方程求解． 【详解】由题意得：， 根据绝对值的定义，有：， ，解得； ，解得， 因此，被遮住的数为或． 故选：D． 6．如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数定义，根据点与点表示的有理数互为相反数标出原点，然后根据绝对值的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点表示的有理数互为相反数， ∴原点的位置大约在点，如图， ∴绝对值最小的数的点是点，即到原点距离最近的是点， 故选：． 7．若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 8．下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若实数x的绝对值是，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； 根据绝对值的意义解题即可． 【详解】解：实数x的绝对值是， 则的值为：， 故答案为：或． 10．给出下列判断：①若，则；②若，则；③若，则或．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义，以及互为相反数的两个数的绝对值相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则；故①正确； 若，则；故②正确； 若，则或．故③正确； 故答案为：①②③ 11．a和b互为相反数，并且它们的绝对值最小，则 ， ． 【答案】 0 0 【分析】本题考查了相反数的意义，绝对值的意义．根据相反数和绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵a和b互为相反数， ∴， ∵它们的绝对值最小，, ∴， ∴，， 故答案为：0，0． 12．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 13．的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得到当时，的值均为定值，这个定值是5，进行求解即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示x与两点之间的距离，表示x与3两点之间的距离， 则表示x到的距离与x到3的距离的差， 当时，，这两个距离的差都是5， 当时，，这两个距离的差都是， 当时，，这两个距离的差是变化的，最大值是5，最小值是， 则当时，的值均为定值，这个定值是5，则t的最小值3， 故答案为：3． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．在数轴上画出表示下列各数的点，并求出它们的绝对值． ，，0，，． 【答案】数轴上表示见解析，，，，， 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值，熟练掌握有理数与数轴，理解绝对值的意义是解决问题的关键. 首先在数轴上将表示出来，然后再根据绝对值的意义求出它们的绝对值即可. 【详解】解：各数在数轴上表示如图． ，，，，． 15．化简下列各数： ，，，，，． 【答案】；；；15；7；9 【分析】本题主要考查了化简绝对值．解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 根据化简多重符号的方法和步骤，负数的绝对值是它的相反数逐个化简即可解答； 【详解】解： ． 16．张师傅要从6个圆形机器零件中选取2个拿去使用．经过检验，比规定直径长的记为正数，比规定直径短的记为负数，记录如下（单位：）： 1号零件 2号零件 3号零件 4号零件 5号零件 6号零件 张师傅会拿走哪2个零件？请你用绝对值的知识加以解释． 【答案】张师傅会拿走2号零件和3号零件 【分析】本题考查正负数的应用，绝对值越小，与规定直径越接近，越符合要求，由此可解． 【详解】解：张师傅会拿走2号零件和3号零件． 因为，，，，，，， 所以2号零件和3号零件的直径更接近规定直径， 所以张师傅会拿走2号零件和3号零件． 17．写出下列各数的绝对值： ． 【答案】；；，；；；； 【分析】本题考查绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质，属于中考基础题．根据绝对值的定义计算即可． 【详解】解：；；，；；；；． 18．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了绝对值非负性和解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴ 由（1）知， ， ∴与互为相反数 ∴． 19．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【分析】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 20．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$