1.2.1有理数的概念（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元教学分层优化练2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 1.2.1有理数的概念（基础练+提升练+拓展练+达标检测） A 夯基础 四大题型提分练 知识点1 有理数的概念 正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数； 整数和分数统称有理数 名师点拨 1分数都可以化为有限小数或无限不循环系数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. 2无限不循环小数不能用分数的形式表示 题型1 有理数概念的理解 例1．这些数：8，，，0，，中，有理数有（　　）个． A．6 B．5 C．4 D．3 解题策略 有理数指整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。整数和分数统称为有理数。有理数（有限循环小数）的小数部分是有限或循环小数。 【变式1-1】．在（相邻两个2之间0的个数依次增加1）中，有理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】．下列各数，是正有理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【变式1-3】．数可以表示多种意义，下列关于“2025”的表述中，表示数量多少的是（    ） A．2025人 B．第2025名 C．2025年 D．2025届学生 题型2 数0的再认识 例2．下列对的描述中，错误的是（    ） A．是偶数 B．是自然数 C．既可以是正数，也可以是负数 D．不是正数 解题策略 0是处在-1和1之间的整数，也是最小的那个自然数，并且确实是属于有理数的。它不属于正数或负数，也不是质数或者合数。作为自然数的一部分，0实际上是划分正数和负数的分界点。 【变式2-1】．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【变式2-2】．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【变式2-3】．下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 知识点2 有理数的分类 ①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类． 1. 按有理数的定义分类 2. 按有理数的性质符号分类 3.几个常用数学名词的含义 （1）正整数:既是正数，又是整数的数. （2）负整数:既是负数，又是整数的数. （3）正分数:既是正数，又是分数的数. （4）负分数:既是负数，又是分数的数. （5）非负数:正数和0. （6）非正数:负数和0. （7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （9）正有理数:正整数和正分数. （10）负有理数:负整数和负分数. （11）非正有理数:0、负整数和负分数. （12）非负有理数:0、正整数和正分数. （13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数. 名师点拨 0的再认识 1. 要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数. 2不要把非负整数理解成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0. 题型3 有理数的分类 例3．所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 解题策略 1. 理解有理数的定义和分类：有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。有理数可以进一步分为正有理数、负有理数和零。 2. 识别题目中的关键信息：在解题时，首先要明确题目中给出的数的范围和要求。例如，题目可能要求将一组数分类为正整数、负整数、正分数、负分数等 【变式3-1】．分别写出一个符合下列条件的有理数： （1）是负数但不是整数： ． （2）是整数但不是负数： ． （3）既不是整数也不是负数： ． （4）是分数但不是负数： ． 【变式3-2】．把下列各数分别填入相应的括号内：，0，，，7，，，． 整数：{                  }； 分数：{                  }； 正数：{                  }； 负数：{                  }． 【变式3-3】．写出与这两个数的共同点（要求写出两条）： （1）________． （2）________． 题型4 带“非”字的有理数 例4．在，，，，，中，非负数是 ，非负整数是 ． 解题策略 1. 理解非负数和非正数等带非字的定义 2. 正确在题目中区分 【变式4-1】．将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，． 非负分数集合{___________…}；整数集合{___________…}； 有理数集合{___________…}；非正整数集合{___________…}． 【变式4-2】．把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【变式4-3】．把下列各数填入相应集合的括号内：，，，，0，，2024，，，． (1)整数集合：{________…}； (2)分数集合：{________…}； (3)非负数集合：{________…}． B抓核心 二大题型提升练 题型1 有理数概念的再理解 例5．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【变式5-1】．下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】．黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数． 【变式5-3】．把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素，集合的元素互不相同．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2017－x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如，就是一个黄金集合． (1)集合______黄金集合，集合______黄金集合；（填“是”或“不是”） (2)若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且16133＜M＜16137，则该黄金集合中共有多少个元素？请说明你的理由． 题型2有理数的分类 例6．把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，． 正数：{                     …}； 非负整数：{                 …}； 整数：{                　   …}； 负分数：{                   …}． 【变式6-1】．将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， 正整数集： 负分数集： 整数集： 正有理数集： 负有理数集： 自然数集： 有理数集： 【变式6-2】．观察下面一列数，探究规律． ，，，，，，． (1)这列数属于有理数中的哪一类？ (2)按照规律，写出第7个数，第8个数和第9个数． (3)第2022个数是什么？ (4)如果这列数无限排列下去，会与哪两个数越来越接近？ 【变式6-3】．在学习《有理数》一章时，小君了解到：有理数是“比率数”，有理数可以写成两个整数之商．小君想“所有的有理数都可以写成两个整数之商吗?”对此，他展开了研究，他分以下几步来研究，请你来帮他补充完成： （1）整数和分数统称有理数； （2）任何整数都是它除以1所得的商，如把下列数写成两个整数的商：_________，_________， （3）任何分数可以看做两个整数的商，如把下列数写成两个整数的商：_________ （4）无限循环小数能化为分数吗? 小君做了研究：是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即小数部分与原数相同（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即．由此可知，99个等47，所以． 根据小君的研究，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） ①仿上例把化为分数形式，写出推导过程； ②直接写出化为的分数形式是________． ③若已知，则________． C抓拓展 培优练 例7．已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【变式7-1】．在报道溢油的多少和影响以及准备清除工作时，数据是非常必要的．为了说明数据是如何重要，读一读这则关于一次有名的溢油事件的“被删去”的文章．在　 　、　 　，一艘大型油轮Exxon Valdez从阿拉斯加水道离开，载着　 　原油，为了避免撞上冰山，这艘轮船走了一条离开正常行船线路大约　 　的航线，不幸的是，在离港不到　 　，船碰上了水下的暗礁，暗礁的岩石将船体撞了一个　 　裂缝，　 　原油溢到威廉玛海峡的表面，几个星期后，尽管花了很多的努力控制和清理石油，这次Exxon Valdez溢油事件已成为一个被全球关注的环境灾难，溢出的油不断地扩展形成一个油膜，覆盖了　 　水面，杀死了　 　只水獭和　 　只鸟，清理工作用了　 　只船和工人，工人们与　 　寒冷的水和气温作斗争，清理工作花费　 　，包括　 　单独用于营救野生生物的费用． （1）从以下所列的数据中，将恰当的数据填在相应的空白处，解释说明你的每一选择． 2000km2；46 000 000L；4 100 000美元； 2000～3000；18 000cm；1600m； 4℃；90 000～300 000；240 000 000 L； 20亿美元；1989年3月24日；下午9：00；成千上万；3h． （2）理解大数目的一种方法是找到尺寸相同的熟悉的事物、例如：美国旧金山和纽约合在一起的面积约为2000 km2，Exxon Valdez的油膜大约覆盖这两个城市．理解大数目的另一个方法是考证复制熟悉的事物．例如：美国公立学校，每个学生的平均花费为4500美元，营救Exxon Valdez事件中的野生生物所花费的金钱和9000多名学生的花费差不多． 在A～G中，给出了关于Exxon Valdez灾难中的事实，假如你是一位被分派撰写这一报道的报社记者，用你自己的观点将所给的提示写出一个说明，在某种程度上让你的读者容易理解每一个事实． a、Exxon Valdez溢出原油46 000 000 L． 提示：一个奥林匹克标准游泳池可容纳大约2 270 000 L的水，多少个游泳池可装满46 000 000 L的油？ b、油船偏离航道大约1600m、 提示：你所在的地区，什么地方相距大约1600m？ c、在清理溢油期间，水和空气的温度大约为4℃、 提示：你所在的地区，水和空气什么时候达到这个温度，你还游泳吗？ d、在离港不到3 h，油船触礁、 提示：你熟悉的什么事情持续3h？ e、溢油杀死了90 000～300 000只海鸟、 提示：查阅资料，找出人口数量大约为300 000这个数目的城市、 f、整个清理工作花费2 000 000 000美元、 提示：在美国，付给工人每年平均工资大约为25 000美元，清理工作所花费的付给多少工人的年度工资？ g、油膜最后覆盖了海洋表面2000 km2、 提示：计算你们教室地面的面积，然后计算出需要多少这样的教室的地面才能覆盖2000 km2． 【变式7-2】．将下列各数填在相应的圆圈里： +6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%，，﹣2006，﹣1.8，－． 达标检测 一、单选题(每小题3分，共24分) 1．下列各数中，不是有理数的是（    ） A． B． C．0.1010010001… D．0 2．关于，，，，，这六个数，下列说法正确的是（   ） A．和都是负整数 B．和都是正数 C．和都是负分数 D．是正整数 3．下列各数，，0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．下列各数：5，，，，，，，，其中是非负数的有（   ） A．2个 B．5个 C．4个 D．3个 5．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵、横两种形式（如图），表示一个多位数时，把各个数位的数码从高位到低位、从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（   ） A． B． C．   D． 6．下面的说法中，正确的是（    ） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和小数统称有理数 7．下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 8．下面对生活中数据的估计，最合适的是（   ） A．一瓶矿泉水约为500毫升 B．七年级学生1000米跑合格成绩为60秒 C．一张数学试卷的面积约为20平方米 D．一本七年级数学教科书的质量约为15克 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．在，，0，，0.4，2，，这些数中，有理数有m个，分数有k个，则的值为 ． 10．将，，，，，分为两类，使这两类所含数的个数相等，则应分为 ． 11．在下列各数，，，0.3，0，，21，1.0101001…，，，中，整数有 个． 12．下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 13．下列说法中，其中错误的有 个 ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．把下列各数分别填入相应的括号内：，0，，，7，，，． 整数：{                  }； 分数：{                  }； 正数：{                  }； 负数：{                  }． 15．把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号隔开）：． (1)正分数：{                   …}； (2)负数：{                   …}； (3)整数：{                   …}； (4)正整数：{                   …}； (5)有理数：{                   …}． 16．指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数： ，，，，1，，0，，，． 17．（1）与0之间有负数吗？0与1之间呢？如果有，请举例；如果没有，请说明理由． （2）与之间有负整数吗？与2之间有哪些整数？ （3）有比还大的负整数吗？ （4）写出3个小于并且大于的数． 18．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 19．在下列空格里打“√”，表示该数属于哪种类型的数： 类型 数 有理数 正整数 负整数 正分数 负分数 非负数 +3 　　 　　 　　 　　 　　 　　 ﹣1 　　 　　 　　 　　 　　 　　 0 　　 　　 　　 　　 　　 　　 0.5 　　 　　 　　 　　 　　 　　 ﹣6 　　 　　 　　 　　 　　 　　 20．任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：可以写成可以写成，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数为例，进行探索： 设，① 两边同乘以得： ，② ②-①得： 因此，是有理数． （1）直接用分数表示循环小数 （2）试说明是一个有理数，即能用一个分数表示． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 1.2.1有理数的概念（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） A 夯基础 四大题型提分练 知识点1 有理数的概念 正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数； 整数和分数统称有理数 名师点拨 1分数都可以化为有限小数或无限不循环系数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. 2无限不循环小数不能用分数的形式表示 题型1 有理数概念的理解 例1．这些数：8，，，0，，中，有理数有（　　）个． A．6 B．5 C．4 D．3 解题策略 有理数指整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。整数和分数统称为有理数。有理数（有限循环小数）的小数部分是有限或循环小数。 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的定义，解题的关键是熟练掌握整数和分数统称为有理数．根据有理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在，，，，，中，有理数有，，，，共5个． 故选：B． 【变式1-1】．在（相邻两个2之间0的个数依次增加1）中，有理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解题的关键． 根据有理数的概念进行判断，即可求解． 【详解】解：在（相邻两个2之间0的个数依次增加1）中，是有理数，共5个， 故选：D． 【变式1-2】．下列各数，是正有理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类；根据正有理数的定义，需满足两个条件：①是有理数（可表示为两个整数之比）；②大于0．逐一分析选项即可确定答案． 【详解】解：选项A：，其中是无理数，任何非零有理数与无理数的乘积或商仍为无理数，因此是无理数，不符合条件． 选项B：是负整数，属于有理数，但为负数，不符合正数的要求． 选项C：是有理数，但既不是正数也不是负数，不符合条件． 选项D：，分子22和分母7均为整数且分母不为零，因此是有理数；计算结果为正数，符合正有理数的定义． 综上，正确答案为D． 故选：D． 【变式1-3】．数可以表示多种意义，下列关于“2025”的表述中，表示数量多少的是（    ） A．2025人 B．第2025名 C．2025年 D．2025届学生 【答案】A 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了基数与序数的意义的灵活运用，根据表示具体数量和表示顺序选择即可。 【详解】解：A.“2025人”中的“2025”表示人的具体数量，即有多少人，属于基数词，符合题意； B.“第2025名”中的“2025”表示名次顺序，属于序数词，不表示数量，不符合题意； C.“2025年”中的“2025”表示年份，用于标识时间，与数量无关，不符合题意 D.“2025届学生”中的“2025”表示学生所属的届数，属于序数词，强调顺序而非数量，不符合题意 综上，只有选项A中的“2025”表示数量多少， 故选：A． 题型2 数0的再认识 例2．下列对的描述中，错误的是（    ） A．是偶数 B．是自然数 C．既可以是正数，也可以是负数 D．不是正数 解题策略 0是处在-1和1之间的整数，也是最小的那个自然数，并且确实是属于有理数的。它不属于正数或负数，也不是质数或者合数。作为自然数的一部分，0实际上是划分正数和负数的分界点。 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题考查对有理数的理解和应用，熟练掌握的性质是解题的关键. 【详解】解：1选项A：偶数是能被整除的整数。除以余数为，因此是偶数，正确，不符合题意. 选项B：自然数包括和正整数，因此是自然数，正确，不符合题意. 选项C：正数是大于的数，负数是小于的数，既不是正数也不是负数.因此“既可以是正数，也可以是负数”的说法错误，符合题意. 选项D：既不是正数也不是负数，因此“不是正数”正确，不符合题意. 故答案为：C 【变式2-1】．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【知识点】正负数的定义、0的意义 【分析】考查了正数与负数，根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正数前加上一个负号就是负数，说法正确； ②不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； ③只有带“＋”号的数才是正数，说法错误，例如5是正数，但没有带“＋”号； ④0既不是正数也不是负数，说法正确． 综上所述可得：说法正确的有①④，共计2个． 故选：B． 【变式2-2】．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式2-3】．下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 【答案】D 【知识点】有理数的定义、0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类以及正数和负数，解题的关键是掌握有理数的分类以及0的意义．根据有理数的分类以及正数和负数逐一分析解答即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、0不带“”号，但不是正数，故B不符合题意； C、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故C不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 知识点2 有理数的分类 ①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类． 1. 按有理数的定义分类 2. 按有理数的性质符号分类 3.几个常用数学名词的含义 （1）正整数:既是正数，又是整数的数. （2）负整数:既是负数，又是整数的数. （3）正分数:既是正数，又是分数的数. （4）负分数:既是负数，又是分数的数. （5）非负数:正数和0. （6）非正数:负数和0. （7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （9）正有理数:正整数和正分数. （10）负有理数:负整数和负分数. （11）非正有理数:0、负整数和负分数. （12）非负有理数:0、正整数和正分数. （13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数. 名师点拨 0的再认识 1. 要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数. 2不要把非负整数理解成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0. 题型3 有理数的分类 例3．所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 解题策略 1. 理解有理数的定义和分类：有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。有理数可以进一步分为正有理数、负有理数和零。 2. 识别题目中的关键信息：在解题时，首先要明确题目中给出的数的范围和要求。例如，题目可能要求将一组数分类为正整数、负整数、正分数、负分数等 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数分类，正确把握相关定义是解题关键．直接利用负分数的定义分析得出答案． 【详解】解：阴影部分表示负分数，选项中只有C符合题意． 故选：C． 【变式3-1】．分别写出一个符合下列条件的有理数： （1）是负数但不是整数： ． （2）是整数但不是负数： ． （3）既不是整数也不是负数： ． （4）是分数但不是负数： ． 【答案】 （答案不唯一） 2（答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【知识点】正负数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据有理数的相关定义解答各题即可． 【详解】（1）是负数但不是整数：． 故答案为：； （2）是整数但不是负数：． 故答案为：2； （3）既不是整数也不是负数：． 故答案为：； （4）是分数但不是负数：． 故答案为：． 【变式3-2】．把下列各数分别填入相应的括号内：，0，，，7，，，． 整数：{                  }； 分数：{                  }； 正数：{                  }； 负数：{                  }． 【答案】整数：；分数：；正数：；负数： 【知识点】有理数的分类 【分析】此题考查了有理数，弄清有理数的分类是解本题的关键. 据有理数的分类即可填写： 数字前面带“”号或不带号的为正数；数字前面带“”号为负数； 0既不是正数也不是负数；0和正整数是自然数；负整数、0和正整数合称为整数；由此进行分类即可. 【详解】解：整数：； 分数：； 正数：； 负数：． 【变式3-3】．写出与这两个数的共同点（要求写出两条）： （1）________． （2）________． 【答案】（1）都是负数；（答案不唯一） （2）都是分数（答案不唯一） 【知识点】有理数的分类 【分析】此题考查有理数的分类，根据两个数的特点得到两个数都是有理数，都是负数，都是分数，据此解答． 【详解】解：与这两个数的共同点：都是有理数，都是负数，都是分数， 故答案为：都是负数，都是分数． 题型4 带“非”字的有理数 例4．在，，，，，中，非负数是 ，非负整数是 ． 解题策略 1. 理解非负数和非正数等带非字的定义 2. 正确在题目中区分 【答案】 ，，，； ，，. 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数的分类和有理数的定义，掌握有理数的分类和有理数的定义是做题的关键．本题围绕非负数、非负整数的定义命题，需根据非负数是正数和，非负整数是正整数和，对给定数分类． 【详解】解：非负数是：，，，； 非负整数是：，，． 故答案为：，，，；，，． 【变式4-1】．将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，． 非负分数集合{___________…}；整数集合{___________…}； 有理数集合{___________…}；非正整数集合{___________…}． 【答案】，，；，，；，，，，，，，，；， 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数及其分类．根据分数、整数、负数、正数和有理数的概念分析判断即可． 【详解】解： 非负分数集合{，，，…}； 整数集合{，，，…}； 有理数集合{，，，，，，，，，…}； 非正整数集合{，，…}． 【变式4-2】．把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【答案】见解析 【知识点】有理数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 【变式4-3】．把下列各数填入相应集合的括号内：，，，，0，，2024，，，． (1)整数集合：{________…}； (2)分数集合：{________…}； (3)非负数集合：{________…}． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，正数和0为非负数，根据有理数是分数和整数的统称，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）整数分为正整数，0和负整数，据此即可作答； （2）分数分为负分数和正分数，据此即可作答； （3）非负数是指正数和0，据此即可作答． 【详解】（1）解：整数集合：{…}； （2）解：分数集合：{…}； （3）解：非负数集合：{…}． B抓核心 二大题型提升练 题型1 有理数概念的再理解 例5．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 【变式5-1】．下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 【变式5-2】．黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数． 【答案】1 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【详解】本题考查有理数的定义，分类，正确区分整数，分数以及熟记正分数和负分数的定义是解题的关键．根据正数、负数，以及正整数和负整数的定义可以解答本题． 【解答】解：因为10个有理数中有6个整数， 所以分数个， 因为正分数的个数与负分数的个数相等， 所以有2个负分数，2个正分数，因为负数的个数不超过3个，所以负数共 3个，还有一个是0， ∴负整数共1个． 【变式5-3】．把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素，集合的元素互不相同．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2017－x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如，就是一个黄金集合． (1)集合______黄金集合，集合______黄金集合；（填“是”或“不是”） (2)若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且16133＜M＜16137，则该黄金集合中共有多少个元素？请说明你的理由． 【答案】(1)不是，是 (2)该集合共有16个元素．理由见解析 【知识点】有理数的定义、数字类规律探索 【分析】（1）根据定义，有理数2017是集合的元素时，2017－2017＝0也必是这个集合的元素，而0不在集合内，当2017－2018＝−1时可知，-1在集合内，则问题可解； （2）根据题意可知黄金集合都是成对出现的，并且每2个对应元素的和为2017，然后通过估算即可解答本题． 【详解】（1）解：根据题意可得，2017−2017=0，而集合{2017}中没有元素0，故{2017}不是黄金集合； ∵2017－2018＝−1， ∴集合是黄金集合． 故答案为：不是，是； （2）解：该集合共有16个元素． 理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2017−a， ∴黄金集合中的元素一定是偶数个． ∵黄金集合中的每2个对应元素的和为：a＋2017－a＝2017，2017×8＝16136，2017×9＝18153， 又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且16133＜M＜16137， ∴这个黄金集合中的元素个数为：8×2=16(个) ． 【点睛】本题在新定义的背景下，考查了有理数、整式的加减以及探究性问题，关键是明确什么是黄金集合，并根据定义解决问题． 题型2有理数的分类 例6．把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，． 正数：{                     …}； 非负整数：{                 …}； 整数：{                　   …}； 负分数：{                   …}． 【答案】，，，，；，，；，，，，；，，． 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了正数、非负整数、整数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、非负整数、整数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：正数：{，，，，，…}； 非负整数：{，，，…}； 整数：{，，，，，…}； 负分数：{，，，…} 故答案为：，，，，；，，；，，，，；，，． 【变式6-1】．将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， 正整数集： 负分数集： 整数集： 正有理数集： 负有理数集： 自然数集： 有理数集： 【答案】{5}；{，}；{5，，，0}；{5，，，}；{，，，}；{5，0}；{5，，，，，，，0，} 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类方法．按照有理数的分类即可求解． 【详解】解：正整数集：{5}； 负分数集：{，}； 整数集：{5，，，0}； 正有理数集：{5，，，}； 负有理数集：{，，，}； 自然数集：{5，0}； 有理数集：{5，，，，，，，0，}； 故答案为：{5}；{，}；{5，，，0}；{5，，，}；{，，，}；{5，0}；{5，，，，，，，0，}． 【变式6-2】．观察下面一列数，探究规律． ，，，，，，． (1)这列数属于有理数中的哪一类？ (2)按照规律，写出第7个数，第8个数和第9个数． (3)第2022个数是什么？ (4)如果这列数无限排列下去，会与哪两个数越来越接近？ 【答案】(1)这列数属于有理数中的分数 (2)第7，8，9三个数分别是，， (3)第2022个数是 (4)如果这列数无限排列下去，会与越来越接近 【知识点】有理数的分类、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】（1）有理数分整数和分数，这组数是分数； （2）根据前六个数，发现奇数项是正，偶数项是负，同时分母比分子大1，因此得到第7，8，9项的三个数分别是，，； （3）根据这列数，先找到这列数的通用规律，再将代入即可； （4）中，当n无限增大时，接近于1，因此可得当n是奇数时，接近于1；当n是偶数时，接近于 【详解】（1）解：这一列数属于有理数中的分数； （2）解：∵，，，，，，， ∴第7，8，9项的三个数分别是，，； （3）解：∵，，，，，，， ∴这列数中第n个数为：， ∴第2022个数是． （4）解：中，当n无限增大时，接近于1， ∴当n是奇数时，接近于1； 当n是偶数时，接近于； 答：如果这列数无限排列下去，会与越来越接近． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类、探索数的规律，正确找到数的规律是解题的关键，本题运用了极限思想． 【变式6-3】．在学习《有理数》一章时，小君了解到：有理数是“比率数”，有理数可以写成两个整数之商．小君想“所有的有理数都可以写成两个整数之商吗?”对此，他展开了研究，他分以下几步来研究，请你来帮他补充完成： （1）整数和分数统称有理数； （2）任何整数都是它除以1所得的商，如把下列数写成两个整数的商：_________，_________， （3）任何分数可以看做两个整数的商，如把下列数写成两个整数的商：_________ （4）无限循环小数能化为分数吗? 小君做了研究：是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即小数部分与原数相同（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即．由此可知，99个等47，所以． 根据小君的研究，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） ①仿上例把化为分数形式，写出推导过程； ②直接写出化为的分数形式是________． ③若已知，则________． 【答案】（2）答案不唯一，见解析；（3）；（4）①；②；③ 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的概念以及有理数表示为两个整数之商，由题目明确提及“整数和分数统称有理数”是研究的基础概念，通过将整数写成分数的形式是解决本题的关键． （2）将和0表示成两个整数之商即可； （3）将带分数化为假分数求解即可； （4）①将扩大1000倍，再由999个等于325，即可推导； ②将分别扩大10倍和扩大1000倍，再相减即可求解； ③将扩大1000倍，可表示出，将表示为即可求解． 【详解】（2）解：；；（答案很多符合即可） （3）解：； （4）①∵，是一个以325为循环节的无限循环小数，将它扩大到1000倍， 即， 由此可知，999个等于325，所以． ②∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ③∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． C抓拓展 培优练 例7．已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题，分三种情况讨论：①假设都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案． 【详解】解：假设都是偶数或都是奇数，则和都是偶数，那么和都是整数， 假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么和有一个是整数， 假设有两个奇数，一个偶数，那么和有一个是整数， 综上所述：和必定有一个是整数， 故选：C． 【变式7-1】．在报道溢油的多少和影响以及准备清除工作时，数据是非常必要的．为了说明数据是如何重要，读一读这则关于一次有名的溢油事件的“被删去”的文章．在　 　、　 　，一艘大型油轮Exxon Valdez从阿拉斯加水道离开，载着　 　原油，为了避免撞上冰山，这艘轮船走了一条离开正常行船线路大约　 　的航线，不幸的是，在离港不到　 　，船碰上了水下的暗礁，暗礁的岩石将船体撞了一个　 　裂缝，　 　原油溢到威廉玛海峡的表面，几个星期后，尽管花了很多的努力控制和清理石油，这次Exxon Valdez溢油事件已成为一个被全球关注的环境灾难，溢出的油不断地扩展形成一个油膜，覆盖了　 　水面，杀死了　 　只水獭和　 　只鸟，清理工作用了　 　只船和工人，工人们与　 　寒冷的水和气温作斗争，清理工作花费　 　，包括　 　单独用于营救野生生物的费用． （1）从以下所列的数据中，将恰当的数据填在相应的空白处，解释说明你的每一选择． 2000km2；46 000 000L；4 100 000美元； 2000～3000；18 000cm；1600m； 4℃；90 000～300 000；240 000 000 L； 20亿美元；1989年3月24日；下午9：00；成千上万；3h． （2）理解大数目的一种方法是找到尺寸相同的熟悉的事物、例如：美国旧金山和纽约合在一起的面积约为2000 km2，Exxon Valdez的油膜大约覆盖这两个城市．理解大数目的另一个方法是考证复制熟悉的事物．例如：美国公立学校，每个学生的平均花费为4500美元，营救Exxon Valdez事件中的野生生物所花费的金钱和9000多名学生的花费差不多． 在A～G中，给出了关于Exxon Valdez灾难中的事实，假如你是一位被分派撰写这一报道的报社记者，用你自己的观点将所给的提示写出一个说明，在某种程度上让你的读者容易理解每一个事实． a、Exxon Valdez溢出原油46 000 000 L． 提示：一个奥林匹克标准游泳池可容纳大约2 270 000 L的水，多少个游泳池可装满46 000 000 L的油？ b、油船偏离航道大约1600m、 提示：你所在的地区，什么地方相距大约1600m？ c、在清理溢油期间，水和空气的温度大约为4℃、 提示：你所在的地区，水和空气什么时候达到这个温度，你还游泳吗？ d、在离港不到3 h，油船触礁、 提示：你熟悉的什么事情持续3h？ e、溢油杀死了90 000～300 000只海鸟、 提示：查阅资料，找出人口数量大约为300 000这个数目的城市、 f、整个清理工作花费2 000 000 000美元、 提示：在美国，付给工人每年平均工资大约为25 000美元，清理工作所花费的付给多少工人的年度工资？ g、油膜最后覆盖了海洋表面2000 km2、 提示：计算你们教室地面的面积，然后计算出需要多少这样的教室的地面才能覆盖2000 km2． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【知识点】有理数的定义 【分析】（1）将恰当的数据根据实际情况填在相应的空白处； （2）a、大约需20、3个游泳池；b、根据各人具体情况而定；c、根据各人具体情况而定；d、根据各人具体情况而定；e、扬州城市人口也为30万；f、80000个工人；g、根据各人具体情况而定． 【详解】解：（1）第一个空为1989年3月24日，第二个空为下午9：00；显然第一、二个空处填的是时间，一般年、月、日在前，具体时间在后； 第三个空为240000000L；载着多少原油，问的是体积，那么应选240000000L； 第四个空为1600m；大约多少的航线，讲的是距离，因此选1600m； 第五个空为3h；离港不到多少时，船撞上了暗礁，显然问的是时间，所以选3h； 第六个空为18000cm，船的裂缝长显然不可能是1600m，那么只有选18000cm； 第七个空为46000000L，第七、三个空问的都是原油的体积，但是根据题意，显然第七个空填的体积＜第三个空填的，因此第七个空选46000000L； 第八个空为2000km2，覆盖了多少水面，问的是面积的大小，所以选2000km2； 第九个空为2000﹣﹣3000；第十个空为90000﹣﹣3000000；第九、十个空说的都是被杀死的动物的数量，显然水獭的数量要比水鸟少的多； 第十一个空为成千上万；由于海水被原油和动物尸体等污染的面积较大，因此需要的船只和人数的数量很大，故选成千上万； 第十二个空为4℃；显然第十二个空问的是水温，因此选4℃； 第十三个空为20亿美元；第十四个空为4100000美元；第十三、四个空问的是钱数，显然第十三个空钱数中包括第十四个空填的钱数，故第十三个空选20亿美元，第十四个空选4100000美元． （2）a、大约需20.3个游泳池； b、学校到体育馆 c、冬天，不能游泳； d、上午上班的时间； e、扬州城市人口也为30万； f、80000个工人； g、20 000 000个教室的地面． 【点睛】本题考查了结合实际情况处理数据的能力，在生活中必须认真观察、分析、研究，才能作出正确的判断和解决问题． 【变式7-2】．将下列各数填在相应的圆圈里： +6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%，，﹣2006，﹣1.8，－． 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】根据整数、正数、正整数、负数、分数和负分数的定义分类即可． 【详解】解：如下图， 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，掌握整数、正数、正整数、负数、分数和负分数等的定义是解决此题的关键． 达标检测 一、单选题(每小题3分，共24分) 1．下列各数中，不是有理数的是（    ） A． B． C．0.1010010001… D．0 【答案】C 【分析】本题考查有理数，解题关键在于掌握定义. 根据有理数的定义，判断各选项是否为有理数。 【详解】有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。 A： 是整数，属于有理数。 B： 是无限循环小数，可表示为分数，属于有理数。 C： 的小数部分无循环节，是无限不循环小数，属于无理数。 D：是整数，属于有理数。 综上，只有选项C不是有理数。 故选：C. 2．关于，，，，，这六个数，下列说法正确的是（   ） A．和都是负整数 B．和都是正数 C．和都是负分数 D．是正整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握“整数包括正整数、负整数和零；分数包括正分数和负分数；需注意小数形式的数若可化为分数则属于分数”是解题的关键. 【详解】选项A：是负整数，但可化为，属于负分数，故A错误，不符合题意. 选项B：既不是正数也不是负数，故B错误，不符合题意. 选项C：（即）和均为负分数，故C正确，符合题意. 选项D：是带分数，属于正分数而非整数，故D错误，不符合题意. 故答案为：C. 3．下列各数，，0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的定义解答即可，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，0，π，0.0123中，有理数有，，0，0.0123，共4个， 故选：A． 4．下列各数：5，，，，，，，，其中是非负数的有（   ） A．2个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的概念（非负数包括正数和0 ）．解题关键是准确识别正数和0，对每个数依据正负性判断是否为非负数，核心是清晰界定非负数的范围 ．非负数是指正数和0 ．依次判断每一个有理数即可． 【详解】解：依次判断：5是正数，是非负数；是负数，不是非负数；是正数，是非负数；是负数，不是非负数；是正数，是非负数；是正数，是非负数；是负数，不是非负数；0是非负数， 所以非负数有，共5个， 故选 B． 5．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵、横两种形式（如图），表示一个多位数时，把各个数位的数码从高位到低位、从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（   ） A． B． C．   D． 【答案】C 【分析】本题是应用类问题，主要考查了新定义，学生对图形的认识，理解新定义是解本题的关键．根据题中新定义求解即可． 【详解】解：∵个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示， ∴ 56846表示为： ． 故选：C． 6．下面的说法中，正确的是（    ） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和小数统称有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．根据有理数的分类进行判断即可． 【详解】解：A、正有理数、0和负有理数统称为有理数，故本选项错误； B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误； C、整数和分数统称为有理数，故本选项正确； D、整数包括零，故本选项错误； 故选：C． 7．下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：是负整数，错误； 非正数包括和负数，正确； 非负数就是正数和，错误； 正整数、正分数和都属于非负有理数，正确； 其中正确的个数是个， 故选：C． 8．下面对生活中数据的估计，最合适的是（   ） A．一瓶矿泉水约为500毫升 B．七年级学生1000米跑合格成绩为60秒 C．一张数学试卷的面积约为20平方米 D．一本七年级数学教科书的质量约为15克 【答案】A 【分析】本题主要考查了数学常识，熟练掌握一些基本的数学常识是解题关键．根据生活经验、对长度单位、容积单位、质量单位和时间单位和数据的大小的认识，对各个选项进行分析，找出最合理的即可． 【详解】解：A、一瓶矿泉水约为500毫升，则此项合适，符合题意； B、七年级学生1000米跑合格成绩约为180秒，则此项不合适，不符合题意； C、一张数学试卷的面积约为20平方分米，则此项不合适，不符合题意； D、一本七年级数学教科书的质量约为350克，则此项不合适，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．在，，0，，0.4，2，，这些数中，有理数有m个，分数有k个，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的分类以及有理数的减法，掌握有理数的分类是解题的关键． 根据有理数和分数的定义，先找出有理数和分数，即可得出、的值，再根据有理数减法法则计算即可． 【详解】解：有理数为，，，，，，，共个． ． 分数有，，共个， ． ． 故答案为： 10．将，，，，，分为两类，使这两类所含数的个数相等，则应分为 ． 【答案】正数和非正数（或整数和分数） 【分析】本题考查了有理数的分类，关键掌握分类的方式，结合题目，找出符合条件的分类方式. 根据有理数的不同性质和形式进行分类，使两类数的个数相等，这里给出两种常见的分类方式：正数和非正数，整数和分数. 【详解】解：根据正数和非正数分类： 正数是大于0的数，非正数是小于等于0的数. 所以正数有：， 非正数有：， 可以看到正数和非正数都有3个，个数相等. 根据整数和分数分类： 整数有：， 分数有：， 可以看到整数和分数都有3个，个数相等. 故答案为：正数和非正数（或整数和分数）. 11．在下列各数，，，0.3，0，，21，1.0101001…，，，中，整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整数的定义，根据整数包括正整数、负整数和零，即可得解，熟练掌握整数的定义是解此题的关键． 【详解】解：整数有0，21，，，共个， 故答案为：． 12．下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键； 有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可． 【详解】解：：是正分数，属于正有理数； ：是负整数，小于，不是正有理数； ：既不是正数也不是负数，不是正有理数； ：是负数，不是正有理数； ，是正整数，属于正有理数； ：是无限不循环小数，不是正有理数； ：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数； （每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数； 综上，正有理数有，和，共3个． 故答案为：3． 13．下列说法中，其中错误的有 个 ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】本题考查了正负数的定义以及有理数的分类，熟练掌握相关概念和有理数分类解题关键．正数比0大，0比负数大；有理数的分类有两种，第一种是整数和分数，第二种是正有理数，0，负有理数．根据正负数的定义以及有理数的分类进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：负整数小于0，故0不是最小的整数，说法①错误； 有理数包括正数、负数和0，故说法②错误； 正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故说法③错误； 非负数就是0和正数，故说法④错误； 不是有理数，故说法⑤错误； 如不是负数，带“”号的数不一定是负数，说法⑥错误； 无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故说法⑦正确； 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，说法⑧正确． 综上所述，错误的有①②③④⑤⑥． 故答案为：①②③④⑤⑥． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．把下列各数分别填入相应的括号内：，0，，，7，，，． 整数：{                  }； 分数：{                  }； 正数：{                  }； 负数：{                  }． 【答案】整数：；分数：；正数：；负数： 【分析】此题考查了有理数，弄清有理数的分类是解本题的关键. 据有理数的分类即可填写： 数字前面带“”号或不带号的为正数；数字前面带“”号为负数； 0既不是正数也不是负数；0和正整数是自然数；负整数、0和正整数合称为整数；由此进行分类即可. 【详解】解：整数：； 分数：； 正数：； 负数：． 15．把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号隔开）：． (1)正分数：{                   …}； (2)负数：{                   …}； (3)整数：{                   …}； (4)正整数：{                   …}； (5)有理数：{                   …}． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是正确掌握分类的标准以及注意0既不是正数也不是负数．根据有理数的分类填空即可． 【详解】（1）正分数：{…}； （2）负数：{…}； （3）整数：{…}； （4）正整数：{…}； （5）有理数：{…}． 16．指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数： ，，，，1，，0，，，． 【答案】正有理数：，1，，，；负有理数：，，，；整数：，，，1，0 【分析】本题考查了有理数分类，熟练掌握其分类及定义是解题的关键．根据有理数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：正有理数：，1，，，； 负有理数：，，，； 整数：，，，1，0． 17．（1）与0之间有负数吗？0与1之间呢？如果有，请举例；如果没有，请说明理由． （2）与之间有负整数吗？与2之间有哪些整数？ （3）有比还大的负整数吗？ （4）写出3个小于并且大于的数． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解（4）见详解． 【分析】本题主要是考查有理数的大小的比较和有理数的分类，认真掌握有理数比较大小的方法及负数、整数、负整数的定义与特点，负数：任何正数前加上负号都等于负数，负数比零，正数小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）正数负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此解答即可； （2）据负数、整数、负整数的定义与特点回答； （3）据负数、整数、负整数的定义与特点回答； （4）几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此解答即可 【详解】解：（1）与0之间有负数，如；0与1之间没有负数，原因是负数小于0； （2）和之间有负整数；与2之间有整数，0，1； （3）没有比大的负整数； （4）例如，． 18．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)正数； (2)B、D； (3)正数，A． 【分析】本题考查了数字规律问题，找出题中数字排列规律是解题的关键． （1）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案； （2）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案； （3）因为，根据规律，即得答案． 【详解】（1）解：由数字排列规律可知：A是正数，B是负数，C是正数，D是负数．每4个数一循环， 所以在A处的数是正数； （2）解：由（1）可知，负数排在B，D的位置上； （3）解：， 根据（1）中数字排列规律可知，第2 028个数是正数，排在对应A的位置上． 19．在下列空格里打“√”，表示该数属于哪种类型的数： 类型 数 有理数 正整数 负整数 正分数 负分数 非负数 +3 　　 　　 　　 　　 　　 　　 ﹣1 　　 　　 　　 　　 　　 　　 0 　　 　　 　　 　　 　　 　　 0.5 　　 　　 　　 　　 　　 　　 ﹣6 　　 　　 　　 　　 　　 　　 【答案】见解析 【分析】依据有理数的分类，按整数、分数的关系分类可得：有理数包含正整数、0、负整数，正分数、负分数；按正数、负数与0的关系分类可得：有理数包含正整数、正分数、0、负整数、负分数． 【详解】解：+3属于有理数，正整数，非负数； ﹣1属于有理数，负分数； 0属于有理数，非负数； 0.5属于有理数，正分数，非负数； ﹣6属于有理数，负整数． 类型 数 有理数 正整数 负整数 正分数 负分数 非负数 +3 　√　 　√　 　．　 　．　 　．　 　√　 ﹣1 　√　 　．　 　．　 　．　 　√　 　．　 0 　√　 　．　 　．　 　．　 　．　 　√　 0.5 　√　 　．　 　．　 　√　 　．　 　√　 ﹣6 　√　 　．　 　√　 　．　 　．　 　．　 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：非负数包括正数和0． 20．任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：可以写成可以写成，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数为例，进行探索： 设，① 两边同乘以得： ，② ②-①得： 因此，是有理数． （1）直接用分数表示循环小数 （2）试说明是一个有理数，即能用一个分数表示． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）设，两边乘10，仿照例题可解； （2）设，两边乘100，仿照例题可化简求解． 【详解】解：（1）设，① 两边乘10得：，② ②-①得：， ∴， ∴； （2）设，① 两边同乘以得：，② ②-①得： ， 因此是有理数 【点睛】本题需理解题中的例子，将一个循环小数化为分数的方法，需要学生有很好的分析理解能力． 学科网（北京）股份有限公司 $$