1.4 有理数的加法与减法导学案 2025-2026学年湘教版（2024） 数学七年级上册

1.4.1 第1课时　有理数的加法法则 素养目标 1.回顾非负数的加法法则,探究有理数的加法法则. 2.能熟练进行有理数的加法运算. 正确进行有理数的加法运算. 【自主预习】 小学学过的加法是正数与正数相加、正数与0相加.引入负数后,加法有哪几种情况? 1.计算(-3)+5的结果等于 ( ) A.2　　　　　B.-2　　　　　C.8　　　　　D.-8 2.计算:(-2)+(-5)= ( ) A.-7　　　　　B.7　　　　　C.-3　　　　　D.3 3.计算:-9+9= .  4.计算:-3+0= .  【合作探究】 知识点一：两个负有理数的加法法则 　　阅读课本本课时“例1”及之前的内容,回答下列问题. 1.计算:(-3)+(-6). 2.计算:(-5.125)+(-6.875). 　　两个负数相加,结果是 ,并把它们的绝对值 .  1.计算(-2)+(-7)的结果为 ( ) A.9　　　　　B.-9　　　　　C.5　　　　　D.-5 2.计算:(-4)+(-4)= .  知识点二：两个异号有理数的加法法则 　　阅读课本本课时“例1”之后至“例2”的内容,回答下列问题. 计算:(1)(-0.9)+1.5;(2)(-22)+15;(3)0+(-8). 　　1.异号两数相加,当正数的绝对值较大时,得正数,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;当负数的绝对值较大时,得负数,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.互为相反数的两个数相加得 .  3.一个数与0相加,仍得这个数. 1.与-6的和为0的数是 ( ) A.6　　　　　B.-6　　　　　C.　　　　　D.- 2.若一个数比-10的绝对值大1,另一个数比2的相反数小1,则这两个数的和为 ( ) A.7　　　　　B.8　　　　　C.9　　　　　D.-10 3.已知两个数分别为-6和+4. (1)求这两个数的相反数的和. (2)求这两个数的和的相反数. 知识点三：有理数的加法法则的应用 气温由-4 ℃上升了5 ℃后的气温是 ( ) A.-1 ℃　　　　　B.1 ℃ C.-9 ℃　　　　　D.9 ℃ 下列问题情境,不能用加法算式-2+10表示的是 ( ) A.先下降2 cm,再上升10 cm后的水位情况 B.某日最低气温为-2 ℃,温差为10 ℃,该日最高气温 C.用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D.数轴上表示-2与10的两个点之间的距离 题型：绝对值与有理数的加法 例　已知|a|=5,b的相反数为4,求a+b的值. 【易错提示】已知一个字母的绝对值,求有关字母的值时,要注意分两种情况讨论,否则容易出现漏解的情况,体现了分类讨论的数学思想. 变式训练　若|a|=3,|b|=1,且a,b同号,求a+b的值. 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:引入负数后,加法除了小学学过的加法外,新增正数加负数、 负数加负数、0加负数. 自学检测 1.A　2.A 3.0 4.-3 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.解:(-3)+(-6)=-(3+6)=-9. 2.解:(-5.125)+(-6.875) =-(5.125+6.875)=-12. 归纳总结 负数　相加 对点训练 1.B 2.-8 知识点二 解:(1)(-0.9)+1.5=1.5-0.9=0.6. (2)(-22)+15=-(22-15)=-7. (3)0+(-8)=-8. 归纳总结 0 对点训练 1.A　2.B 3.解:(1)因为-6和+4 的相反数分别为6和-4,所以6+(-4)=6-4=2. (2)因为(-6)+(+4)=-(6-4)=-2,所以-2的相反数是2. 知识点三 B 对点训练 D 题型精讲 例 解:因为|a|=5,b的相反数是4,所以a=±5,b=-4, 所以当a=5,b=-4时,a+b=5+(-4)=1; 当a=-5,b=-4时,a+b=-5+(-4)=-9. 综上所述,a+b的值为1或-9. 变式训练 解:当a>0,b>0时,a=3,b=1, 所以a+b=3+1=4; 当a<0,b<0时,a=-3,b=-1, 所以a+b=-3+(-1)=-4. 综上所述,a+b的值为4或-4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.3　有理数的加减混合运算 素养目标 1.知道加法和减法可以统一成加法运算的方法. 2.知道学习有理数加法运算中,加号可以省略的方法. 3.通过有理数的混合运算,体会化归思想在数学中的应用. 将加减混合运算算式转化为加法算式,并能熟练运算. 【自主预习】 1.一天早晨的气温是-3 ℃,中午上升了11 ℃,半夜又下降了9 ℃,则半夜的气温是多少?请列出计算式. 2.请你计算1中所列的计算式. 1.周末,小艺与朋友在山顶放气球,气球从地面先上升6米,然后下降2米,又上升3米,接着又下降2米,则此时气球离地面的高度为 ( ) A.5米　　　　　B.4米　　　　　C.3米　　　　　D.2米 2.小明近期几次数学成绩如下:第一次85分,第二次比第一次高8分,第三次比第二次低12分.那么小明第三次测验的成绩是 分.  【合作探究】 知识点一：有理数的加减混合运算 　　阅读课本本课时“例7”及之前的内容,回答下列问题. 计算:(1)-20+(-14)-(-18)-13; (2)3-(-15)-+(-15); (3)(-8)+(-1.2)+(-0.6)+(-2.4). 　　引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算.a+b-c=a+b+(-c). 1.把-(-3)-4+(-5)写成省略括号的形式,正确的是 ( ) A.3-4-5　　　　　B.-3-4-5 C.3-4+5　　　　　D.-3-4+5 2.计算(-4)-(+7)-(-8)+(+3)的结果是 .  3.计算:23+(-14)-35-(-10). 知识点二：含有绝对值符号的有理数加减混合运算 　　阅读课本本课时“例8”的内容,回答下列问题. 计算:(-21)-(-9)+|-8|-(-12). 　　当式子是含有绝对值符号的有理数加减混合运算时,先将绝对值求出来,同时将有理数的混合运算统一成有理数的加法运算,再利用有理数的加法法则计算,得到结果. 1.计算28+(-14)-(-32)-|+6|的值为 ( ) A.-40　　　　　B.40　　　　　C.-80　　　　　D.80 2.计算:23-|-6|-(+23)= .  知识点三：有理数加减混合运算在实际生活中的应用 　　阅读课本本课时“例9”,回答下列问题. (真实生活情境)某市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋,检测每袋的质量是否符合标准,把超过或不足的部分分别用正、负数来表示,记录如下表: 与标准质量的差值 (单位:克) -6 -2 0 1 3 4 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)若标准质量为450克,则抽样检测的20袋食品的总质量为多少克? (2)若该种食品的合格标准为(450±5)克,求该食品的抽样检测的合格率. 一名足球守门员练习折返跑,从球门的位置出发,向前记作正数,返回记作负数,他的记录如下(单位:米):+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10. (1)守门员是否回到了原来的位置? (2)守门员离开球门的位置最远是多少? (3)守门员一共跑了多少米? 题型：数学游戏与有理数的加减混合运算 例　小明和小红在游戏中规定:长方形表示加,圆形表示减,结果小者为胜.列式计算,小明和小红谁为胜者? 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:半夜的气温是-3+11-9. 2.解:-3+11-9=8-9=8+(-9)=-1(℃). 自学检测 1.A 2.81 【合作探究】 知识生成 知识点一 解:(1)原式=+(-20)+(-14)+18+(-13) =18+[(-20)+(-14)+(-13)] =18+(-47)=-29. (2)原式=3+15+3+(-15)=3+3=6. (3)原式=-(8+1.2+0.6+2.4)=-12.2. 对点训练 1.A 2.0 3.解:原式=23+(-14)+(-35)+10=23+10+[(-14)+(-35)]=33+(-49)=-16. 知识点二 解:原式=(-21)+9+8+12=(-21)+(9+8+12)=(-21)+29=8. 对点训练 1.B 2.-6 知识点三 解:(1)总质量=450×20+(-6)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+1×4+3×5+4×3=9 000-6-8+4+15+12=9 017(克). (2)由题意得合格的有19袋,所以食品的合格率为×100%=95%. 对点训练 解:(1)根据题意得5-3+10-8-6+12-10=0, 故回到了原来的位置. (2)离开球门的位置分别是5米,2米,12米,4米,2米,10米,0米, 所以离开球门的位置最远是12米. (3)总路程=|5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=54米. 故守门员一共跑了5千米. 题型精讲 例 解:小明:-4.5+3.2-1.1+1.4=4.6-5.6=-1. 小红:-8+2-(-6)-7=-7. 因为-7<-1,所以小红为胜者. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2　有理数的减法 素养目标 1.类比非负数的减法法则,探究有理数的减法法则. 2.能将有理数的减法运算转化为有理数的加法运算,能熟练地进行有理数的减法运算. 3.感受有理数减法与加法对立统一的辩证思想,体会转化的思想方法. 合理地运用有理数的减法法则进行有理数的减法运算. 【自主预习】 1.某日小明去爬山,测得山脚气温为19 ℃,山顶气温为-3 ℃,山脚与山顶的温度差为多少?你能列出算式吗? 2.你能计算1中所列出的算式吗? 1.计算(-3)-(-2)的结果是 ( ) A.1　　　　　B.-1　　　　　C.5　　　　　D.-5 2.计算-2-8的结果是 ( ) A.-6　　　　　B.-10　　　　　C.10　　　　　D.6 【合作探究】 知识点一：有理数的减法法则 　　阅读课本本课时“做一做”的内容,回答下列问题. 1-(-3)可以转化的运算是 ( ) A.1+(-3)　　　　　B.-1+3 C.1-3　　　　　 D.1+3 　　有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.即a-b=a+(-b). 与(-a)-(-b)相等的式子是 ( ) A.(+a)+(-b)　　　　　B.(-a)+(-b) C.(-a)+(+b)　　　　　D.(+a)+(+b) 知识点二：有理数的减法运算 　　阅读课本本课时“议一议”及“例5”的内容,回答下列问题. 计算:(1)(-3)-(+7); (2)-; (3)-; (4)0-(-5); (5)-; (6)-5-0. 　　(1)任何数减0都得这个数;0减任何数都得这个减数的 .  (2)差的正负性情况:①较大的数-较小的数= 数,即若a>b,则a-b 0,反之亦然;②较小的数-较大的数= 数,即若a<b,则a-b 0,反之亦然;③相等的两个数的差为 ,即若a=b,则a-b= ,反之亦然.  1.下列计算错误的是 ( ) A.3-7=-4　　　　　B.-8-(-8)=0 C.8-(-8)=16　　　　　D.-8-8=0 2.若(　　)-(-4)=-9,则括号内的数是 .  知识点三：有理数的减法运算在实际中的应用 　　阅读课本本课时“例6”的内容,回答下列问题. 根据天气预报,某市市区今年1月17日~23日的最高气温与最低气温如下表所示,请问哪天的温差最大?哪天的温差最小? 日期 17 18 19 20 21 22 23 最高气温/℃ 6 6 8 10 11 9 7 最低气温/℃ -7 -4 -2 -2 -1 0 -1 1.(跨学科情境)徐志摩的《泰山日出》一文描写了泰山日出的壮丽景象,1月份的泰山,山顶平均气温为-9 ℃,山脚平均气温为-1 ℃,则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是 ( ) A.-8 ℃　　　　　B.-10 ℃ C.10 ℃　　　　　D.8 ℃ 2.矿井下A,B,C三处的高度分别是-37 m,-129 m,-71.3 m,那么最高处比最低处高 m.  题型：有理数的减法与绝对值的综合 例　已知有理数a,b满足|a|=5,|b|=2,且|a+b|=a+b,求a-b的值. 变式训练　已知有理数a,b满足|a|=7,|b|=3,且|a-b|=b-a,求a-b的值. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:温度差为22 ℃,算式为19-(-3). 2.解:19-(-3)=19+3=22(℃). 自学检测 1.B　2.B 【合作探究】 知识生成 知识点一 D 对点训练 C 知识点二 解:(1)(-3)-(+7)=(-3)+(-7)=-10. (2)-=+=. (3)-=+=-3. (4)0-(-5)=0+5=5. (5)-=+2=0. (6)-5-0=-5+0=-5. 归纳总结 (1)相反数 (2)正　>　负　<　0　0 对点训练 1.D 2.-13 知识点三 解:17日的温差:6-(-7)=6+(+7)=13(℃); 18日的温差:6-(-4)=6+(+4)=10(℃); 19日的温差:8-(-2)=8+(+2)=10(℃); 20日的温差:10-(-2)=10+(+2)=12(℃); 21日的温差:11-(-1)=11+(+1)=12(℃); 22日的温差:9-0=9(℃); 23日的温差:7-(-1)=7+(+1)=8(℃). 因为8<9<10<12<13,所以17日的温差最大,23日的温差最小. 对点训练 1.D 2.92 题型精讲 例 解:因为|a|=5,|b|=2,所以a=±5,b=±2.又因为|a+b|=a+b,所以a+b为非负数, 即a=5,b=2时符合题意;a=5,b=-2时符合题意. 故a-b=5-2=3或5-(-2)=7, 故a-b的值为3或7. 变式训练 解:因为|a|=7,|b|=3, 所以a=±7,b=±3. 因为|a-b|=b-a, 所以a=-7,b=3或a=-7,b=-3, 所以a-b=-7-3=-10或-7-(-3)=-7+3=-4, 所以a-b的值是-10或-4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1第2课时　有理数加法的运算律与实际应用 素养目标 1.类比非负数的加法运算律,探究有理数的加法交换律与结合律. 2.能运用加法运算律简化运算,体会加法运算律的作用. 3.通过探索有理数加法运算律,体会观察、实验、归纳、推理等活动在数学学习中的作用. 有理数的加法交换律和结合律. 【自主预习】 在小学学习过的加法交换律和加法结合律,在有理数加法运算中还适用吗? 1.下列变形中,正确使用加法交换律的是 ( ) A.(-5)+(-8)=-(5+8) B.(-7)+11=7+(-11) C.(-3)+(-4)=(-4)+(-3) D.4+6=(-4)+(-6) 2.下列变形中,运用加法运算律正确的是 ( ) A.3+(-2)=2+3 B.4+(-6)+3=(-6)+4+3 C.[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2 D.+(-1)+=+(+1) 【合作探究】 知识点一：加法运算律 　　阅读课本本课时“例3”之前的内容,回答下列问题. 小磊解题时,将式子+(-7)++(-4)先变成+[(-7)+(-4)]再计算结果,则小磊运用了 ( ) A.加法交换律 B.加法交换律和加法结合律 C.加法结合律 D.乘法交换律 　　一般地,有理数的加法满足以下两个运算律: 加法交换律:a+b= .  加法结合律:(a+b)+c= .  即两个有理数相加,交换加数的位置,和 ;三个有理数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,和 .  +(-2.5)+3.5+=+[(-2.5)+3.5]这个运算中运用了 ( ) A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律和加法结合律 D.乘法交换律 知识点二：有理数加法的简便运算 　　阅读课本本课时“例3”的内容,回答下列问题. 计算:(1)(-1.4)+(-3.9)+(-4.6)+6.9; (2)+11++29; (3)+++. 【方法归纳交流】多个有理数相加时,一般情况下怎样做可以简化运算? 用适当方法计算: (1)(-51)+(+12)+(-7)+(-11)+(+36); (2)1.3+0.5+(-0.5)+0.3+(-0.7)+3.2+(-0.3)+0.7. 知识点三：有理数的加法在实际中的应用 　　阅读课本本课时“例4”的内容,回答下列问题. 某交警开车在一条东西走向的公路上巡逻,约定向东为正方向,从出发点A开始所走的路程(单位:千米)为+14,-9,+8,-7,+13,-6,+12,-5. (1)请你帮忙确定该交警最后所在地相对于点A的方位与距离. (2)若汽车每千米耗油0.2升,该交警有其他任务,马上返回出发点A,则这次巡逻(含返回)车共耗油多少升? 题型：有理数的加法在实际中的应用 例　某自行车厂计划每天生产自行车200辆,但由于种种原因,实际每天生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况(超产记为正、减产记为负): 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 -2 -4 +13 -10 +16 -9 (1)根据表格中的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆? (2)根据表格中的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆? (3)该厂实行每周计件工资制,每生产一辆车可得60元,若超额完成任务,则超过部分每辆另奖15元,少生产一辆扣20元.那么该厂工人这一周的工资总额是多少? 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:仍然适用. 自学检测 1.C　2.B 【合作探究】 知识生成 知识点一 B 归纳总结 b+a　a+(b+c)　不变　不变 对点训练 C 知识点二 解:(1)(-1.4)+(-3.9)+(-4.6)+6.9=[(-1.4)+(-4.6)]+[(-3.9)+6.9]=-6+3=-3. (2)+11++29=+(11+29)=-1+40=39. (3)+++=+=0+=. 【方法归纳交流】 解:分别把正数和负数相加;互为相反数的两个数相加;把同分母或易通分的分数相加;把能够凑整的数相加.(答案不唯一) 对点训练 解:(1)(-51)+(+12)+(-7)+(-11)+(+36) =-39+(-7)+(-11)+(+36) =-46+(-11)+(+36) =-57+(+36)=-21. (2)1.3+0.5+(-0.5)+0.3+(-0.7)+3.2+(-0.3)+0.7=(1.3+3.2)+[0.5+(-0.5)]+[0.3+(-0.3)]+[(-0.7)+0.7]=4.5+0=4.5. 知识点三 解:(1)+14+(-9)+(+8)+(-7)+(+13)+(-6)+(+12)+(-5)=20(千米). 答:交警最后所在地在点A的东侧20千米处. (2)14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|+20=94(千米),94×0.2=18.8(升). 答:这次巡逻(含返回)共耗油18.8升. 题型精讲 例 解:(1)200+13=213(辆). (2)根据题意得(+5)+(-2)+(-4)+(+13)+(-10)+(+16)+(-9)=9, 200×7+9=1 409(辆). 故该厂本周实际生产自行车1 409辆. (3)根据题意得本周工人工资总额=7×200×60+9×75=84 675元. 故该厂工人这一周的工资总额是84 675元. 学科网（北京）股份有限公司 $$