第三章 二次函数（含14种题型）（知识清单）数学鲁教版五四制九年级上册

第三章 二次函数 1. 二次函数的定义：一般地，形如__________(a__________0，其中a，b，c是__________)的函数叫做二次函数. 其中，__________是自变量，a，b，c分别是函数解析式的__________、__________和__________. 2. 二次函数的图像特征：二次函数的图像是一条关于__________对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该__________叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的__________叫做抛物线的顶点. 3. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ 顶点坐标 __________ 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而__________； x＜0时，y随x的增大而__________. x＞0时，y随x的增大而__________； x＜0时，y随x的增大而__________. 最值 当x__________0时，函数图像有最__________点，有最__________值__________. 当x__________0时，函数图像有最__________点，有最__________值__________ 4. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 k的符号 k__________0 k__________0 k__________0 k__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ 顶点坐标 __________ 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而__________； 当x＞0时，y随x的增大而__________. 当x＜0时，y随x的增大而__________； 当x＞0时，y随x的增大而__________. 最值 当x__________0时，y有最__________值__________ 当x__________0时，y有最__________值__________. 5. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 h的符号 h__________0 h__________0 h__________0 h__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ 顶点坐标 __________ 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 最值 当x＝h时，y有最__________值__________ 当x＝h时，y有最__________值__________ 6. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ __________ 顶点坐标 __________ __________ 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 7. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ __________ 顶点坐标 __________ __________ 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而__________； x＜时，y随x的增大而__________. x＞时，y随x的增大而__________； x＜时，y随x的增大而__________. 最值 抛物线有最__________点，当x=时，y有最__________值， 抛物线有最__________点，当x=时，y有最__________值， 8. 二次函数与x轴的交点个数 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 __________ __________ △＝0 __________ __________ △＜0 __________ __________ 9. 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 序号 易错点 易错题 注意事项 1 忽略二次项系数不能为0的隐含条件 1-2 当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数. 2 记错二次函数的顶点坐标 3-4 3 二次函数各项系数之间的关系 5-6 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 4 二次函数平移问题 7-8 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. 5 二次函数的最值问题 9-10 二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围. 1．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数． (1)当m取什么值时，y是x的二次函数． (2)当m取什么值时，y是x的反比例函数． 2．（2025·山东东营·一模）抛物线与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的顶点坐标为 ． 4．（21-22九年级上·北京丰台·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 那么该抛物线的顶点坐标是 ． 5．（2025·山东烟台·一模）已知抛物线（a，b，c均为常数，且）经过点，下列结论：①；②；③当时y随x的增大而增大；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是 个． 6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：（1）；（2）；（3） ；（4）（的实数）；（5）；（6）其中正确结论的有 个． 7．（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 8．（24-25九年级上·山东临沂·期中）抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位，平移后得到抛物线解析式为 ． 9．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数有最小值，则的值为 ． 重难点01 二次函数的定义 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列函数中，①；②；③；④；⑤．是二次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 3．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ． 4．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 重难点02 二次函数的图像与性质 5．（2025·山东滨州·模拟预测）下面四个选项中同时具备如下三条性质的二次函数解析式为（   ） 性质1：开口向上； 性质2：对称轴； 性质3：与轴有两个交点． A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东滨州·期末）已知抛物线与纵轴交于点，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东聊城·期末）二次函数的图象如图所示．请根据图象求出k的取值范围 ． 10．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求的最大值． 12．（24-25九年级上·山东德州·期末）设二次函数（，是常数）． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； (3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． 重难点03 待定系数法求二次函数解析式 13．（24-25九年级上·山东威海·期末）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 3 … y … 5 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（   ） A． B． C． D．5 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则 ． 15．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知某抛物线的顶点坐标为，且与y轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是 重难点04 函数图像综合 16．（24-25九年级上·山东济南·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A．B．C．D． 17．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 19．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 重难点05 二次函数图像与各项系数之间的关系 20．（24-25九年级上·山东济南·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①；②方程必有一个根大于2且小于3；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（24-25九年级上·山东聊城·期末）抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 22．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是 ．（填序号） 23．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ． 重难点06 二次函数平移问题 24．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 25．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 26．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线与x轴的公共点坐标为 ． 27．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知二次函数图象的对称轴为，与轴交点的纵坐标为2，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)将该抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位，平移后的抛物线经过点，求的值． 重难点07 二次函数最值问题 28．（24-25九年级上·山东威海·期中）已知抛物线，为实数，当时，的最大值为4，此时的值为 ． 29．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数，当时，y有最大值和最小值1，则m的取值范围是 ． 30．（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值为 31．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数（其中x是自变量且），且时，y的最小值为1，则a的值是 ． 重难点08 二次函数与坐标轴交点问题 32．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若抛物线与x轴有交点，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 33．（24-25九年级上·山东淄博·期中）拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 34．（2024·山东临沂·一模）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ． 35．（24-25九年级上·山东威海·期中）已知：y关于x的函数表达式为 (1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点． (2)不论k为何值，该函数的图象一定经过两个定点，请直接写出这两个定点坐标． 重难点09 二次函数与不等式 36．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)直接写出不等式的解集． 37．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，一次函数（为常数）的图像与反比例函数（为常数，且）的图像相交于A、两点，且点A的坐标为． (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 38．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点．    (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； (2)连接A、B、C三点，求的面积． (3)直接写出不等式的解集． 重难点10 二次函数与实际应用 39．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（）． (1)如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ (2)能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由． 40．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 41．（24-25九年级上·山东滨州·期末）春节临近，某水果批发商销售每箱进价为元的阳信鸭梨，物价部门规定每箱销售不得高于元，市场调查发现，若每箱以元的价格出售，平均每天销售箱，价格每提高元平均每天少销售箱． (1)设每箱涨价元，每天盈利元，列出与的函数关系式． (2)当每箱售价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 42．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 43．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)求出下边缘抛物线落地点B的坐标； 重难点11 二次函数定值问题 44．（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知抛物线，交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于E点，点P是线段BE上的动点（除B，E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，当时，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当点P的横坐标为2时，求四边形的面积 (3)如图2，直线分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (4)如图3，点在抛物线上，当是以为斜边的直角三角形时，求点P的坐标． 45．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，点在抛物线上，使，求点的坐标； (3)如图2，点为轴下方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点，探究是否为定值，写出探究过程． 46．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 重难点12 二次函数整点问题 47．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 48．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 49．（2024九年级下·云南·学业考试）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 重难点13 二次函数与几何综合 50．（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 51．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的时，求点的坐标； (3)如图②，点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 52．（2025·山东济南·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形． (1)求抛物线的解析式； (2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围； (3)连接，直接写出的最小值． 重难点14 二次函数存在性问题 53．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知抛物线，与轴交于点和，点在点的左边 (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)求的正弦值； (3)若点在轴上使为等腰三角形，请直接写出点坐标． (4)在抛物线上是否存在点，使与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 54．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 55．（2025·山东东营·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 57．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 二次函数 1. 二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2. 二次函数的图像特征：二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 3. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0. 4. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 k的符号 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 5. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 h的符号 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 6. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 7. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 8. 二次函数与x轴的交点个数 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 9. 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 序号 易错点 易错题 注意事项 1 忽略二次项系数不能为0的隐含条件 1-2 当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数. 2 记错二次函数的顶点坐标 3-4 3 二次函数各项系数之间的关系 5-6 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 4 二次函数平移问题 7-8 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. 5 二次函数的最值问题 9-10 二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围. 1．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数． (1)当m取什么值时，y是x的二次函数． (2)当m取什么值时，y是x的反比例函数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，反比例函数的定义，解一元二次方程及不等式，掌握相关定义是解题关键． （1）根据二次函数的定义列方程和不等式求解即可； （2）根据反比例函数的定义列方程和不等式求解即可． 【详解】（1）解：函数是y关于x的二次函数， ，， 解得：， 即当时，y是x的二次函数； （2）解：函数是y关于x的反比例函数， ，， 解得：， 即当时，y是x的反比例函数． 2．（2025·山东东营·一模）抛物线与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与二次函数的定义，解答本题的关键是明确二次函数（是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数．根据抛物线与轴有两个不同的交点及二次函数的定义，则且，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意：且， 解得：且， 故答案为：且． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数顶点坐标公式．根据题意利用二次函数顶点坐标公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴， ∴顶点坐标为：，即， 故答案为：． 4．（21-22九年级上·北京丰台·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 那么该抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为，即可求解． 【详解】解：由表格可得，点和点对称， ∴对称轴为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特征，根据二次函数图象上对称点求得对称轴是解题的关键． 5．（2025·山东烟台·一模）已知抛物线（a，b，c均为常数，且）经过点，下列结论：①；②；③当时y随x的增大而增大；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据抛物线经过点、结合题意判断①②；根据抛物线的对称性判断③；根据一元二次方程根的判别式判断④． 【详解】解：②∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即，故②正确； ①∵，， ∴， ∴，故①正确； ③∵ ∴对称轴， ∴当时，随的增大而增大，故③正确； ④∵， ∴， 对于方程，， ∴方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上所述，其中正确结论的个数是4． 故答案为：4． 6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：（1）；（2）；（3） ；（4）（的实数）；（5）；（6）其中正确结论的有 个． 【答案】4 【分析】（1）由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴位置确定的符号，可对（1）作判断；（2）根据时，函数值小于，即可求解；（3）根据对称性可得：当时，，可作判断；（4）根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；（5）根据对称轴为，即可判断；（6）根据对称轴为：可得：，结合时，，可作判断； 【详解】解：（1）该抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴在轴右侧， 、异号， ； 抛物线与轴交于正半轴， ， ；故（1）正确； （2）根据函数图象，可得当时，函数值小于， 即，故（2）不正确； （3）根据抛物线的对称性知，与的函数值相等，故当时，，即；故（3）正确； （4）对应的函数值为， 对应的函数值为， 又时函数取得最大值， 当时 即，故（4）错误 （5）∵对称轴为：, ， ，故（5）正确. （6）∵对称轴方程， ， ， 当时，， ∴， ，故（6）正确； 故正确的有（1）（3）（5）（6），共5个 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，二次函数图像平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先把化成顶点式，然后确定顶点坐标为，再把顶点按照题干要求平移得到新的顶点坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴把点向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， ∴平移后得到的抛物线解析式为：． 故答案为． 8．（24-25九年级上·山东临沂·期中）抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位，平移后得到抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据平移规律“左加右减，上加下减”可得答案． 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位， 平移后的抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 直接利用配方法求出二次函数最小值，进而利用二次函数增减性得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， 整理得：， 故当时，有最小值为； ∵， ∴当时，有最大值为； 故； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数有最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当时，函数有最小值， ∴当时，时取最小值，即， 解得（舍去）， 当时，号时取最小值，即， 解得（不合，舍去），（不合，舍去）； 当时，时取最小值，即， 解得 综上，的值为， 故答案为：． 重难点01 二次函数的定义 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列函数中，①；②；③；④；⑤．是二次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：①，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，不是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤，是二次函数； 共有2个二次函数， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 3．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 重难点02 二次函数的图像与性质 5．（2025·山东滨州·模拟预测）下面四个选项中同时具备如下三条性质的二次函数解析式为（   ） 性质1：开口向上； 性质2：对称轴； 性质3：与轴有两个交点． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，，， ∴与轴有两个交点，故该选项正确，符合题意；     B. ，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，， ∴与轴有1个交点，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，抛物线开口向上，对称轴为直线，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，抛物线开口向下，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 6．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据完全平方公式进行配方得到顶点式即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 7．（24-25九年级上·山东滨州·期末）已知抛物线与纵轴交于点，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线的旋转，熟练掌握抛物线的旋转是解题的关键．根据抛物线解析式求出点坐标．在由题意得到旋转后顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与纵轴交于点，则点坐标为， 抛物线对称轴为，顶点坐标为， 将此抛物线绕点顺时针旋转， 新的顶点坐标为， 故新的抛物线的解析式为． 故选A． 8．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值大小确定，绝对值越大，开口越小． 【详解】解：， 的开口最小，的开口最大， 即， 故选：C． 9．（24-25九年级上·山东聊城·期末）二次函数的图象如图所示．请根据图象求出k的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是二次函数图像与性质，根据图象与y轴交点在原点上方、图像与x轴有两个交点及对称轴在y轴右侧计算取值范围即可． 【详解】解：由题意得：当时，，则， 抛物线与x轴有两个交点， ， 解得：， 抛物线对称轴在y轴右侧， ， 解得：， 且， 故答案为：且． 10．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程与函数图象的关系，方程的解就是函数与函数交点的横坐标，数形结合是解题的关键． 作函数的图象，从而利用数形结合解得． 【详解】解：根据题意作函数的图象如下： 结合图象可知，若直线与函数的图象有四个交点， 则关于的方程有 4 个不同的实数根， 所以的取值范围是， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）将二次函数化为顶点式即可； （2）将二次函数化为顶点式可得出其顶点为，得出，．根据图象经过点，即得出，从而可求出，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，该二次函数为：， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵该函数图象经过点， ∴，即． ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且． 12．（24-25九年级上·山东德州·期末）设二次函数（，是常数）． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； (3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，见解析 (2)， (3)或且 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图像和性质等知识． （1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式求解即可． （2）由对称轴得出，代入函数解析式即可求出次函数为，然后求出当时，必的值即可得到函数图象与x轴交点的坐标； （3）由已知可知二次函数与x轴交点为、，根据一元二次方程根与系数的关系可得，结合．得，在分类讨论，即可得出结论． 【详解】（1）解：设  ∴， ∵ ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根． ∴二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个． （2）解：∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数为， 令，则， 解得，， ∴这个函数图象与轴交点的坐标为， （3）解：∵，在这个函数的图象上，且． ∴，即， 当时，，得二次函数与轴交点为、， ∴ 当时，由，得，即，即． 当时，由，得，即，即． ∴或且． 重难点03 待定系数法求二次函数解析式 13．（24-25九年级上·山东威海·期末）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 3 … y … 5 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象，待定系数法求出函数解析式，先根据表格数据得出是错误的或是错误的，因为函数经过函数经过，，，利用待定系数法求出函数解析式，再代入或进行计算，可得答案．利用函数图象关于对称轴对称是解题关键． 【详解】解：由表格数据可知，或时，的值相同，都是， 抛物线的对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 与所对应的是相等的， 是错误的或是错误的， 函数经过，，， 把，，代入函数解析式，得 ， 解得， 函数解析式为； 当时，，当时，， 故选：C． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标，即可得出，再利用图象上对称两点的坐标，即可求出的值，从而得出抛物线的解析式，然后把代入，即可得出答案． 【详解】解：抛物线与x轴只有一个公共点， 该抛物线的顶点坐标为，且， ， 抛物线过点，， 该抛物线的对称轴为直线， 即：， ， 把代入，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，中点坐标公式等知识点，根据题意求得的值是解题的关键． 15．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知某抛物线的顶点坐标为，且与y轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．根据二次函数顶点坐标设出顶点形式，把代入求出a的值，即可确定出解析式． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得：，即， 则抛物线解析式为：． 故答案为：． 重难点04 函数图像综合 16．（24-25九年级上·山东济南·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向上可得，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向上可得，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故， 则反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：B． 17．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数及二次函数的图象与性质是解题的关键．分别对各选项中二次函数的开口方向、对称轴及一次函数所经过的象限进行分析，即可判断答案． 【详解】A、二次函数的图象开口向上，，则一次函数的图象经过一、三、四象限，故选项A错误； 对于B，C，D，由一次函数的图象可得，则二次函数的图象应开口向上，对称轴是，应在y轴右侧，故B选项正确，C，D选项错误． 故选B． 18．（24-25九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，根据反比例函数图象与系数关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进行解答即可，熟练掌握相关函数图象与其系数的关系是关键． 【详解】解：一次函数图象经过第一、二、四象限， ，， 反比例函数的图象在第二四象限， ， ，，， 函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交点在负半轴，选项A符合． 故选：A． 19．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解答本题的关键．直接利用二次函数图象经过的象限得出的符号，再根据反比例函数的图象与性质得出其经过的象限，即可得出答案． 【详解】解：A、二次函数开口方向向上，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故A选项不符合题意； B、二次函数开口方向向上，则，对称轴位于轴的左侧，则，同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项不符合题意； C、二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故C选项不符合题意； D、二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故D选项符合题意； 故选：D． 重难点05 二次函数图像与各项系数之间的关系 20．（24-25九年级上·山东济南·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①；②方程必有一个根大于2且小于3；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标，且对称轴是直线， ∴与x轴的另一个交点的横坐标， ∴方程必有一个根大于2且小于3，故②正确； 当时，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值，为， 殷伟对于任意实数m，都有， ∴， ∴， 即，故④错误； 故选：C 21．（24-25九年级上·山东聊城·期末）抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图像的性质等，根据抛物线对称轴，经过点得到，再由开口向下，得到，则，据此可判断①②；根据和关于对称轴对称，则时，，即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据时，，得到，进而得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴， ， ∴，故②正确； ∵开口向下， ∴， ， ∵图像与y轴正半轴相交， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线对称轴， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③正确， ∵抛物线与x轴交于，抛物线对称轴， 抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴抛物线与轴有2个交点，则 ∴，故④正确； ∵抛物线与x轴的另外一个交点为，开口向下， 时，， ， ， ，即，故⑤错误， 故选：B． 22．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， ， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即．故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ，故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 ，故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤， 故答案为：①②⑤． 23．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得，故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：6，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ，故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又 ， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则，故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则，故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 重难点06 二次函数平移问题 24．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 25．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 26．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线与x轴的公共点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的平移问题，根据题意可得二次函数与x轴的两个交点坐标为，再由二次函数是由二次函数向右平移2个单位得到的可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴二次函数与x轴的两个交点坐标为， ∵二次函数是由二次函数向右平移2个单位得到的， ∴二次函数与x轴的公共点坐标为， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知二次函数图象的对称轴为，与轴交点的纵坐标为2，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)将该抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位，平移后的抛物线经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）设二次函数的表达式为，根据题意得出，将代入中即可求出； （2）先将平移后的函数解析式求出，将代入平移后的函数解析式即可求出本题答案． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， ∵二次函数图象的对称轴为，与轴交点的纵坐标为2， ∴， ∴，即， 将代入中，则， ∴，则， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：将该抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位， 平移后的函数解析式为， ∵平移后的抛物线经过点， ∴， 解得：． 重难点07 二次函数最值问题 28．（24-25九年级上·山东威海·期中）已知抛物线，为实数，当时，的最大值为4，此时的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； 【详解】解：∵， ∴对称轴为，函数图象开口向上， ， ， ∴当时，取最大值4， ， 解得：， 故答案为：或． 29．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数，当时，y有最大值和最小值1，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得m的取值范围． 【详解】解：二次函数 ∴该函数图象开口向下，对称轴是直线， 当时，该函数取得最大值 ∵当时，y有最大值和最小值1， 当时，，根据对称性，时，， ， 故答案为：． 30．（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值为 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．函数配方后得，当时，函数值y的最小值，则当，y有最小值可得m． 【详解】解∶， 当时，函数值y的最小值为， 根据题意，当时，y的值最小 ． 解得， 故答案为． 31．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数（其中x是自变量且），且时，y的最小值为1，则a的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求出二次函数的对称轴，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，然后分，，三种情况利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，在时，y随着x的增大而增大， 当时，y取得最小值，， ∵y的最小值为1， ∴， 解得，不合题意舍去， 当时，在时， 当时，y取得最小值，， ∵y的最小值为1， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， 此时符合题意； 当时，在时，y随着x的增大而减小， 当时，y取得最小值，， ∵y的最小值为1， ∴， 解得， 此时符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或 重难点08 二次函数与坐标轴交点问题 32．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若抛物线与x轴有交点，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题，解题的关键是根据抛物线与轴有交点得出判别式的取值范围，并考虑二次项系数不为0（抛物线的定义）． 先根据抛物线与轴有交点，得出对应的一元二次方程（当时）的判别式，同时考虑时函数为一次函数的情况井而求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与轴有交点， ∴关于的方程有实数根，且， ∴，且， 解得：且， 故选：D． 33．（24-25九年级上·山东淄博·期中）拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解方程等知识点，当时，计算出，则抛物线与y轴的交点坐标为，再解方程得抛物线与x轴无交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的性质是解决此题的关键． 【详解】当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， ∵， ∴方程无解， ∴抛物线与x轴无交点， ∴抛物线与坐标轴有1个交点， 故选：B． 34．（2024·山东临沂·一模）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，    当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 35．（24-25九年级上·山东威海·期中）已知：y关于x的函数表达式为 (1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点． (2)不论k为何值，该函数的图象一定经过两个定点，请直接写出这两个定点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的性质； （1）当时，方程的，据此判断即可； （2）把解析式整理成，求得方程的解，即可求解． 【详解】（1）证明：y关于x的函数表达式为，当时，得方程， ∴， ∴方程总有实数根， ∴不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点． （2）解：， ∴当时，与无关，过定点， 此时， 当时，，过定点； 当时，，过定点； 综上所述，两个定点坐标，． 重难点09 二次函数与不等式 36．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与x轴的交点坐标， 对于（1），将点的坐标代入关系式可得答案； 对于（2），先求出抛物线与x的交点坐标，再根据图像在x轴上方时函数值大于0，可得自变量取值范围，即为答案． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）∵， ∴二次函数关系式. 当时，， 解得． ∴当时，． 37．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，一次函数（为常数）的图像与反比例函数（为常数，且）的图像相交于A、两点，且点A的坐标为． (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题、用待定系数法求出一次函数的解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）把A的坐标代入两个解析式即可得出答案； （2）联立两函数解析式组成方程组，然后求解即可求出点B的坐标； （3）根据A、B的坐标结合图象，求得一次函数图像位于反比例函数图像上方部分的点的横坐标取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把A的坐标代入两个解析式可得：，， ∴， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． （2）解：联立两函数解析式可得， 解得：， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为． （3）解：由图象可知：不等式的解集是：或． 38．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点．    (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； (2)连接A、B、C三点，求的面积． (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，根据交点坐标求不等式的解集． （1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据求出三角形的面积即可； （3）根据抛物线与直线的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：把代入得， ∴点的坐标为， 把代入得， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． （3）解：根据函数图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， ∴不等式的解集为． 重难点10 二次函数与实际应用 39．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（）． (1)如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ (2)能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，最大面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意正确列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设的长为，则，根据矩形的面积公式列出方程，解方程求出的值，再结合题意即可得出答案； （2）设的长为，则，根据题意求出的取值范围，再根据矩形的面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：设的长为，则， 由题意得，， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：的长是． （2）解：设的长为，则， 由题意得，， 解得：， 又矩形花圃的面积， 花圃的面积在范围内随的增大而减小， 当时，花圃有最大面积，最大面积为． 能围成比更大的花圃，最大面积为． 40．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 【答案】(1) (2)这辆汽车能够通过大门 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键． （1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式 （2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可． 【详解】（1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，． 设抛物线的表达式为． 将点代入得 ，解得， 故此抛物线的表达式为； （2）货物顶点距地面，装货宽度为， 只要判断点或点与抛物线的位置关系即可． 将代入抛物线，得， 点和点都在抛物线内． 这辆汽车能够通过大门． 41．（24-25九年级上·山东滨州·期末）春节临近，某水果批发商销售每箱进价为元的阳信鸭梨，物价部门规定每箱销售不得高于元，市场调查发现，若每箱以元的价格出售，平均每天销售箱，价格每提高元平均每天少销售箱． (1)设每箱涨价元，每天盈利元，列出与的函数关系式． (2)当每箱售价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当每箱售价为元时，可获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依据题意，易得出平均每天销售量与涨价x元之间的代数式为箱，然后根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的盈利y（元与涨价x元之间的函数关系式即可； （2）根据（1）所给，化为顶点式，运用二次函数的图象性质，即可作答． 【详解】（1）解： ， 化简得：， （2）， ， 开口向下，在时，有最大值，且为，则（元）， 当每箱售价为元时，可获得最大利润，最大利润是元． 42．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 43．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)求出下边缘抛物线落地点B的坐标； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由平移的性质可得点B的坐标． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）知点 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为． 重难点11 二次函数定值问题 44．（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知抛物线，交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于E点，点P是线段BE上的动点（除B，E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，当时，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当点P的横坐标为2时，求四边形的面积 (3)如图2，直线分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (4)如图3，点在抛物线上，当是以为斜边的直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)是， (4) 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）求出，，则线段轴．求出顶点，根据 即可求出答案； （3）设，则，，由题意可得，，证明，则，求出，证明，则，求出，即可得到结论； （4）过点Q作PD延长线的垂线，垂足为G，设点，则，则，，，，证明，则，求得，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ，是的两根， ∴，， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）把代入得：， ． 又当时，， ， ∴线段轴． ， ∴顶点， ； （3）是定值，定值是8， 设， 则，， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． （4）过点Q作PD延长线的垂线，垂足为G， 设点，则， 则，，，， ， ， ， ， 又， ∴， ， ， ， 经检验是分式方程的解， 点D横坐标为， 点P的坐标为． 【点睛】此题考查了二次函数的图象几何综合题，用到了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一元二次方程、分式方程等知识，数形结合和熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 45．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，点在抛物线上，使，求点的坐标； (3)如图2，点为轴下方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点，探究是否为定值，写出探究过程． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值，过程见解析 【分析】（1）将，代入得，，计算求解，然后作答即可； （2）当，则，计算求解，进而可得，，如图1，在上取点，连接，使，勾股定理得，，可求，则，由，可得，则，，如图1，当在轴下方，过作，交于， 则，求得，，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立得，，计算求解，进而可得点坐标；当在轴上方，直线、点与直线、点关于轴对称，则，同理，待定系数法求得直线的解析式为，联立得，，计算求解，进而可得点坐标； （3）由，可知对称轴为直线，即，，设，待定系数法求直线的解析式为，，当时，，即；同理，待定系数法求得，直线的解析式为，当时，，即；然后求，进行作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴； （2）解：当，则， 解得，或， ∴， ∴， 如图1，在上取点，连接，使， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图1，当在轴下方，过作，交于， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴， 联立得，， 解得，或， ∴； 当在轴上方，直线、点与直线、点关于轴对称， ∴， 同理，待定系数法求得直线的解析式为， 联立得，， 解得，或， ∴； 综上所述，点坐标为或； （3）解：∵， ∴对称轴为直线，即，， 设， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 同理，待定系数法求得，直线的解析式为， 当时，，即； ∴， ∴是定值，定值为8． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，正切，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，正切，一次函数解析式是解题的关键． 46．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解； （3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入中得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点，     ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或, ∴； 如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点    ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或， ∴， 如图所示，当点F在x轴下方，当点与点重合时，     ∵，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， 综上所述，或或或； （3）解：设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则 ∴ ∴为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 重难点12 二次函数整点问题 47．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 48．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，1； (2)； (3)①，，共3个；②或． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案； （3）①根据图象即可求得； ②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或 【详解】（1）解：二次函数， 对称轴为直线， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：，1； （2）解：抛物线G：， 抛物线：， 即， 当时，； （3）解：①当时，则抛物线G：， 顶点为， 令，解得：， 图象与y轴的交点坐标为， 区域W内的整点有，，共3个； ②当时，如图2， 抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点， ， 解得：， 结合①可得：； 当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点． 经过点时，， 解得：， 经过点时，， 解得：， ， 故如果区域W内恰有5个整点，则或 49．（2024九年级下·云南·学业考试）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，整数的值为，，0，1 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入抛物线解析式得出，再根据对称轴代入即可求解． （2）解关于的二次方程，得出，且是整数，是整数，进而可得出是奇数，且是6的因数．则可得出或．解除a的值即可． 【详解】（1）解：当时， ∴抛物线的对称轴是直线 （2）解：存在整数，使图象与轴的公共点中有整点． 理由如下： 由是整数，得． 解关于的二次方程得 ，． ，且是整数，是整数， 是奇数，且是6的因数． 或． 由得或． 由得或． 综上所述，存在整数，使图象与轴的公共点中有整点，且整数的值为，，0，1． 重难点13 二次函数与几何综合 50．（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）连接交对称轴于点，由关于对称轴对称得，进而得到，可知当三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）过点作轴 ，交于点，设点，则， 可得，进而根据三角形面积公式求出与的函数解析式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 51．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的时，求点的坐标； (3)如图②，点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求解的面积是，设直线解析式为，可得直线解析式为，设，则，求解，可得，再进一步即可求出结果； （3）设直线交轴于，证明，求得D的坐标，同理得直线解析式为，联立方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：把，代入中得， ， ， 抛物线解析式为； （2）解：在中， 当时， ， 如图，连接， ，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴的面积是， 设直线解析式为， ， 直线解析式为， 设，则， ． ∴， 解得：， 此时； （3）解：如图，设直线交轴于， ，，， ， ， ， 同理可得：直线解析式为． 联立， 解得或（不符合题意舍去）， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． 52．（2025·山东济南·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形． (1)求抛物线的解析式； (2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围； (3)连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再由待定系数法求抛物线的解析式即可得到答案； （2）根据，四边形是正方形，得，设，则；当正方形与抛物线有唯一公共点时，，可得此时；当正方形与抛物线有唯一公共点时，可得此时；画出图形求解可得答案； （3）令，解方程求出；设，则，，可看作轴上的点到点和点的距离之和，当共线时，取最小值，最小值为的长，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令得，则； 令得，则； 把，代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：，四边形是正方形， ， 设，则， 当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图所示： 把代入得 ， 解得或在左侧，舍去， 此时； 当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图所示： 把代入得 ， 解得：或与重合，舍去， 此时； 由图可知，当时，正方形与抛物线有公共点， 当正方形与抛物线有公共点时，点横坐标的取值范围是； （3）解：在中，令得， 解得或， ∴； 设，则， ∴，， ∴， 当最小时，取最小值， 而可看作轴上的点到点和点的距离之和，如图所示： ∴当共线时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，综合性强、难度较大，涉及一次函数图象与性质、待定系数法求抛物线表达式、正方形性质及应用、解一元二次方程、两点之间距离公式、求最短路径等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 重难点14 二次函数存在性问题 53．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知抛物线，与轴交于点和，点在点的左边 (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)求的正弦值； (3)若点在轴上使为等腰三角形，请直接写出点坐标． (4)在抛物线上是否存在点，使与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) (3)点坐标为、、、 (4)点坐标为、、 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标求解、三角函数值计算、等腰三角形存在性问题以及三角形面积相等的点的坐标求解． （1）根据配方法将二次函数化为顶点式，即可求解； （2）需先求出相关线段长度，再利用三角函数定义求解； （3）根据等腰三角形的性质，分情况讨论； （4）利用面积相等的条件，结合抛物线方程求解． 【详解】（1）解： 所以顶点坐标为； （2）解：令，则，所以，． 令，即，因式分解得，解得，． 因为点在点左边，所以，，． 根据勾股定理，． 根据正弦函数定义，． （3）解：设，分情况讨论 情况一：当时，， 则，解得， 所以或． 情况二：当时，， 解得， 因为，所以． 情况三：当时，， 解得，所以． 综上所述，点坐标为、、、； （4）解：因为与面积相等，所以点纵坐标的绝对值等于点纵坐标的绝对值． 当时，，即， 因式分解得， 解得或， 所以或． 当时，，即， 解得（与点重合，舍去）或， 所以． 综上所述，点坐标为、、． 54．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 55．（2025·山东东营·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点M的坐标有或或 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． （2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． （3）解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 56．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为 (3)， (4)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （3）作C点关于x轴的对称点 ，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标； （4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为； （3）解：作C点关于x轴的对称点 ，连接与x轴相交于点N， 此时的值最小，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 则直线的解析式为， 令， 解得：， 此时点； （4）解：设， ∵，， ∴，，， 当斜边为时，， 即，整理得：， 解得：； 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 综上：点的坐标为或或或． 57．（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$