专题04 函数的性质（讲义）-2026版安徽省（分类招生和对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版安徽省（分类招生和对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及安徽省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版安徽省（分类招生和对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为函数的性质。 2026版安徽省（分类招生和对口招生） 二轮复习《数学考纲专题练》 专题04 函数的性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 · 函数的奇偶性：理解奇偶函数的定义 · 函数的单调性：会利用函数单调性求最值 · 函数的简单运用 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 选择题 29 函数求参数范围 4 安徽对口招生真题中，函数的性质考查呈现以下特点： （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在8-12分左右。 （3）内容：主要考查函数的奇偶性、函数的解单调性。 2023 选择题 22 函数求最值 4 选择题 30 函数求参数范围 4 2022 选择题 27 函数求参数范围 4 选择题 25 函数求最值 4 2021 选择题 25 函数的奇偶性 4 选择题 30 函数最值 4 三、考点预测 预估2026年安徽省分类招生和对口招生考试有2道选择题分别考查函数的奇偶性、函数的最值，共8分。 具体考点： · 函数的奇偶性含参问题 · 函数的最值 四、知识梳理 一、函数的基本概念（性质的基础） 在研究函数性质前，需明确函数的基本构成要素，它们是性质存在的前提： 定义域：函数中自变量的取值范围，决定了函数的 “生存空间”。例如，分式函数分母不能为 0，二次根式被开方数非负。 值域：函数值的取值范围，由定义域和对应关系共同决定。 对应关系：自变量与函数值之间的映射规则，常用解析式、图像、表格等形式表示。 二、函数的单调性（增减性） 1. 定义 设函数y = f(x)的定义域为D，区间 若对任意 ,当 < 时，都有 f ()<f ()，则称f(x)在区间I上单调递增，I为单调递增区间。 若对任意 ,当 < 时，都有f ()>f ()，则称f(x)在区间I上单调递减，I为单调递减区间。 2. 判定方法 定义法：作差（或作商）比较f ()与f ()的大小。 导数法：若f'(x) > 0，则函数在该区间递增；若f'(x) < 0，则递减（适用于可导函数）。 图像法：从左到右，图像上升则递增，下降则递减。 3. 性质 单调函数在定义域的子区间上仍具有单调性，但多个单调区间不能用并集连接。 复合函数单调性：“同增异减”（内外层函数单调性相同则递增，相反则递减）。 三、函数的奇偶性 1. 定义（前提：定义域关于原点对称） 奇函数：对定义域内任意x，都有f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。 偶函数：对定义域内任意x，都有f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称。 2. 常见结论 既是奇函数又是偶函数的函数：f(x) = 0（定义域关于原点对称）。 奇函数若在x = 0处有定义，则f(0) = 0。 奇偶性与解析式的关系： 奇函数：解析式中只含x的奇次项。 偶函数：解析式中只含x的偶次项或常数项。 3. 判定步骤 检查定义域是否关于原点对称（若不对称，则非奇非偶）。 计算f(-x)，与f(x)或-f(x)比较。 四、函数的周期性 1. 定义 设函数y = f(x)的定义域为D，若存在非零常数T，使得对任意x D，都有x + T D且f(x + T) = f(x)，则称f(x)为周期函数，T为周期。最小正周期是指所有周期中最小的正数。 2. 常见周期函数 三角函数 周期性质：若T是周期，则kT也是周期。 五、函数的最值 1. 定义 设函数y = f(x)的定义域为D： 若存在D，对任意xD，都有f(x) f()，则f()为函数的最大值。 若存在D，对任意xD，都有f(x) f()，则f()为函数的最小值。 2. 求法 单调性法：单调函数在区间端点处取得最值（如闭区间上的单调函数）。 导数法：求导后找极值点，比较极值与端点值的大小。 图像法：图像的最高点纵坐标为最大值，最低点为最小值。 配方法：适用于二次函数。 六、函数的对称性 除奇偶性（特殊对称性）外，函数还可能关于某条直线或某点对称： 关于直线x = a对称：f(a + x) = f(a - x)。 关于点(a, b)对称：f(a + x) + f(a - x) = 2b。 七、性质之间的联系 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 周期函数的单调性、奇偶性在每个周期内保持一致。 闭区间上的连续函数一定存在最值，且可通过单调性或导数求解。 通过以上归纳，可系统掌握函数的核心性质，在解题时需结合具体函数的解析式、图像及定义域，灵活运用性质分析问题。 五、10分钟小测验 1.已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 3.已知二次函数在区间上的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 5.已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，，若有最小值，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.下列函数中，既为偶函数，又在上为增函数的是(    ) A. B. C. D. 8.已知 为偶函数，则实数(    ) A. B. C. D. 9.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(    ) A. B. C. D. 10.已知为定义在上的奇函数，当时，，则(    ) A. B. C. D. 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用函数的单调性解决参数问题，一元二次函数的图象与性质，属于基础题． 根据二次函数的图象和性质，若函数在是单调函数，则区间应完全在对称轴的同侧，由此构造关于的不等式，解得的取值范围． 【解答】 解：函数的对称轴为，开口向上， 若函数在上是单调递增函数，则， 若函数在上是单调递减函数，， 解得或， 故的取值范围是． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数性质，以及基本不等式，属于基础题． 令，把原函数转化为关于的函数，分离变形后结合基本不等式即可求解． 【解答】 解：令，则，， 原函数可化为， 当且仅当，即，时取等号． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数在闭区间上最值的求解，解的关键是判断出函数在已知区间上单调性． 先判断函数在区间上取得相应最值的位置，结合函数的对称性即可求解 【解答】 解：在区间上的最小值为， ，， ， 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题． 易知在上单调递减，再代入，求解即可． 【解答】 解：函数的图象是函数的图象向右平移一个单位形成的， 故易得在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数求最值问题，属于基础题． 根据题意，结合二次函数的性质即可得解． 【解答】 解：， 可知函数的图象开口向上，对称轴是直线， 当且仅当时，函数有最小值， 又函数在闭区间上的最大值为，最小值为， 且当时，， 则可知， 令， 可得，  解得或， 可知， 所以的取值范围是． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的最值，属于基础题． 由在上为增函数，代入即可得出结果． 【解答】 解：在上为增函数， 其最小值为， 其最大值为． 故选A． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的简单应用，属于基础题． 要判断函数是否为偶函数，只要检验是否成立即可；然后再根据函数单调性的定义进行判断即可． 【解答】 解：：，定义域为，，故为奇函数，不符合条件； ：，定义域为，，为偶函数，但是在上单调递减，不符合题意； ：，定义域为，，为偶函数，且时，在上单调递增，符合题意； ：满足，且定义域为，则为偶函数，但是在上不是单调递增函数，不符合题意． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：因为为偶函数， 所以，即， 故恒等于， 所以，解得． 故选C． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题． 结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断． 【解答】 解：对于，，定义域为，，所以为偶函数，A错误； 对于，由题意可得，，函数为非奇非偶函数，B正确； 对于，，且函数定义域为，即为奇函数，C错误； 对于，函数定义域为，，即为偶函数，D错误． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 根据题意，由奇函数的性质可得，分析可得的值，即可得函数的解析式，求出的值，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，为定义在上的奇函数，则， 解可得：， 即当时，，则有， 又由为奇函数，则； 故选：． 六、经典例题解析 （一）函数的奇偶性 【考试题型1】利用函数的奇偶性求范围 【例1】（2024·安徽对口升学高考）已 知f(x) 是R 上的奇函数.当x<0 时 ，f(x)=x²+4x. 若 af(a)>0, 则 a 的取值范围是( ) .(-4,0)U(0,4) 【答案】B 【解析】要解决此问题，需结合奇函数的性质和分段函数解析式，分情况讨论 a 的正负，最终确定满足 的取值范围。 步骤 1：明确奇函数的核心性质 对于定义域为的奇函数 ，有： 当 时，； 当时，，故 步骤 2：求时的解析式 当时，，代入 ：由奇函数性质，得： 步骤 3：分情况讨论 情况 1： 此时，代入不等式：因，解得： 情况 2： 此时，代入不等式： 因，解得： 情况 3： 此时，代入得 ，不满足故 舍去。 步骤 4：综合取值范围 结合两种有效情况，a 的取值范围为： 故选：B 【例2】（2023·安徽对口升学高考）已知是R上的奇函数，当时，。若，则的取值范围是（ ） 【答案】B 【解析】 故选：B 【例3】（2022·安徽对口升学高考）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（　　） 【答案】C 【解析】 故选：C 【考试题型2】判断函数的奇偶性 【例1】（2021·安徽对口升学高考） 下列函数中，是非奇非偶函数的为（ ） x+1 sinx 【答案】B 【解析】奇函数满足，偶函数满足，且定义域关于原点对称。 选项 A：满足奇偶性定义，为偶函数； 选项 B：不满足奇函数和偶函数定义，且定义域可能不关于原点对称，是非奇非偶函数； 选项 C：满足奇偶性定义，为偶函数； 选项 D：满足奇偶性定义，为奇函数。 故选：B 【例2】..以下哪个函数既是奇函数，又是减函数(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用． 根据函数单调性与奇偶性判断即可． 【解答】 解：幂函数在上单调递增， 对数函数与指数函数，既不是奇函数也不是偶函数， 所以选项 B，， 都不符合题意， 故选：． （二）函数求最值 【例1】如果奇函数在区间上是增函数且最小值为，那么在区间上是(    ) A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 【答案】B  【解析】 本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题． 由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果． 【解答】 解：奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称， 则若奇函数在区间上是增函数且最小值为， 那么在区间上是增函数且最大值为． 故选：． 【例2】（2023·安徽对口升学高考）若是R上的偶函数，则在区间[-3,2]上的最小值为( ) A.0 B.1 C.9 D.19 【答案】B 【解析】 故选：B 【例3】（2022·安徽对口升学高考）已知奇函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为3，最大值为4，则f（x）在区间[﹣2，﹣1]上（　　） A．最小值为3，最大值为4 B．最小值为﹣4，最大值为﹣3 C．最小值为﹣3，最大值为4 D．最小值为﹣4，最大值为3 【答案】B 【解析】 故选：B 【例4】（2021·安徽对口升学高考）已知函数在区间上的最大值与最小值的和为3，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】该函数在区间上不单调，开口向上，对称轴为1，所以最小值在对称轴处取得。代入函数表达式计算得参数值为选项B。 故选：B 【例5】.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查判断或证明函数的奇偶性，判断或证明函数的单调性，判断正弦型函数的单调性或求解单调区间，正弦型函数的奇偶性，简单的幂函数的图象与性质，指数函数的单调性与最值，属于基础题． 根据幂函数的单调性判断，，根据指数函数的性质判断，由正弦函数的性质判断． 【解答】 解：对于，由幂函数的性质知在区间上单调递增， 故在区间上单调递减，故A错误； 对于，由幂函数性质知在上单调递减，故B错误； 对于，令，则， 又， 所以函数为奇函数， 由指数函数的单调性知， 在上单调递增， 在上单调递增， 所以在上单调递增，故 C正确； 对于，由正弦函数性质可知为奇函数， 但在区间上不单调，故D错误． 故选：． 七、专题归纳小结 （一）专题核心内容总结 函数的核心性质包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，具体定义与关键判定如下： 单调性： 定义：在区间内，若对任意，都有（增函数）或（减函数），则在上单调。 判定：①定义法（取值→作差→变形→判号→下结论）；②导数法则增，则减，需结合定义域）。 奇偶性： 定义：定义域需关于原点对称，若则为奇函数，若则为偶函数。 判定：先验证定义域对称性，再计算与的关系。 周期性： 定义：存在非零常数T，对任意x（定义域内），都有T称为周期（常用最小正周期）。 关键：通过等式变形找周期（如）。 对称性： 轴对称：→图像关于直线对称 中心对称：→图像关于点对称 （二）解题策略与技巧 针对不同性质，需匹配对应的解题方法，综合题需 “数”“形” 结合： 单调性问题： 比较大小：确保自变量在同一单调区间，再用单调性转化（如增函数中）。 解不等式：先利用单调性去掉 “f”，转化为自变量的不等式，必须同步考虑定义域。 奇偶性问题： 求解析式：已知的解析式，求时，设则，代入后用奇偶性调整符号简化求值： 利用，如奇函数），避免复杂计算。 周期性问题： 求远处函数值：将自变量减去周期的整数倍，转化为已知区间的函数值。 综合性质问题： 核心技巧：结合函数图像（如奇函数过原点、偶函数关于y轴对称、周期函数图像重复），用 “形” 辅助 “数” 的推理（如奇偶性 + 单调性解不等式，先画图像确定单调区间）。 （三）易错点总结 定义域优先忽略：判断奇偶性、求单调区间时，未先验证定义域，定义域不对称，非奇非偶；。 周期性计算错误：混淆周期推导逻辑。 奇偶性与单调性结合失误：误判对称区间的单调性。 对称性与周期性混淆。 （四）复习建议 锚定定义根本：所有性质的解题都基于定义，需熟练掌握定义的文字描述与数学表达（如用定义证明单调性时，“变形” 步骤需会因式分解、通分等技巧）。 分层刷题训练： 基础层：练单一性质题（如判断奇偶性、求单调区间），巩固判定方法； 提升层：练综合题（如 “奇偶性 + 单调性解不等式”“周期性 + 对称性求值”），培养跨性质推理能力。 强化图像意识：画图辅助理解，通过 “形” 直观记忆性质规律。 错题归类复盘：将易错点（如忽略定义域、周期算错）的错题单独整理，标注错误原因，避免重复犯错。 总结规律结论：牢记高频结论；奇函数在对称区间单调性相同，偶函数相反），提高解题效率。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$