专题07 三角恒等变换、解三角形（讲义）-2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为三角恒等变换、解三角形。 2026版河北省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题07 三角恒等变换、解三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 掌握两角和与差的正弦、余弦及正切公式，能运用这些公式化简三角函数式，证明较简单的三角恒等式． 2. 理解二倍角公式并能进行简单应用． 3. 理解正弦定理、余弦定理，并能运用定理解斜三角形． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025样卷 选择题 18 三角恒等变换、三角函数性质 3 （1）题型：集中在选择题，填空题。 （2）分值：集合与充要条件选择题近几年都有涉及，分值一般在6-8分，2025样卷为6分，部分和三角函数定义、图像和性质结合在一起考查。 填空题 24 三角恒等变换 3 2024 填空题 20 诱导公式、和角公式 2 填空题 24 同角关系式、正弦定理 2 填空题 28 同角关系式、二倍角公式 2 2023 选择题 7 正弦定理 3 填空题 19 余弦定理、特殊角的三角函数值 2 填空题 25 诱导公式、正弦的二倍角公式、正弦型函数的性质 2 2022 选择题 7 三角函数定义、二倍角公式 3 填空题 22 同角关系式、二倍角公式 2 填空题 27 正余弦定理 2 2021 选择题 5 正弦定理、倍角公式 3 选择题 8 二倍角公式、正弦函数的和角公式，结合三角函数的性质 3 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河北省对口招生考试有2道题目考查三角恒等变换、解三角形，题型可能为单项选择题、填空题各一，分值各3分，共6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 和角公式 · 二倍角公式 · 正余弦定理 · 面积公式 四、知识梳理 （一）三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦及正切公式 (S2α)． (C2α)． (T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. （1）降幂公式： （2）升幂公式：. 4．辅助角(“二合一”)公式： ， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. （二）解三角形 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 五、10分钟小测验 一、单选题 1．求值（ ） A． B．2 C． D． 2．的值为（   ） A． B． C． D． 3．计算（   ） A． B．1 C．2 D． 4．已知，则＝（    ） A． B． C． D． 5．函数是（   ）. A．周期为的的奇函数 B．周期为的的偶函数 C．周期为的的奇函数 D．周期为的的偶函数 6．在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，， ，则（   ） A．2 B．3 C． D．4 二、填空题 8．在中，，，，则的面积为 . 9．在中，内角的对边分别，若，，，则 ． 10．函数的最小正周期是 . 答案 1．C 【分析】根据两角差的余弦公式，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】， 故选：C. 2．C 【分析】逆用两角差的正弦公式化简求值即可. 【详解】 ， 故选：C. 3．B 【分析】根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】. 故选：B. 4．A 【分析】根据诱导公式将进行化简求出的值，再根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由，得， 故. 故选：A. 5．C 【分析】将函数进行化简，再根据正弦函数的奇偶性和周期即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数的周期为， 又因为函数的定义域为，对于任意，都有， 且，函数为奇函数， 所以函数是周期为的的奇函数. 故选：C. 6．B 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得， ∴. 故选：B. 7．B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，， ， 所以，解得. 故选：B. 8． 【分析】根据题意得出是等腰三角形，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】在中，，则是等腰三角形，且， 则， 故答案为：. 9． 【分析】根据余弦定理结合特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】因为在中，内角的对边分别，且，，， 由余弦定理可知， 因为，所以， 故答案为：. 10． 【分析】利用二倍角的正弦公式和余弦公式化简函数，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解. 【详解】 ， 所以函数的最小正周期. 故答案为： 六、经典例题解析 【考试题型1】三角恒等变换 【例1】（2025·河北对口升学样卷）下列关于函数的描述正确的是（ ） A. 最小正周期为π，最大值是1 B. 最小正周期为2π，最大值是1 C. 最小正周期为π，最大值是3 D. 最小正周期为2π，最大值是3 【答案】A 【详解】函数 所以最小正周期为π，最大值是1. 故选：A. 【例2】（2025·河北对口升学样卷）计算：______． 【答案】 【详解】. 故答案为： 【例3】(2023年河北对口升学)函数的最大值是_______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据诱导公式和正弦的二倍角公式化简，然后根据正弦函数的最值求出的最大值. 【详解】由， 可得， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故答案为：. 【例4】(2022年河北对口升学) 已知，且，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数公式及象限角的符号即可得解. 【详解】因为. 所以. 所以. 所以. . 因为为第一象限角. 所以. 所以. 故答案为:. 【例5】(2024年河北对口升学)________． 【答案】 【分析】利用诱导公式、和角公式求值. 【详解】故答案为：. 【考试题型2】解三角形 【例6】(2024年河北对口升学) 已知在中，，，，则________． 【答案】 【分析】利用同角关系式、正弦定理求值. 【详解】 故答案为：. 【例7】(2023年河北对口升学)在中，分别为的对边，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求得的值，进而求得A，再由三角形内角和为，即可求得B. 【详解】由正弦定理可得，所以，解得， 因为，所以或， 当时，， 当时，. 故选：B. 【例8】(2023年河北对口升学)在中，a、b、c分别为的对边，且满足则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出，将已知等式代入计算求出的值，由∠A是的内角，利用特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为即 所以 因为∠A是的内角， 所以. 故答案为：. 【例9】(2022年河北对口升学)已知三角形的三个内角为A，B，C，若，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可以得到三条边的比例关系，再利用余弦定理即可求解. 【详解】因为， 所以，可设 利用余弦定理： . 故答案： 【例10】(2021年河北对口升学)在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理及倍角公式得到，结合，解得或，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 即，故， 因为，且属于三角形内角，所以，所以或， 解得或， 所以为等腰或直角三角形. 故选：C 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 三角恒等变换“三板斧” 工具 核心公式 应用场景 和差公式 . 角度拆分（如 15∘=45∘−30∘） 二倍角公式 ． 升幂/降幂、化简求值 辅助角公式 合并三角函数式求最值、周期 口诀记忆： “和差拆角像积木，二倍变身降幂忙；辅助合成一个弦，最值周期一把抓” 2. 正弦定理与余弦定理 工具 核心公式 适用题型 正弦定理 ＝＝　＝2R ① 已知两角及一边（AAS/ASA） ② 已知两边及对角（SSA，注意多解） 余弦定理 c2＝ a2＋b2－2abcos C ① 已知三边（SSS）求角 ② 已知两边及夹角（SAS） 面积公式 S＝absin C 求△ABC 面积 （二）、解题策略与技巧 1. 恒等变换四步法 统一角度 选择公式 化简目标 验证结果 2. 正弦定理“两角一边”型（AAS/ASA） 策略：直接代公式求边，注意比例统一 步骤： 1. 利用内角和求第三角（ASA需先求未知角） 2. 代入＝求边 3. 余弦定理“两边夹角”型（SAS） 策略：优先求第三边，再用正弦定理求角 口诀：“两边夹一角，余弦求对边” （三）、易错点总结 易错类型 错因分析 纠错方案 不能正确合并三角函数式 忽略辅助角公式 针对辅助角公式多做练习 利用正弦定理求角丢掉钝角 忽略可能有两个解的情况 求出钝角验证是否成立 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 公式逆用训练：每日3题（如 反向应用） 高频考向精练： 题型1：恒等变换() 题型2：解三角形综合(已知a:b:c=2:3:4，判断三角形形状) 2、真题演练方向： 近三年高考题中同角关系式、二倍角公式、辅助角公式、正弦定理求角时两个解、余弦定理变形求角等问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$