1.2.3直线与平面夹角（一）学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线与平面夹角的定义、范围及最小角定理，通过歼-15舰载机起飞情境引入，从现实问题抽象出空间角的度量需求，自主学习环节先回顾直线与平面位置关系，再逐步深入到夹角定义推导及定理应用，搭建知识衔接支架。 这份导学案以情境化问题激发兴趣，通过自主阅读勾划关键词、合作探究证明射影性质等活动，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的能力。分层习题（A组基础、B组综合多选）适配不同学情，预习评测与当堂检测及时反馈，助力学生掌握空间角度量方法，提升数学应用意识。

山东省昌乐一中 高二数学选修第一册《空间向量与立体几何》学案 编号1-09 编制：刘桂华 王家凤 修改：王晓晨 梁海波 审 核：刘国栋 审批：尹万鑫 选修一 高二数学 课时学案 编制人： 审核人： 班级 小组 姓名 使用时间 2025年 月 日 编号： 选修3-04 课题：直线与平面的夹角（一） 【课标要求】 能用向量语言表述直线与平面夹角以及垂直与平行关系； 运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，感悟向量是研究几何问题的有效工具。 【学习目标】 1.通过问题引导和阅读课本，能说出直线与平面所成角的定义和范围； 2.通过合作探究，会推导最小角定理并能灵活应用. 【情境引入】 2013年6月，我国自主研制的歼-15舰载战斗机顺利实现驻舰首飞，标志着我国成为世界上第三个能够独立培养舰载战斗机飞行员的国家。舰载机起飞过程中，若把机身抽象成直线，海面抽象成平面，如何刻画直线与平面所成的角呢？ 【自主学习】 阅读课本44至47页，用“～”勾画关键词，思考并回答以下问题 知识点1：直线与平面的夹角及其范围 问题1（1）直线与平面的位置关系有哪些？ ①当直线与平面所成的角是0°时，直线与平面的位置关系： ； ②当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是_______________; （2） 斜线与平面所成的角的定义？ 山东省昌乐一中 高二数学选修第一册《空间向量与立体几何》学案 编号1-09 编制：刘桂华 王家凤 修改： 审核：王凤杰 审批：尹万鑫 （3） 直线与平面的夹角的范围？ 1 2 3 学科网（北京）股份有限公司 知识点2：直线与平面的夹角的性质 问题2（最小角定理）如图：OA是平面的一条斜线，为斜足，，B是垂足，OM为平面内的任意一条与OB不重合的直线，直线OA与OB所成的角为，直线OB与OM所成的角为，直线OA与OM所成的角为，试证明并说明与的大小关系？ 问题3（斜线的射影）设线段，直线与平面所成的角为，求线段在平面内的射影长? （1） ， （2）， （3）. 【预习评测】 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)线面角和异面直线所成角的范围都是.(　　) (2)如果一条直线与一个平面的夹角为0°则这条直线与这个平面平行.(　　) 2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C与平面ABCD所成的角是 (　 　) A．90° B．30° C．45° D．60° 【合作探究】 例1.在平面内，过这角的顶点引平面的斜线，且使，求证：斜线在平面内的射影平分. 【当堂检测】 1.平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是 (　　) A．0°<θ<90° B．0°≤θ<90° C．0°<θ≤90° D．0°<θ<180° 2.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________. 【课后巩固】 A组： 1.如图，AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 2.正四面体A－BCD中，棱AB与底面BCD所成角的余弦值为________. 3.正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，则AB1与平面AA1C1C所成交的正弦值为________. B组： 5．(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点，则(　　) A．CD⊥AN B．BD⊥PC C．PB⊥平面ANMD D．BD与平面ANMD所成的角为30° 4 2 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $$