1.2矩形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.2矩形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 一、选择题 菱形具有而矩形不具有的性质是 A．对角线互相平分 B．四条边都相等 C．对角相等 D．邻角互补 如图，在矩形 中，，．过对角线的交点 作 交 于点 ，交 于点 ， 的长是 A． B． C． D． 如图，在矩形 中，， 是 上一点，且 ，则 的度数是 A． B． C． D． 如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，， 是 上两点，，连接 ，，，．添加一个条件，使四边形 是矩形，这个条件可能是 A． B． C． D． 如图，在 中，，，点 在 上，且 ， 是 上的动点，连接 ，， 分别是 和 的中点，连接 ，．当 时，线段 的长为 A． B． C． D． 如图，对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平后再次折叠，使点 落在 上的点 处，得到折痕 ， 与 相交于点 ．若直线 交直线 于点 ，，，则 的长为 A． B． C． D． 如图，矩形 中，点 是 边上的一点，将矩形沿直线 翻折，点 落在 边上的点 处．若 ，，则线段 的长为 A． B． C． D． 如图，矩形 中，， 相交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，．则下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④当 时，四边形 是菱形． 其中，正确的结论有 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，若 ，，则 的长为 ． 如图，在矩形 中，，．若 是边 的中点，连接 ，过点 作 交 于点 ，则 的长为 ． 如图，矩形 中，， 交于点 ， 于 ，， 于 ，，则 ． 如图，在矩形 中，，，如果将该矩形沿对角线 折叠，那么图中阴影部分的面积是 ． 已知： 中，，，， 为 上任意一点， 于 ， 于 ，则 的最小值是 ． 如图，，矩形 在 的内部，顶点 ， 分别在射线 ， 上，，，则点 到点 的最大距离是 ． 三、解答题 如图，在矩形 中，点 是对角线 的中点，过点 的直线分别交 ， 边于点 ，，． (1) 求证：四边形 是菱形． (2) 若 ，，求 的长． 如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ．过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两直线相交于点 ． (1) 求证：四边形 是矩形； (2) 若 ，菱形 的周长是 ，求菱形 的面积． 如图，在矩形 中， 为边 上一点，将 沿 翻折后，点 恰好落在对角线 的中点 上． (1) 求证：； (2) 若 ，求折痕 的长度． 解答下列各题． (1) 如图所示，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ， 是等边三角形，，求平行四边形 的周长及面积． (2) 已知点 是矩形 中 边的中点，如图所示， 为 上一点，，，垂足分别为点 ，．当 ， 满足什么数量关系时，四边形 为矩形？ 如图，在 中，点 是边 上一个动点，过点 作直线 ．设 交 的平分线于点 ，交 的外角 的平分线于点 ． (1) 求证：； (2) 若 ，，求 的长； (3) 连接 ，．当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？请说明理由． 答案 一、选择题（共8题） 1. 【答案】B 【解析】菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直． 矩形的性质：四个角是 ，对角线相等． 2. 【答案】B 3. 【答案】C 【解析】 ，， ． 直角 中 ． ， ， 又 ， ， ． 4. 【答案】A 5. 【答案】A 6. 【答案】B 【解析】 ， 由中位线定理得 ， 由折叠的性质可得 ． ， ， ， ， ， ，． 过 点作 于 ， ， ． 由勾股定理得 ， ， ，解得 ， ． 7. 【答案】C 【解析】思路分析：经典折叠问题，注意折叠前后对应边相等，列勾股方程． 是由 沿直线 翻折得到的， ，则 ，． 四边形 是矩形， ，，． 在 中，， ． 设 ，则 ，， 在 中， ， ，解得 ．则 ． 故选：C. 8. 【答案】D 【解析】 四边形 是矩形， ，，，，，， ． ，， ， ． 在 和 中， ， ，，故①正确； 在 和 中， ， ，，故③正确； ，即 ． ， 四边形 是平行四边形， ，故②正确； ，， ． ， 四边形 是平行四边形． 当 时， ， 是等边三角形， ， ． ， ， ， ， 四边形 是菱形，故④正确． 正确的结论有 个． 二、填空题（共6题） 9. 【答案】 【解析】 四边形 是矩形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ． 10. 【答案】 【解析】连接 ． 四边形 是矩形， ，，． 在 中，， 又 ， ． 11. 【答案】 【解析】因为四边形 是矩形， 所以 ，，， 所以 ， 因为 于 ，， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 是 的中位线， 所以 ， 所以 ． 12. 【答案】 13. 【答案】 【解析】连接 ，如图所示： ， 于 ， 于 ， ， 四边形 是矩形， ， 要使 最小，只要 最小即可，当 时， 最小， 在 中，，，， 由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：， ，即 ． 14. 【答案】 【解析】取 中点 ，连接 ，，， 中，， ， ， 为 斜边 上的中线， ， ， ． 三、解答题（共5题） 15. 【答案】 (1) 四边形 是矩形， ， ， 又 ，， ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是菱形． (2) 四边形 是菱形， ，，． 设 ，则 ， ， ， ， ， ，， ， ． 16. 【答案】 (1) 四边形 是菱形， ， ． ，， 四边形 是平行四边形． 又 ， 平行四边形 是矩形． (2) 由（）知，平行四边形 是矩形． 四边形 是菱形， ． 菱形 的周长是 ， ． ， ， ，， 菱形 的面积为 ． 17. 【答案】 (1) 四边形 是矩形， ． 将 沿 翻折后，点 恰好落在对角线 的中点 上， ，． ， ． ． 在 和 中， ． (2) 由（），知 ， ． 由折叠性质，得 ， ． 在 中，， ． ． ． 设 ，则 ． 在 中，由勾股定理，得 ，解得 （负值舍去）， ． 18. 【答案】 (1) 四边形 是平行四边形， ，． 即 ，． 又 为等边三角形， ． ． 平行四边形 是矩形． 又 ， ． 在 中，， 矩形的周长为 ，矩形的面积为 ． (2) 当 时，四边形 为矩形． 理由： ， 为 中点， ，， 与 都是等腰三角形， ， 又 ， 四边形 为矩形． 19. 【答案】 (1) 如图， 因为 交 的平分线于点 ，交 的外角 的平分线于点 ， 所以 ，， 因为 ， 所以 ，， 所以 ，， 所以 ，， 所以 ． (2) 因为 ，， 所以 ， 因为 ，，， 所以 ， 所以 ． (3) 当点 在边 上运动到 的中点时，四边形 是矩形．理由： 当 为 的中点时，， 因为 ， 所以四边形 是平行四边形． 又 ， 所以四边形 是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$