专题04 因式分解的拓展（举一反三专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题04 因式分解的拓展（举一反三专项训练） 【华东师大版2024】 【题型1 分组分解法（分组后可提公因式）】 1 【题型2 分组分解法（分组后利用公式）】 1 【题型3 十字相乘法（二次项系数为1）】 2 【题型4 十字相乘法（二次项系数不为1）】 2 【题型5 换元法】 3 【题型6 添项法】 3 【题型7 拆项法】 3 知识点1 十字相乘法分解因式 对于一个二次三项式，若存在且 ，那么二次三项式可以分解为：． 对于二次项系数a等于1时，即， 若存在有且 ，则可分解为： ． 知识点2 分组分解因式 对于四项或者超过四项的多项式分解时，我们通常要对其进行分组，使其分在同一组的项能够使用提公因式法或公式法或者十子相乘法进行分解。从而达到对整个多项式进行分解的目的。 【题型1 分组分解法（分组后可提公因式）】 【例1】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解：． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【变式1-3】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）因式分解： 【题型2 分组分解法（分组后利用公式）】 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）因式分解：． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： 【变式2-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【题型3 十字相乘法（二次项系数为1）】 【例3】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【变式3-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）因式分解： 【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）分解因式： (1)； (2)． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分解因式： 【题型4 十字相乘法（二次项系数不为1）】 【例4】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【变式4-1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）． 【变式4-2】（24-25八年级上·山东威海·期末）分解因式：； 【变式4-3】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）分解因式： (1)； (2)． 【题型5 换元法】 【例5】（24-25八年级上·河南南阳·期中）因式分解： (1) ； (2) ． 【变式5-1】（24-25八年级上·北京西城·期中）用“换元法”对多项式进行因式分解 【变式5-2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）因式分解： ． 【变式5-3】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【题型6 添项法】 【例6】（2025·广西柳州·二模）分解多项式的结果是 ． 【变式6-1】（24-25八年级·陕西榆林·期末）运用添项法分解因式：． 【变式6-2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）分解因式 (1)； (2) 【变式6-3】（24-25七年级下·安徽池州·期中）分解因式． (1)． (2)． 【题型7 拆项法】 【例7】（24-25八年级上·山东烟台·期中）请完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【变式7-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【变式7-2】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解：． 【变式7-3】（24-25八年级上·山东济宁·期末）请完成下列题目： (1)； (2)． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 因式分解的拓展（举一反三专项训练） 【华东师大版2024】 【题型1 分组分解法（分组后可提公因式）】 1 【题型2 分组分解法（分组后利用公式）】 3 【题型3 十字相乘法（二次项系数为1）】 4 【题型4 十字相乘法（二次项系数不为1）】 6 【题型5 换元法】 7 【题型6 添项法】 9 【题型7 拆项法】 11 知识点1 十字相乘法分解因式 对于一个二次三项式，若存在且 ，那么二次三项式可以分解为：． 对于二次项系数a等于1时，即， 若存在有且 ，则可分解为： ． 知识点2 分组分解因式 对于四项或者超过四项的多项式分解时，我们通常要对其进行分组，使其分在同一组的项能够使用提公因式法或公式法或者十子相乘法进行分解。从而达到对整个多项式进行分解的目的。 【题型1 分组分解法（分组后可提公因式）】 【例1】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 【详解】解： ． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．先分组，再提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 首先将原式变形为，然后利用分组分解法分别提公因式得到，进一步提公因式分解即可． 【详解】 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，解决本题的关键是进行分组．先去括号，再进行分组，利用提公因式法，即可解答． 【详解】解： ． 【题型2 分组分解法（分组后利用公式）】 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，先把多项式的后三项分在一组构成完全平方式，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【答案】 【分析】先把二次三项式利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把多项式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的关键． 【详解】解： ． 【题型3 十字相乘法（二次项系数为1）】 【例3】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 【变式3-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法因式分解，直接利用十字相乘法分解因式即可得答案，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，先把当成一个整体进行分解，再逐个括号进行分解即可． 【详解】 ． 【题型4 十字相乘法（二次项系数不为1）】 【例4】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 【变式4-1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式4-2】（24-25八年级上·山东威海·期末）分解因式：； 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，熟记求根公式是解题的关键； 直接利用十字相乘法进行因式分解； 【详解】解： 【变式4-3】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法和提公因式法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． （1）原式利用十字相乘法分解即可； （2）原式提取，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【题型5 换元法】 【例5】（24-25八年级上·河南南阳·期中）因式分解： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法、公式法进行因式分解，多项式乘多项式．熟练掌握换元法、公式法进行因式分解是解题的关键． （1）利用换元法、公式法进行因式分解即可； （2）先换元，然后多项式乘多项式，最后利用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原式， ∴； （2）解：， 设，则原式 ； ∴． 【变式5-1】（24-25八年级上·北京西城·期中）用“换元法”对多项式进行因式分解 【答案】 【分析】用换元法设，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可． 【详解】解：设， 将代入中得： 原式 【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果． 【变式5-2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】根据式子特点将原式变形为，然后整理得，设，整理得，最后把代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 设， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【变式5-3】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【答案】①；② 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的三种方法进行解答． ①根据方法二，，令，原式，将代入化简即可； ②根据方法一， ，令，将代入，展开，发现式子是一个完全平方公式． 【详解】解：① ， 令， 得 ． 故答案为：． ② ， 令， 得： ， 故答案为：． 【题型6 添项法】 【例6】（2025·广西柳州·二模）分解多项式的结果是 ． 【答案】 【分析】直接根据添项的方法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查添项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想． 【变式6-1】（24-25八年级·陕西榆林·期末）运用添项法分解因式：． 【答案】． 【详解】原式 . 【变式6-2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）分解因式 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过添项求解； （2）先添加凑成完全平方式， 然后减利用平方差公式进一步分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ， ． 【变式6-3】（24-25七年级下·安徽池州·期中）分解因式． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案； （2）同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型7 拆项法】 【例7】（24-25八年级上·山东烟台·期中）请完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式7-2】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解：． 【答案】． 【分析】先把分成两项和，然后利用平方差公式进一步分解因式即可得到答案． 【详解】， ， ， ． 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【变式7-3】（24-25八年级上·山东济宁·期末）请完成下列题目： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键． （1）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$