专题04 二次函数的最值四类综合题型（压轴题专项训练）数学九年级上册浙教版

专题04 二次函数的最值四类综合题型 典例详解 类型一、定轴定区间内的最值 类型二、定轴动区间内的最值 类型三、动轴定区间内的最值 类型四、动轴动区间内的最值 压轴专练 类型一、定轴定区间内的最值 例1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（），若时，函数的最大值与最小值的差为4，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．分或两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解； 【详解】解：当时， 对称轴为 ， 当时，有最小值为，当时，有最大值为， ． ， 当时，同理可得 有最大值为； 有最小值为， ， ， 综上，的值为 故选：C 变式1-1．（24-25九年级下·山东滨州·期中）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润（元）与每件销售价（元）之间的关系满足．由于某种原因，现价格需满足，那么此时该店一周可获最大利润是 元． 【答案】 【分析】本题考查一元二次函数，解题的关键是熟练掌握一元二次函数的图象及其性质． 由已知可知，一周利润与每件售价之间的函数图象为开口向下的抛物线，每件售价的取值范围在对称轴右侧，售价越低利润越大，代入售价的最小值，计算即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取最大值，此时，， ∴该店一周可获最大利润是元， 故答案为：． 变式1-2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【答案】36 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 变式1-3．（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)当时，的最小值是________，最大值是________． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式，二次函数的性质． （1）根据二次函数的顶点式，进行配方即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，找出的范围对应的函数值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴改写形式为； （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为，如图所示， ∴当时，二次函数与轴的交点坐标为； 当时，二次函数； 当时，二次函数； ∴当时，，有最小值；，有最大值， 故答案为：，． 类型二、定轴动区间内的最值 例2．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 变式2-1．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 变式2-2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，可得和的函数值相等，再根据无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，可得函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值，进而即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且图象的点离对称轴的距离越近函数值越小， ∴和的函数值相等， ∵当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值， ∴函数的最小值为顶点的纵坐标，最大值为对应的函数值， ∴， 故答案为：． 变式2-3．（2025·浙江绍兴·一模）若对于关于的函数在范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为． (1)若，求的值； (2)若， ①若点，均在函数的图象上，当的值最大时，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由可知 随的增大而增大,因此y的最大值为，最小值为，进而可求出d的值． （2）先求出与t的关系式为，可知取到最大值时，再求出此时x的范围为，结合二次函数的对称轴，利用数形结合即可求出y的最大值为2，最小值为，进而即可求出d的值． （3）分，，，，4种情况讨论，分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：因为，所以随的增大而增大， 所以． （2）解：①， 所以取到最大值时，此时， 因为，开口向下，对称轴为y轴， 所以此范围内，， 所以． ②当时，，所以． 当，，所以（舍去）． 当，，所以（舍去）． 当，即时，，所以． 综上，或． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的增减性以及最值问题，熟练掌握一次函数和二次函图象的性质，并且进行分类讨论是解题的关键． 类型三、动轴定区间内的最值 例3．（2025九年级下·全国·专题练习）已知二次函数为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（   ） A．3或4 B．0或4 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，分情况，，，再进一步解答即可. 【详解】解：函数图象开口方向向下， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ①若，当时，取最大值， 可得：， 解得或（舍去）， ②若，当时，取最大值， 可得：， 解得或（舍去）， 又时，的最大值为2， 不符合题意， 综上，的值为或． 故选：D． 变式3-1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数 （h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为1，则h的值为 ． 【答案】0或 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在时取得最大值1、时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为0可分如下三种情况：①若，时，取得最大值1；②若，当时，取得最大值1，分别列出关于的方程求解，若，当时，取得最大值2，，与题意不符合，此情形应舍去． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴①若，时，取得最大值1， 可得：， 解得：（舍）或； ②若，当时，取得最大值1， 可得：， 解得：或（舍）， 若，当时，取得最大值2，，与题意不符合，此情形应舍去， 综上，的值为0或， 故答案为：0或． 变式3-2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数 （为非零实数）． (1)当时，二次函数图象与x轴的交点坐标为 ．． (2)若二次函数有最小值． 求证：当时，随的增大而减小； 若时，  ，求的值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； ． 【分析】（）当时，，当时，即，然后解方程即可求解； （）若二次函数有最小值，则，而对称轴为直线，即可求解； 由知，当时，随的增大而减小，故当时，，当时，，即可求解； 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，抛物线和轴的交点等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即， 解得，， ∴二次函数图象与x轴交于和， 故答案为：，； （2）证明：∵若二次函数有最小值， ∴， ∵对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，开口向上，随的增大而减小； 解：由知，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 即， ∴． 变式3-3．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标（用含b，c的代数式表示）； (2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，求解二次函数解析式并理解二次函数的性质是解本题的关键． （1）用配方法即可求解； （2）根据条件先判断抛物线的对称轴在y轴的右侧，可得，再根据最值情况分别求解和的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 则二次函数图象的顶点坐标为． （2）因为，所以函数图象开口向下． 因为当时，y的最大值为2，当时，y的最大值为3，且， 所以函数图象的对称轴直线在y轴右侧，即， 所以当时，y的值随x值的增大而增大，所以当时，，即． 当时，，即，解得，， 因为， 所以． 所以二次函数的表达式为． 类型四、动轴动区间内的最值 例4．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知：二次函数在的范围内有最小值，则这个最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．判断图象开口向下，顶点坐标为，结合，，可得当时，函数取最小值，再进一步可得答案. 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∵，， ∵当时，函数有最小值， ∴当时，函数取最小值，最小值为：； 故答案为：． 变式4-1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式； (2)若该函数与x轴有两个交点，求k的取值范围； (3)若在范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，先求出的取值范围值是解题的关键． （1）根据该函数图象与轴的两个交点横坐标分别为0和2，求出对称轴，得到的值即可． （2）根据该函数与轴有两个交点，即可． （3）利用对称轴判断在哪取得最大值和最小值，作差就得到结论． 【详解】（1）解：该函数图象与轴的两个交点横坐标分别为0和2， 该函数图象的对称轴是直线． 又的对称轴是直线， 即函数的表达式是． （2） ． 该函数与轴有两个交点， ． 即：． （3）在范围内， ． 解得：． 函数图象开口向下且对称轴是直线， 时，有最大值，， 时，有最小值，． 该函数的最大值与最小值的差为4， ，即． 解得：（舍去），． 的值是5． 变式4-2．（2025·贵州毕节·三模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示） (2)当时，求顶点纵坐标的最大值与最小值； (3)当时，y的值随x值的增大而减小，且当时，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为； (2)当时，；当时，； (3)． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的根据． （1）利用二次函数顶点坐标公式求解即可； （2）利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意先求出的范围，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：设， 则． ， 当时，；当时，． （3）解：由题可知， ， 当时，总有， 要使则有． 时，的值随值的增大而减小，时，的值随值的增大而增大， 且， 当时，，当时，， ，即． 令，解得． 又的系数是， 当时， 的取值范围是． ． 1．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，当且仅当某点的横纵坐标数值完全一致时，该点被定义为“完美点”．如若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“完美点”，已知二次函数(a是常数，)的图象上有且只有一个“完美点”，且当时，函数的最小值为，最大值为7，则m的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键． 令，则，再利用建立方程解得，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质进行分析即可． 【详解】解：令，则 ∴ 解得， ∴ ∵开口向下，顶点为， ∴的最大值为， ∵或时，， ∴当时，最小值为，则，且时， 解得， 故答案选：C 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为10，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，y的最大值为10，可得时，，即可求出a. 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵时，y的最大值为10， ∴时，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2025·浙江衢州·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； (3)当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 【答案】(1) (2)3 (3)3或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再求得时的m值即可； （3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点， ∴，，则， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为， ∵所得图象与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； （3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为， ∴当时，最大值，最小值， 由得， 解得，（舍去）； 当时，最大值，最小值， ∴不满足，不符合题意； 当时，最大值为，最小值为， 由得， 解得，（舍去）， 综上，t的值为3或． 4．（2025·浙江衢州·二模）已知二次函数图象的对称轴是直线． (1)求证：． (2)将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新的函数图象的顶点在轴上，求的值． (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键， （1）根据抛物线对称轴公式计算可得结论； （2）先求出原抛物线顶点坐标，再根据平移写出新抛物线顶点坐标，根据新抛物线顶点在x轴上即可解决； （3）先求出当时，该函数有最小值为，再求出抛物线过点和，根据题意结合图象求出结论即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴是直线， ， ， ； （2）解：， ， 二次函数顶点坐标为， 将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， 其顶点也向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， 则平移后新的函数图象的顶点坐标为， 平移后新的函数图象的顶点在轴上， ， ； （3）解：当时，抛物线表达式， 二次函数图象顶点坐标为， ， 当时，该函数有最小值为， 当时，， 抛物线图象过点， 二次函数图象的对称轴是直线， 对称性可知抛物线还过点， 当时，二次函数的最大值与最小值的差为8， 由上图可知，． 5．（2025·浙江·模拟预测）二次函数的图象经过点． (1)求的值． (2)当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为． ①若，求的取值范围； ②是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)①；②不存在，见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用待定系数法，将代入函数解析式即可求出； （2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可； ②分类讨论，求出不同m的取值范围对应的、即可比较即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）① 抛物线的开口方向向上，对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， 当时，最小，； 当时，最大，． ∴当时，时，恰好函数的最大值4和最小值的差为． 当时，． ∴当时，y随x的增大而增大，且， 此时，的值保持不变，始终等于， ∴m的取值范围是 ②设时的函数值为，时的函数值为， I．当时，即，则必有， 对应的最大值都是．对应的最小值分别为，， 此时；， ∴ II．当时，，则必有，， 对应的最大值都是． 当时的最小值为，当时的最小值为， 此时；， ∴； III．当时，必有， 对应的最大值都是．对应的最小值都是． 此时； IV．当时，必有， 它们对应的最小值都是．当时的最大值为，当时的最大值为， 此时；， ∴ V.当时，必有，对应的最小值都是．对应的最大值分别为，， 此时；， ∴ 综上所述，不存在． 6．（2025·江苏连云港·二模）已知二次函数 (a是常数，a≠0)． (1)若，求该函数图像顶点坐标． (2)若该二次函数经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式． (3)若，当时，的最大值记为m，最小值记为n，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题是主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据题意用关于的式子表示出、． （1）当时，二次函数，化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）先判断抛物线过点，代入解析式即可求得，从而求得抛物线的解析式； （3）二次函数，由得出，抛物线开口向下，即可得出时，，时，，进而得出，根据求得最小值为． 【详解】（1）解：当时，二次函数， 顶点坐标为； （2）解： ， 当时，，因此不过点， 当时，，因此不过点， 故抛物线过点，代入得，， ， 抛物线的关系式为； （3）解：二次函数， 对称轴为直线， ， ，抛物线开口向下， 时，的最大值记为，最小值记为， 时，，时，， ，， ， ， ， 当时，有最小值，为． 7．（2025·福建莆田·模拟预测）已知二次函数的表达式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求的值； (2)若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点，求平移后的二次函数表达式； (3)当时，函数有最大值和最小值，求证：． 【答案】(1)或； (2) (3)证明见解析 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）代入，求解一元二次方程即可∶ （2）先得出顶点式，然后根据平移的法则得出表达式，再将代入求解即可； （3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可． 【详解】（1）∵点在该二次函数的图象上， ， ， 解得或； （2）解： ∵二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 平移后的二次函数表达式为， 平移后的二次函数经过点， ， 解得， 平移后的二次函数表达式为； （3）证明：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 在范围内，当时，取最大值为， 当时，取最小值为， ， ， ． 8．（2025·安徽合肥·三模）二次函数的图象与轴交于和两点． (1)当时，． ①求，的值； ②当时，函数最大值和最小值的差为，求的值； (2)当时，若存在实数，使得恒成立，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1)①；②当或时，函数最大值和最小值的差为； (2)． 【分析】（1）①将代入得到，结合，解二元一次方程组即可得解； ②先结合二次函数的图象与性质得到在直线左侧，随的增大而增大；在直线右侧，随的增大而减小，分三种情况考虑：当时；当时；当，时，找到各自情况的最大值和最小值即可求出的值； （2）根据根与系数的关系得，，结合可得，利用配方法可得，要使恒成立，即可得的取值范围为． 【详解】（1）解：①将代入中，可得，即， 联立，解得； ②由①知，抛物线表达式为，则抛物线的对称轴为直线， ， 在直线左侧，随的增大而增大；在直线右侧，随的增大而减小， 当，即时，都在对称轴左侧， 此时在处，有最小值，在处，有最大值， 代入可得：，解得； 当时，都在对称轴右侧， 此时在处，有最大值，在处，有最小值， 代入可得：， 解得； 当，，即时， 此时在处，有最大值，最大值为， 若最大值与最小值差为，则最小值为， 令，则， 解得或， 若，则不在的范围内，故舍去， 若，即，则不在的范围内，故舍去， 综上所述，当或时，函数最大值和最小值的差为． （2）解：由题意可知，，， ， 代入可得，， ，， ， ． 恒成立， 的取值范围为． 【点睛】本题考查的知识点是求二次函数解析式、解二元一次方程组、二次函数的图象与性质、根与系数的关系、配方法的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 9．（2025·浙江杭州·二模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值． （1）①将，代入，求出b，c的值即可； ②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可． （2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：①当，时，，， 将，代入， 得， 解得， ②由①得，二次函数解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值为． 10．（2025·浙江金华·二模）已知二次函数． (1)若函数经过，求二次函数的解析式； (2)若点，点均在函数图象上，求t的值； (3)当时，函数最大值为7，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，最值问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将代入，解方程即可； （2）可知，关于对称轴对称，然后根据对称性求解即可； （3）分两种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ； （2）解：∵点，点均在函数图象上， ∴，关于对称轴对称， ∵， ∴， 解得：． （3）解：①时，，且， ∴时，， 解得：． ②时，， ∴时，， 解得：． 综上所述，或． 11．（2025·海南省直辖县级单位·二模）已知二次函数（a为常数，且）经过点． (1)求该二次函数图象的表达式； (2)当时，x的取值范围是______； (3)当时，求y的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2)或 (3)9 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据抛物线与x轴的交点及其开口方向即可得到答案； （3）分别求出最大值和最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数经过点， ∴将点代入函数表达式中，可得： 解得． 将代入原二次函数表达式中， 可得． （2）当， 所以时，或 （3） 由此可知该二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，所以函数图象开口向上．因为函数图象开口向上，对称轴为直线，且，所以当时，y取得最小值， ． 求y的最大值：分别计算和时y的值：当时，；当时，．比较和5的大小，可得， 当时，y取得最大值，． y的最大值与最小值的差为：． 12．（2025·浙江温州·二模）已知二次函数（，为常数）的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式． (2)该二次函数图象上有两点，，其中点在点左边． ①用含的代数式表示． ②当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或 【分析】． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出二次函数的对称轴，再根据题意得出点、点关于直线对称，推出，求解即可；②求出二次函数的顶点坐标为，再分三种情况：当时；当时；当时；分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点和， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①∵二次函数的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵该二次函数图象上有两点，， ∴点、点关于直线对称， ∴， ∴； ②∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵当时，函数最大值与最小值的差为， ∴当时，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， ∴， 由①可得， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴，此时； 当时，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， ∴， ∴； 当时，当时取得最大值为，当时，取得最小值为， ∴，即， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的最值四类综合题型 典例详解 类型一、定轴定区间内的最值 类型二、定轴动区间内的最值 类型三、动轴定区间内的最值 类型四、动轴动区间内的最值 压轴专练 类型一、定轴定区间内的最值 例1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（），若时，函数的最大值与最小值的差为4，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 变式1-1．（24-25九年级下·山东滨州·期中）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润（元）与每件销售价（元）之间的关系满足．由于某种原因，现价格需满足，那么此时该店一周可获最大利润是 元． 变式1-2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 变式1-3．（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)当时，的最小值是________，最大值是________． 类型二、定轴动区间内的最值 例2．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式2-1．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 变式2-2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数，当时，无论取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则的取值范围是 ． 变式2-3．（2025·浙江绍兴·一模）若对于关于的函数在范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为． (1)若，求的值； (2)若， ①若点，均在函数的图象上，当的值最大时，求的值； ②当时，求的值． 类型三、动轴定区间内的最值 例3．（2025九年级下·全国·专题练习）已知二次函数为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（   ） A．3或4 B．0或4 C．或 D．或 变式3-1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数 （h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为1，则h的值为 ． 变式3-2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数 （为非零实数）． (1)当时，二次函数图象与x轴的交点坐标为 ．． (2)若二次函数有最小值． 求证：当时，随的增大而减小； 若时，  ，求的值． 变式3-3．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标（用含b，c的代数式表示）； (2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 类型四、动轴动区间内的最值 例4．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知：二次函数在的范围内有最小值，则这个最小值是 ． 变式4-1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式； (2)若该函数与x轴有两个交点，求k的取值范围； (3)若在范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k的值． 变式4-2．（2025·贵州毕节·三模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示） (2)当时，求顶点纵坐标的最大值与最小值； (3)当时，y的值随x值的增大而减小，且当时，都有，求a的取值范围． 1．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，当且仅当某点的横纵坐标数值完全一致时，该点被定义为“完美点”．如若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“完美点”，已知二次函数(a是常数，)的图象上有且只有一个“完美点”，且当时，函数的最小值为，最大值为7，则m的取值范围是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为10，则 ． 3．（2025·浙江衢州·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； (3)当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 4．（2025·浙江衢州·二模）已知二次函数图象的对称轴是直线． (1)求证：． (2)将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新的函数图象的顶点在轴上，求的值． (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的取值范围． 5．（2025·浙江·模拟预测）二次函数的图象经过点． (1)求的值． (2)当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为． ①若，求的取值范围； ②是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 6．（2025·江苏连云港·二模）已知二次函数 (a是常数，a≠0)． (1)若，求该函数图像顶点坐标． (2)若该二次函数经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式． (3)若，当时，的最大值记为m，最小值记为n，求的最小值． 7．（2025·福建莆田·模拟预测）已知二次函数的表达式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求的值； (2)若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点，求平移后的二次函数表达式； (3)当时，函数有最大值和最小值，求证：． 8．（2025·安徽合肥·三模）二次函数的图象与轴交于和两点． (1)当时，． ①求，的值； ②当时，函数最大值和最小值的差为，求的值； (2)当时，若存在实数，使得恒成立，求满足条件的的取值范围． 9．（2025·浙江杭州·二模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若，求的最小值． 10．（2025·浙江金华·二模）已知二次函数． (1)若函数经过，求二次函数的解析式； (2)若点，点均在函数图象上，求t的值； (3)当时，函数最大值为7，求m的值． 11．（2025·海南省直辖县级单位·二模）已知二次函数（a为常数，且）经过点． (1)求该二次函数图象的表达式； (2)当时，x的取值范围是______； (3)当时，求y的最大值与最小值的差． 12．（2025·浙江温州·二模）已知二次函数（，为常数）的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式． (2)该二次函数图象上有两点，，其中点在点左边． ①用含的代数式表示． ②当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$