学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（云南专用，人教版九上21～22章：一元二次方程+二次函数）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A C A D D C B 题号 11 12 13 14 15 答案 B D C A B 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16．且 17． 18． 19．①③④ 三、解答题（本大题共8小题，满分62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分） 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，······（2分） ∴，······（1分） ∴ ．······（4分） 21．（6分） 【详解】（1）解：， ，······（1分） ，······（1分） 即，；······（1分） （2）解：， ，······（1分） 或，······（1分） ，．······（1分） 22．（7分） 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． ······（1分） 解得，······（1分） ∴此二次函数的解析式为；······（1分） （2）解：当时， ，······（2分） ∴点不在这个二次函数的图象上．······（2分） 23．（6分） 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得，······（1分） ∴二次函数的表达式为，······（1分） 当时， ， 解得，， ∴；······（1分） （2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、， 设直线的表达式为， 把、代入得：， 解得， ∴直线的表达式为，······（1分） 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴， ， ∴，······（1分） ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为．······（1分） 24．（8分） 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为，······（1分） 依题意，得：，······（1分） 解得：(不符合题意，舍去)．······（1分） 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．······（1分） （2）解：设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利4864元， 依题意，得：，······（1分） 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)，······（1分） ∴售价为元······（1分） 答：该这种台灯售价为38元．······（1分） 25．（8分） 【详解】材料理解： 解，∵一元二次方程的两根为，， ∴，······（2分） 故答案为：，；······（1分） 类比运用： ①证明：∵， ∴，······（1分） ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；······（1分） ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，，······（1分） 又∵， ∴，······（1分） 解得：．······（1分） 26．（8分） 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，， ∴，······（1分） ∴设函数表达式为， ∴，······（1分） 解得：，······（1分） ∴； 故答案为：3.5，；······（1分） （2）解：， ∴， ∴，······（1分） ∴，······（1分） 当时，， ∵， 即运动员甲在水面上无法完成此动作，······（1分） ∴运动员甲不能成功完成此动作．······（1分） 27．（12分） 【详解】（1）解∶ 把代入，得， 解得，，······（1分） ∴；，······（1分） 故答案为：；；······（1分） （2）解：∵， ∴， 令，则， ∴，······（1分） 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为，······（1分） 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，，······（1分） ∴， ∴的面积为3；······（1分） （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设，······（1分） ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴，······（1分） 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），，······（1分） 当时，，······（1分） ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为．······（1分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012九年级数学上册第21~22章（一元二次方程+二次函数）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是2，且两边都是整式，这样的方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. 方程 含有分式 ，不是整式方程，故不符合； B. 方程 含有两个未知数 和 ，属于二元二次方程，故不符合； C. 方程 中未知数的最高次数为3，属于三次方程，故不符合； D. 方程 展开后为 ，仅含一个未知数且最高次数为2，是整式方程，符合定义； 故选：D． 2．若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 3．已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根，由题意可知，m是方程的根，因此．将代数式中的用该等式替换，即可化简求值． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． ∴ 故选C． 4．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的平移，函数图像的平移法则：左加右减、上加下减，熟记函数图像平移法则是解决问题的关键．按照函数图像平移法则求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到 故选：A． 5．把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．5、 B．5、2050 C．、2050 D．、2025 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 先移项，再配方，变形后即可求出m、n的值． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 所以，， 故选：C． 6．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 7．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 8．某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每月的增长率为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设平均每月的增长率为，依题意得： ， 故选：D． 9．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） ①两边同时除以得； ②整理得，∵，，，，∴； ③整理得，配方得，∴，∴，∴，； ④移项得：，∴或，∴，， A．① B．①③ C．④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：①忽略了，这种情况，故①解法错误； ②，整理得：，故，故②解法错误； ③，配方得：，即：，原解法配方错误，故③解法错误； ④移项得：，∴或，∴，，故④解法正确； 故选C． 10．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为，根据题意列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 把水平的水渠平移到矩形的上面，竖直的条水渠平移到矩形的左边，则平移后耕地的长为，宽为，根据耕地总面积列出方程即可． 【详解】解：设水渠的宽度为， 由题意得：． 故选：B． 11．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，C，D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 12．如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．关于x的方程的根为 D．当时，y的取值范围为 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等解答即可. 本题考查了抛物线的对称性，抛物线的增减性，抛物线的顶点坐标属性，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的最值，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故A错误； 当时，y随x的增大而增大，故B错误； 设抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为m， 则， 解得， 故关于x的方程的根为，故C错误； 当时， ∵关于x的方程的根为， ， 解得， 故抛物线解析式为， 故当时，函数取得最大值，且最大值为4； ∵， ∴与对称轴的距离越大函数值越小， ∵， ∴时，函数取得最小值，且最小值为， ∴y的取值范围为；故D正确； 故选：D． 13．已知抛物线为常数，且，关于抛物线的下列说法中，不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则抛物线与轴有两个交点 C．若点在抛物线上，则 D．若点在抛物线上，且，则 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识，关键是对二次函数的性质以及二次函数与方程根的关系的应用． 根据函数解析式求出对称轴即可判断A；设，是方程的两个根，由根与系数的关系得出，根据，，可以得出两根异号，从而判断B；根据抛物线对称轴和抛物线开口方向可以得出，再根据可以判断C；根据，和函数性质可以判断D． 【详解】解：A、， 抛物线的对称轴是直线，正确，故此选项不符合题意； B、令，则． 若， 则抛物线与轴有两个交点，正确，故此选项不符合题意； C、，顶点坐标为，抛物线开口向上， 若点在抛物线上，则，错误，故此选项符合题意； D、抛物线开口向上，若点在抛物线上，且， 则， ，正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选A． 15．如图，在中，，，，，分别是，的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是个单位秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∵点是中点， ∴，， 当时，点在上，点在上，， ∴； 如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴，，， ∴ ； 如图，当时，点都在上， ∴， 综上判断选项B的图象符合题意， 故选：B． 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16．如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴且， ∴， ∴且． 故答案为：且． 17．抛物线经过三点，则的大小关系为 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x增大而减小，再根据关于对称轴对称的点为，且可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵关于对称轴对称的点为，且， ∴， 故答案为：． 18．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田，现需在试验田中修建同样宽的两天互相垂直的小路（两条小路各与举行的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块试验田的总面积为，求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，四块试验田可以拼为长为，宽为的矩形，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设小路的宽为， 根据题意，得， 故答案为：． 19．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号) 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．由二次函数图象的对称轴而可判断①；由时，，结合，即可判断②；判断直线过，两点，根据图象即可判断③；由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可判断④． 【详解】解：对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 时，， ， ， ， ，故②错误； ，， ， ， 直线与轴的交点为， 直线过，两点， 观察图象，若，则，故③正确； 由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ．故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共8小题，满分62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，······（2分） ∴，······（1分） ∴ ．······（4分） 21．（6分）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ，······（1分） ，······（1分） 即，；······（1分） （2）解：， ，······（1分） 或，······（1分） ，．······（1分） 22．（7分）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． ······（1分） 解得，······（1分） ∴此二次函数的解析式为；······（1分） （2）解：当时， ，······（2分） ∴点不在这个二次函数的图象上．······（2分） 23．（6分）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得，······（1分） ∴二次函数的表达式为，······（1分） 当时， ， 解得，， ∴；······（1分） （2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、， 设直线的表达式为， 把、代入得：， 解得， ∴直线的表达式为，······（1分） 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴， ， ∴，······（1分） ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为．······（1分） 24．（8分）某商场将进货价为30元的水杯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种水杯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销，经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种水杯的售价每降价0.5元，其销售量增加8个，若商场要想使4月份销售这种水杯获利4864元，则这种是被售价应定为多少元？ 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为，······（1分） 依题意，得：，······（1分） 解得：(不符合题意，舍去)．······（1分） 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．······（1分） （2）解：设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利4864元， 依题意，得：，······（1分） 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)，······（1分） ∴售价为元······（1分） 答：该这种台灯售价为38元．······（1分） 25．（8分）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【详解】材料理解： 解，∵一元二次方程的两根为，， ∴，······（2分） 故答案为：，；······（1分） 类比运用： ①证明：∵， ∴，······（1分） ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；······（1分） ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，，······（1分） 又∵， ∴，······（1分） 解得：．······（1分） 26．（8分）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． (2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，， ∴，······（1分） ∴设函数表达式为， ∴，······（1分） 解得：，······（1分） ∴； 故答案为：3.5，；······（1分） （2）解：， ∴， ∴，······（1分） ∴，······（1分） 当时，， ∵， 即运动员甲在水面上无法完成此动作，······（1分） ∴运动员甲不能成功完成此动作．······（1分） 27．（12分）如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【详解】（1）解∶ 把代入，得， 解得，，······（1分） ∴；，······（1分） 故答案为：；；······（1分） （2）解：∵， ∴， 令，则， ∴，······（1分） 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为，······（1分） 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，，······（1分） ∴， ∴的面积为3；······（1分） （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设，······（1分） ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴，······（1分） 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），，······（1分） 当时，，······（1分） ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为．······（1分） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题2分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 13.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题2分，共8分） 16．_________________ 17．___________________ 18．_________________ 19．___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分） 21. （6分） (1) ； (2)． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （7分） 23（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（8分） 25.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012九年级数学上册第21~22章（一元二次方程+二次函数） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 3．已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 4．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．5、 B．5、2050 C．、2050 D．、2025 6．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 7．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 9．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） ①两边同时除以得； ②整理得，∵，，，，∴； ③整理得，配方得，∴，∴，∴，； ④移项得：，∴或，∴，， A．① B．①③ C．④ D．③④ 10．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为，根据题意列方程为（  ） A． B． C． D． 11．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．5 12．如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．关于x的方程的根为 D．当时，y的取值范围为 13．已知抛物线为常数，且，关于抛物线的下列说法中，不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则抛物线与轴有两个交点 C．若点在抛物线上，则 D．若点在抛物线上，且，则 14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．1 C．0 D．3 15．如图，在中，，，，，分别是，的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是个单位秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16．如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 17．抛物线经过三点，则的大小关系为 18．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田，现需在试验田中修建同样宽的两天互相垂直的小路（两条小路各与举行的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块试验田的总面积为，求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列方程是 ． 19．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号) 三、解答题（本大题共8小题，满分62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 21．（6分）解方程： (1)； (2)． 22．（7分）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 23．（6分）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 24．（8分）某商场将进货价为30元的水杯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种水杯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销，经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种水杯的售价每降价0.5元，其销售量增加8个，若商场要想使4月份销售这种水杯获利4864元，则这种是被售价应定为多少元？ 25．（8分）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 26．（8分）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． (2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 27．（12分）如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年上学期第一次月考卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 2 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 1 2 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题 2 分，共 8 分） 1 6 ． ____________________ 1 7 ． ____________________ 1 8 ． ____________________ 1 9 ． ____________________ 三 、解答题（共 62 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 20 ． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 6 分） ； (2) ． 22 . （7分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 .（8分） 2 5 .（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （8 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27. （1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012九年级数学上册第21~22章（一元二次方程+二次函数） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 3．已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 4．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．5、 B．5、2050 C．、2050 D．、2025 6．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 7．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 9．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） ①两边同时除以得； ②整理得，∵，，，，∴； ③整理得，配方得，∴，∴，∴，； ④移项得：，∴或，∴，， A．① B．①③ C．④ D．③④ 10．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为，根据题意列方程为（  ） A． B． C． D． 11．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．5 12．如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．关于x的方程的根为 D．当时，y的取值范围为 13．已知抛物线为常数，且，关于抛物线的下列说法中，不正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则抛物线与轴有两个交点 C．若点在抛物线上，则 D．若点在抛物线上，且，则 14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．1 C．0 D．3 15．如图，在中，，，，，分别是，的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是个单位秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16．如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 17．抛物线经过三点，则的大小关系为 18．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田，现需在试验田中修建同样宽的两天互相垂直的小路（两条小路各与举行的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块试验田的总面积为，求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列方程是 ． 19．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是 (填写正确结论的序号) 三、解答题（本大题共8小题，满分62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 21．（6分）解方程： (1)； (2)． 22．（7分）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 23．（6分）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 24．（8分）某商场将进货价为30元的水杯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种水杯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销，经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种水杯的售价每降价0.5元，其销售量增加8个，若商场要想使4月份销售这种水杯获利4864元，则这种是被售价应定为多少元？ 25．（8分）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 26．（8分）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． (2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 27．（12分）如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$