专题06 函数的概念及其表示讲义（6知识点+12考点+2易错点）-2025-2026学年高一数学《阶梯册》考点训练（人教A版2019必修第一册）

专题06 函数的概念及其表示 知识点一、函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意： （1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 知识点二、同一个函数 1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 知识点三、区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 知识点四、常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 知识点五、函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 知识点六、分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 考点01函数关系的判断 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 4．已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 考点02区间的表示 6．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 7．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．集合（   ） A．2 B． C． D． 9．集合用区间表示为（　　） A． B． C． D． 考点03求具体函数的定义域 10．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 11．下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 12．下列四个函数：①；②；③；④．其中定义域相同的函数有（   ） A．①，②和③ B．①和② C．②和③ D．②，③和④ 13．函数的定义域为 ． 考点04求抽象函数的定义域 14．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 17．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．已知的定义域为，则的定义域为 ． 19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 考点05同一函数的判断 20．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 21．下列各组函数表示同一个函数的是 ． （1） （2） （3） （4） 22．（多选）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 考点06三种函数表示法的应用 23．如图所示的容器中装有燃料，假设燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 24．根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 25．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示，则的值为 ． x 1 2 3 4 3    26．已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则 ． 考点07求函数值或值域 27．已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 28．设函数的定义域为，若，则 ． 29．已知，则 ． 30．（多选）若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（    ） A． B． C． D． 31．函数的值域为 . 32．求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 考点08待定系数法求解析式 33．已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 34．已知反比例函数的图象过点，则 ． 35．已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 36．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 37．已知是一次函数．且．求函数的解析式． 考点09换元法（配凑法）求解析式 38．已知，则（   ） A． B． C． D． 39．已知，则的值为 . 40．若函数，则 ． 41．若函数满足，则的解析式为 ． 42．若函数在定义域内恒有，则 ． 考点10解方程组求解析式 43．已知，求的解析式． 44．已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 45．若，求的解析式． 考点11分段函数求值 46．已知函数，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 47．已知函数，则 . 48．已知函数，则 ． 49．已知实数，函数.若，则a的值为 ；若，则a的值为 ． 50．已知定义在上的函数则使得成立的整数的集合为 ． 考点12分段函数的图象与应用 51．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 52．已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 . 53．在图中作出函数的图象．    54．给定函数，，． (1)在同一坐标系中画出，的图象； (2)，用表示，中的最大者，记为．例如，当时，，请分别用图象法和解析法表示函数． 易错01 函数概念的理解有误 1．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．下列关于，的关系中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 -6 1 易错02 分段函数中若自变量范围未知，易忽略分类讨论 1．已知函数且，则 ． 2．已知函数，若，则实数 ； 刷基础 1．已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 2．下列不可以表示函数图象的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数：①；②；③，与函数是同一个函数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）对于任意的，函数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则 ． 8．函数的值域为 9．（1）已知，求的表达式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的表达式. 10．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求，的值域. 刷能力 1．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（    ） A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5 2．已知点在曲线上，点在直线上，且两点关于轴对称，，则函数的值域为 . 3．函数，，对，使成立，则实数的取值范围是 . 4．若函数的值域是，函数的值域是，则 ． 5．的定义域为R，则实数k的取值范围为 . 6．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 刷期中期末真题 1．（2022·23高一上·海南儋州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则的解析式是 ．    3．（2024·25高一上·上海·期末）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 4．（2023·24高一上·云南昭通·期中）给定函数，用表示中的较小者，记为，例如，当时，，则用解析法可表示为 ． 5．（2024·25高一上·福建莆田·期中）设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数的概念及其表示 知识点一、函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意： （1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 知识点二、同一个函数 1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 知识点三、区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 知识点四、常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 知识点五、函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 知识点六、分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 考点01函数关系的判断 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 2．下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意； 对于B，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于C，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于D，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A. 3．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【详解】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 4．已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义可知，要使应关系能构成从A到B的函数， 须满足：对集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应， 对于A选项，当时，，故不能构成函数； 对于B选项，当时，，故不能构成函数； 对于C选项，当时，，故不能构成函数； 对于D选项，集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应，故能构成函数. 故选：D． 5．（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 考点02区间的表示 6．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 7．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 8．集合（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】, 故选：B 9．集合用区间表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据集合的表示方法，集合用区间表示为. 故选：D. 考点03求具体函数的定义域 10．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C 11．下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，A正确； 由知的定义域为，B错误； 对于C，D，易知的定义域为，C，D错误． 故选：A. 12．下列四个函数：①；②；③；④．其中定义域相同的函数有（   ） A．①，②和③ B．①和② C．②和③ D．②，③和④ 【答案】A 【详解】①，②，③的定义域都是，而④的定义域为. 故选：A 13．函数的定义域为 ． 【答案】或． 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 考点04求抽象函数的定义域 14．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 故答案为： 15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由函数的定义域为，得， 令，则，所以的定义域为， 故的定义域为. 故答案为：. 17．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 则，解得，即定义域为. 故选：A. 18．已知的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得， 故函数的定义域为． 故答案为： 19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 考点05同一函数的判断 20．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 21．下列各组函数表示同一个函数的是 ． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）（4） 【详解】对于选项（1），因为， 所以两个函数的定义域均为，且对应关系也相同， 所以是同一个函数，故（1）正确； 对于选项（2），因为， 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故（2）错误； 对于选项（3），因为的定义域为， 的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故（3）错误； 对于选项（4），因为， 所以两个函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一个函数，故（4）正确． 故答案为：（1）（4）. 22．（多选）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 考点06三种函数表示法的应用 23．如图所示的容器中装有燃料，假设燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】图中容器中间细，上下渐粗，且上长下短。燃料燃烧时以均匀的速度消耗，但燃料高度下降不是匀速变化，所以C、D错误. 因为容器上半部分先粗后细，所以开始燃烧后，剩余燃料高度下降得越来越快，当燃料液面到达容器最细处时，剩余燃料高度下降速度达到最快，然后又因为容器逐渐变粗，且高度较上部短，所以燃料高度下降速度又越来越慢，且高度变化到零用时较上部短.A选项图象随时间的增大而减小的速度先由慢到快，再由快到慢，且第二段用时较第一段短.所以A选项较为合适． B选项显示的变化规律正好与A选项变化规律相反.所以B选项错误. 故选：A. 24．根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 25．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示，则的值为 ． x 1 2 3 4 3    【答案】4 【详解】由图可知，所以． 故答案为：4. 26．已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则 ． 【答案】5 【详解】（，1，2，3，4）等于在、、、和中k所出现的次数， 则， 若在“、、、、”中出现次数超过0次， 不妨设出现1次，则. 设，则在“、、”这3个数中出现4次，矛盾， 同理在“、、、、”中出现过2、3、4次也不可能， 即不能出现，所以. 同理，若出现次数超过0次，不妨设出现1次， 即，设，则在“、”这2个数中出现3次，矛盾， 故不可能出现，所以. 因为，， 以在“、、、，”中至少出现了2次， 所以， 若或4，即或出现了1次，则或不为0，矛盾， 所以，，， 所以，，所以“、、、和”仅有下列四种可能： ①、、、和， ②、、、和， ③、、、和， ④、、、和， 其中：①中，出现2次与矛盾，不可能； ②满足题意；③出现2次与矛盾； ④中，出现3次与矛盾； 故仅有“、、、、”满足题意， 故. 故答案为：5 考点07求函数值或值域 27．已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【详解】. 故选：B. 28．设函数的定义域为，若，则 ． 【答案】 【详解】令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得. 故答案为：. 29．已知，则 ． 【答案】15 【详解】令，即，得． 故答案为：15． 30．（多选）若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，A选项正确； 对于B，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，B选项正确； 对于C，对于函数，其定义域为，当时，，所以不是同域函数，C选项错误； 对于D，因为，由得， 所以的定义域与值域均为，所以是同域函数，D选项正确. 故选：ABD. 31．函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 32．求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 考点08待定系数法求解析式 33．已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得6， 因此，解得，所以． 故选：A 34．已知反比例函数的图象过点，则 ． 【答案】 【详解】设反比例函数， 由题意可得：，解得， 可得，所以. 故答案为：. 35．已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【详解】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． 36．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【答案】 【详解】设 . 由，得 得；① 设的根为， 则， 所以② 又由已知得.③ 由①②③解得， 所以． 37．已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【答案】 【详解】设， 由，得， 即，所以且． 解得或， 当时，，故，所以， 当是，，无解， 综上，． 考点09换元法（配凑法）求解析式 38．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 39．已知，则的值为 . 【答案】3 【详解】令，则，进一步可得， ， ， 故答案为：3. 40．若函数，则 ． 【答案】或 【详解】令，解得或， 又， 所以： 当时，； 当时，． 故答案为：或. 41．若函数满足，则的解析式为 ． 【答案】（且） 【详解】设，则， 由题意可知且，所以且， 将代入，得， 所以的解析式为（且）． 故答案为：（且）. 42．若函数在定义域内恒有，则 ． 【答案】3 【详解】由，得， 所以，解得． 故答案为：3. 考点10解方程组求解析式 43．已知，求的解析式． 【答案】， 【详解】由题意可知， 令，所以，其中， 代入可得，， 即，， 联立方程组，可得， 所以， 44．已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 【答案】 【详解】由题意知，用代换，得， ，消去，可得． 45．若，求的解析式． 【答案】（且） 【详解】由题可知， 令，其中，则，， 于是有：①， 由上式有意义，得且，即且， 用替换得：②， 联立①②，解得（且）， 所以（且）． 考点11分段函数求值或求参 46．已知函数，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】由，是减函数，可知当时，， 所以，则， 由，得，解得， 所以. 故选：B. 47．已知函数，则 . 【答案】-1 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：-1 48．已知函数，则 ． 【答案】4 【详解】由题意得， 故， 故答案为：4 49．已知实数，函数.若，则a的值为 ；若，则a的值为 ． 【答案】 / 【详解】当时，，，得（舍去）； 当时，，，得． 所以，若，则． 当时，， 则，， 由题意知，得（舍去）； 当时，， 则，， 则，得． 综上可得，． 故答案为：；. 50．已知定义在上的函数则使得成立的整数的集合为 ． 【答案】 【详解】设，则由解得或． 当时，，即． 当时，，则或， 又因为为整数，所以为0，1，3，4. 综上所述，整数的取值集合为． 故答案为：． 考点12分段函数的图象与应用 51．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象. 故选：C. 52．已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 . 【答案】 【详解】由题可得，， ， 设函数的图象与轴围成的图形面积为， 如图，由二次函数和可知，曲边三角形的面积等于曲边三角形的面积， 所以. 故答案为：. 53．在图中作出函数的图象．    【答案】答案见解析 【详解】因，其图象如下图所示．    54．给定函数，，． (1)在同一坐标系中画出，的图象； (2)，用表示，中的最大者，记为．例如，当时，，请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)图象见解析； (2)图象见解析，. 【详解】（1）画出函数，的图象，如图： （2）结合（1）中图象及的定义，用图象法表示，如图： 由，得或， 当或时，，当时，， 所以函数的解析式为. 易错01 函数概念的理解有误 1．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【详解】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足. 故选：ACD. 2．下列关于，的关系中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 -6 1 【答案】D 【详解】对于A，不等式的解集为，不是的函数，A不是； 对于B，当时，有两个与对应，不是的函数，B不是； 对于C，当时，有两个与对应，不是的函数，C不是； 对于D，对于的每一个值，都有唯一值与之对应，是的函数，D是. 故选：D 易错02 分段函数中若自变量范围未知，易忽略分类讨论 1．已知函数且，则 ． 【答案】2或 【详解】当时，，解得， 因为，故. 当时，，解得， 因为，故. 验证：当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 故答案为：2或. 2．已知函数，若，则实数 ； 【答案】或1 【详解】当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得. 综上所述，或1. 故答案为：或1. 刷基础 1．已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】，所以， 故选：D. 2．下列不可以表示函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】B项不满足每一个自变量仅对应一个因变量，ACD都满足每一个自变量仅对应一个因变量. 故选:B． 3．下列函数：①；②；③，与函数是同一个函数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 函数，定义域为，与函数定义域不同，不是同一个函数； 函数与函数定义域不同，不是同一个函数； 函数定义域为，与函数定义域不同，不是同一个函数． 故选：A. 4．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 则函数的定义域为， 函数， 则，解得， 故函数的定义域为. 故选：A. 5．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 则，故. 故选：B. 6．（多选）对于任意的，函数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】根据题意可知，函数满足， 令，得，解得，故A错误； 令，得，即， 因为，所以，故B正确； 因为，则， 令，则，故C正确； 又， 则，故D错误. 故选：BC. 7．已知函数，若，则 ． 【答案】0 【详解】因为，所以，解得，则， 所以. 故答案为：0. 8．函数的值域为 【答案】 【详解】当时，，， 当，即时，，当，即时，， 所以所求值域为. 故答案为： 9．（1）已知，求的表达式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的表达式. 【答案】； 【详解】（1）易知，所以； （2）根据题意可设， 则，， 即，所以，即. 10．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求，的值域. 【答案】(1)，； (2)，； (3)值域是，值域是． 【详解】（1）； （2），； （3）因为，所以，所以值域是， ，值域是， 刷能力 1．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（    ） A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5 【答案】D 【详解】函数的定义域为A，值域为B， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以，又， 所以若，解得或，因为，所以. 此时，所以，则； 若，又，所以不成立. 综上，. 故选：D. 2．已知点在曲线上，点在直线上，且两点关于轴对称，，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为，且两点关于轴对称， 所以点坐标为， 由题意可得，解得， 又因为，， 解得， 所以一元二次函数的对称轴为， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为：. 3．函数，，对，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题当时，因为,故， 又则. 又对，使成立， 所以的值域包含的值域， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 4．若函数的值域是，函数的值域是，则 ． 【答案】 【详解】由题得，所以函数的值域为. 对于函数，函数的定义域为， 设，所以，所以， 函数的对称轴为，所以函数的值域为. 所以. 故答案为： 5．的定义域为R，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：由的定义域为R，可得恒成立， 当，不等式等价为，不恒成立，不满足条件； 当，要使恒成立， 则，解得，综合可得， 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，一元二次不等式恒成立的问题，考查计算能力，是基础题. 6．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】; 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 刷期中期末真题 1．（2022·23高一上·海南儋州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，要使得函数有意义， 则且. 解得且. 所以该函数的定义域为. 故选：A. 2．（2024·25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则的解析式是 ．    【答案】 【详解】当时，为一次函数的一部分， 把点和代入到中， 解得，即； 当时，也为一次函数的一部分， 把点和代入到中， 解得，即.综上所述，. 故答案为：. 3．（2024·25高一上·上海·期末）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为， 又，， 所以函数的图象为开口向下，对称轴为，过点的抛物线， 作函数的图象如下： 结合对称性可得， 因为函数在区间上的值域为， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 4．（2023·24高一上·云南昭通·期中）给定函数，用表示中的较小者，记为，例如，当时，，则用解析法可表示为 ． 【答案】 【详解】令，解得， 所以. 故答案为： 5．（2024·25高一上·福建莆田·期中）设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，则， ，，， ∴是周期函数，且周期为4， ∴． 故选：A． 6．（2024·25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得， 所以，又， 故， 由，取，， 可得， 故选：D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$