第三单元 分数除法（知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年人教版数学六年级上学期单元复习举一反三培优精讲练

2025-2026学年数学六年级上学期举一反三培优精讲练（人教版） 姓名： 班级： 学号： 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第三单元 分数除法 知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题 (原卷版) 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 目 录 资料简介 内容梳理 3 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：倒数的认识 3 知识点梳理02：分数除法的意义和计算法则 3 知识点梳理03：分数混合运算 4 知识点梳理04：解决问题 4 知识点梳理05：易错点提示 5 重点难点 考点讲练 6 高频考点讲练1：倒数的认识 6 高频考点讲练2：与倒数有关的综合计算 6 高频考点讲练3：自然数与倒数的和或差的问题 6 高频考点讲练4：分数的平均分 7 高频考点讲练5：分数与整数的除法 7 高频考点讲练6：分数与分数的除法 8 高频考点讲练7：被除数与商的大小关系（分数除法） 8 高频考点讲练8：分数的连除运算 8 高频考点讲练9：分数的乘、除法的混合运算 9 高频考点讲练10：分数的四则混合运算 10 高频考点讲练11：分数除法相关的简便计算 10 高频考点讲练12：解分数方程 11 高频考点讲练12：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 12 高频考点讲练13：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 13 高频考点讲练14：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 13 高频考点讲练15：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 14 升学真题 实战演练 15 优选题型 培优强化 16 基础夯实 能力提升 16 创新拓展 拔尖冲刺 18 同学你好，该份讲义用于人教版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：倒数的认识 1.意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 （1）例如：因为 ，所以 和 互为倒数。 2.求一个数的倒数的方法： （1）分数： 交换分子和分母的位置。（若为带分数，先化成假分数再交换）例： 的倒数是 ；，其倒数是 。 （2）整数（0除外）： 看作分母是1的分数，再交换分子和分母的位置（即整数的倒数是几分之一）。例：5 的倒数是 ；1 的倒数是 1。 （3）小数： 先化成分数，再求倒数。例：0.25 = ，其倒数是 4。 3.特殊情况： （1）1的倒数是它本身（1）。 （2）0没有倒数。（因为0乘任何数都得0，不可能等于1） 知识点梳理02：分数除法的意义和计算法则 1.分数除法的意义： （1）与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （2）例如： 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是2，求另一个因数是多少。 （3） 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，求另一个因数是多少。 2.分数除以整数的计算法则： （1）分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 3.一个数除以分数的计算法则： （1）一个数（可以是整数、分数）除以一个不为0的分数，等于乘这个分数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 4.分数除法的统一计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 知识点梳理03：分数混合运算 1.运算顺序： （1）与整数混合运算的顺序相同。 （2）同级运算（只有乘除或只有加减）：从左往右依次计算。 （3）不同级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减。 （4）有括号的：先算括号里面的，再算括号外面的。 2.简便运算：整数乘法的运算定律（交换律、结合律、分配律）对于分数乘法同样适用。在分数混合运算中，能运用运算定律进行简便计算的要简便计算。 （1）例： (交换律) （2）例： (分配律) 知识点梳理04：解决问题 1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 (已知部分量，求单位“1”的量) （1）关键： 找准单位“1”的量（未知），找出已知量对应的分率。 （2）数量关系式： 单位“1”的量 × 分率 = 分率对应的量 (已知量) （3）解题方法： ①方程法：设单位“1”的量为 x。 ，解方程。 ②算术法：已知量 ÷ 对应的分率 = 单位“1”的量。 2.已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。 (已知比单位“1”多/少部分的量，求单位“1”的量) （1）关键： 找准单位“1”的量（未知），理解“多（或少）几分之几”的含义，确定已知量对应的分率是 (1 + 几分之几) 或 (1 - 几分之几)。 （2）数量关系式： 单位“1”的量 × (1 ± 分率) = 已知量 （3）解题方法： ①方程法：设单位“1”的量为 x。 ，解方程。 ②算术法：已知量 ÷ (1 ± 分率) = 单位“1”的量。 3.已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系（几分之几），求这两个数。 （1）关键： 设其中一个数（通常设单位“1”的量）为 x，根据倍数关系用含 x 的式子表示另一个数，再根据和或差列方程。 4.工程问题（分数除法的应用之一）： （1）特点： 工作总量未知，通常用“1”表示工作总量。 （2）工作效率： 单位时间内完成的工作量，即工作总量 ÷ 工作时间。通常表示为“几分之一”（如：甲单独做需5天完成，则甲的工作效率是 ）。 （3）数量关系式： 工作总量 ÷ 工作效率之和 = 合作工作时间。 知识点梳理05：易错点提示 1.分数除法计算错误： （1）忘记将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）。 （2）记错倒数（尤其是小数的倒数）。 （3）约分不彻底或错误约分。 2.解决问题时： （1）找不准单位“1”： 特别是在“比一个数多（或少）几分之几”的题目中。 （2）分不清用乘法还是除法： 单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法（或方程）。 （3）对应分率找错： 已知量与分率不对应。 （4）用方程解决问题时，等量关系列错或解方程出错。 4.分数混合运算顺序错误： 特别是在有括号和多种运算符号时。 5.简便运算的滥用或不用： 该用简便方法的不用，或者不满足运算定律条件时强行使用。 高频考点讲练1：倒数的认识 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）已知两个连续奇数的倒数之差是，则这两个连续奇数分别是（    ）和（    ）。 【我思考】两个连续奇数一定是（    ），这两个奇数与它们倒数差的（    ）有关，可以把它们倒数差的（    ）分解质因数。 【我验证】143＝（    ）×（    ），＝（    ）。 【我发现】已知两个连续奇数的倒数的和或差是，求这两个数，就是把（    ）分解质因数。（a≠0） 【变式训练】（24-25六年级上·重庆江北·期末）有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝( )；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝( )。 高频考点讲练2：与倒数有关的综合计算 【典例精讲】（24-25六年级上·青海果洛·期末）2.5和( )互为倒数。如果数a和数b互为倒数，那么×b＝( )。 【变式训练】（24-25六年级上·山东济南·期中）如果a和b互为倒数，那么÷结果是( )；如果a＝0.125，那么b＝( )。 高频考点讲练3：自然数与倒数的和或差的问题 【典例精讲】（23-24六年级上·全国·课后作业）两个自然数的倒数之和是，这两个自然数可能是( )和( )；也可能是( )和( )。 【变式训练】（21-22六年级下·湖南永州·期中）一个数与它的倒数的差是，这个数是( )。 高频考点讲练4：分数的平均分 （24-25六年级上·重庆黔江·期末）÷3怎样算的呢？仔细观察图，结合情境想一想，再填空。 情境：把长为米的彩带平均分成3段，每段长为多少米？ （1）方法一：把6个平均分成（    ）份，每份是（    ）个，就是（    ）。 即：（米） （2）方法二：把平均分成3份，求每份是多少，也就是求的是多少。 即：（米） 【变式训练】（24-25六年级上·北京通州·期末）公顷阔叶林每天约释放氧气吨，那么1公顷阔叶林每天可以释放氧气约( )吨。 高频考点讲练5：分数与整数的除法 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）小明的妈妈买来一篮鸡蛋，第一天吃了第二天吃了余下的，第三、四天都吃了第二天余下的，第五天吃了余下的，还剩下3个鸡蛋。妈妈共买了多少个鸡蛋？ 【变式训练】（24-25六年级上·全国·单元测试）一本故事书，小华从第一页开始看起，第一天看了总页数的多3页，第二天看了余下的少4页，还剩122页没有看。这本故事书一共有多少页？ 高频考点讲练6：分数与分数的除法 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·课后作业）乐乐在计算一个数除以时，看成了乘，结果得到的答案是。这道题的正确答案是多少？ 【变式训练】（25-26六年级上·全国·课后作业）计算下列各题，能简算的要简算。          高频考点讲练7：被除数与商的大小关系（分数除法） 【典例精讲】（23-24六年级下·河北邢台·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 15×( )15        13÷( )13      ÷( )×4 【变式训练】（24-25六年级上·山西晋中·期末）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )        ( ) 高频考点讲练8：分数的连除运算 【典例精讲】（24-25六年级上·河南郑州·期末）“China“这个英文单词，据说其来源与“瓷器”有关。我国瓷器源起商代，东汉立形，经南北朝发展，唐有“南青北白”及唐三彩，宋以五大名窑领衔鼎盛，元有景德镇的青花瓷、釉里红独树一帜，明清制瓷登峰造极，外销海外，辉煌灿烂。如今，瓷器已经进入了寻常百姓家，成为人们日常生活里常见的物品。景德镇一个民窑一年生产瓷碗90万件，是瓷杯产量的，______。这个民窑一年生产多少万件瓷盘？横线上补充下面信息（    ），用算式解答。 A．瓷杯的产量是瓷盘产量的 B．瓷盘的产量是瓷杯产量的 C．瓷杯比瓷盘每年的产量多 D．瓷盘的产量比瓷杯多 【变式训练】（24-25六年级上·福建三明·期中）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 （1）         （2）        （3） （4）        （5）        （6） 高频考点讲练9：分数的乘、除法的混合运算 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆江北·期末）下面各题，怎样算简便就怎样算。                                     【变式训练】（24-25六年级上·福建三明·期末）“江南忆”是19届杭州亚运会吉祥物，分别取名“琮琮”“莲莲”“宸宸”。丁丁收集了54组“江南忆”图片，是笑笑收集组数的，奇奇收集“江南忆”图片的组数是笑笑的，奇奇收集了多少组“江南忆”图片？ 高频考点讲练10：分数的四则混合运算 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·单元测试）看图列式计算。 【变式训练】（25-26六年级上·全国·课前预习）一条裤子的价钱是90元，比一件上衣便宜，一件上衣多少元？ 高频考点讲练11：分数除法相关的简便计算 【典例精讲】（23-24六年级上·新疆昌吉·期末）下面各题怎样简便就怎样算。                      ×99＋99×                  ÷[（＋）×2] 【变式训练】（24-25六年级上·重庆潼南·期末）怎样简便就怎样算。                                                                               高频考点讲练12：解分数方程 【典例精讲】（23-24六年级下·天津河东·期末）姐妹二人做幸运星，姐姐做的颗数是妹妹的，姐妹两人一共做了72颗幸运星，姐姐做了多少颗幸运星？（用方程解决问题） 【变式训练】（24-25六年级上·重庆九龙坡·期末）解方程。            高频考点讲练12：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆·期末）有两个一样长的长方形按图1放置，现在将这两个长方形（上面长方形被4等分，下面长方形被3等分）同时向左右方向平移至图2，测得图2的全长是84厘米，原来一个长方形长多少厘米？ 【变式训练】（24-25六年级上·山西晋中·期末）春节快到了、笑笑一家去采购年货，他们买了糖果、饮料和巧克力。买糖果用了120元，买饮料用的钱是糖果的，是买巧克力所用钱的。笑笑一家买糖果、饮料和巧克力共花了多少线？ 高频考点讲练13：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】（24-25六年级上·北京通州·期末）2023年北京市在校小学生约有120万人，比2013年北京市在校小学生人数增加了近，2013年北京市在校小学生大约有多少万人？ 【变式训练】（22-23六年级上·重庆梁平·期末）小丽陪妈妈去逛街，在一家服装店看上了一件衣服，售货员说：“我们这儿的服装都是增加成本的一半作标价，看你喜欢这件衣服，我按标价的卖给你，你只付180元，我才赚到你10元钱。”如果你是小丽，你觉得售货员是不是只赚了10元钱？计算后回答。 高频考点讲练14：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例精讲】（23-24六年级下·重庆酉阳·期末）《弟子规》是依据孔子教诲编成的学童生活规范，形式为“三字一句”，核心思想是“儒家的孝悌仁爱”。学校举行“传经典·学国学”活动，小玲第一周背诵了总句数的，第二周背诵了余下的，还剩下192句没背，《弟子规》全文共有多少句？多少个字？ 【变式训练】（24-25六年级上·重庆·期末）编程社团的学生来自四、五、六年级，已知四年级参加的人数最多，有12人，编程社团共有多少人？这个问题还需要确定一个信息才能解决，四个选项中，（    ）不符合要求。 A．四年级人数占编程社团总人数的 B．五、六年级参加总人数是四年级人数的 C．五年级人数是编程社团总人数的 D．五、六年级参加总人数是编程社团总人数的 高频考点讲练15：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例精讲】（23-24六年级下·湖南娄底·期末）筑路队修一条路，第一天修了全长的还多140米，第二天修了余下的还剩600米，这条公路全长多少米？ 【变式训练】（21-22六年级上·湖北武汉·期末）风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【演练1】（2023·贵州黔西·小升初真题）能简算的要简算。 5.3－3.6＋4.7－6.4                 72×（）                【演练2】（2024·甘肃兰州·小升初真题）张叔叔开车去某地办事，已知路程是220千米，汽车油箱一共可以装油55升，出发时加满了一箱油，汽油单价是8.63元/升，到达时油箱里的油量剩下。请你解决下面的问题。 （1）这次行程汽油费花了多少钱？ （2）照这样计算，这一箱油可以行驶多少千米？ 【演练3】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） 【演练4】（2024·河南郑州·小升初真题）明明3分钟步行千米，照这样的速度在千米的跑道上走一圈，要用几分钟？下面算式不正确的是（    ）。 A． B． C．×3 D．3÷ 【演练5】（2024·重庆渝北·小升初真题）一项工作，甲、乙、丙二人一起做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙一起做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙一起做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙一起做需几小时完成？ 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级上·湖南怀化·期末）下列能正确表示图中数量关系的方程是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·江西赣州·期末）左图中，数x的倒数（    ）。 A．小于1 B．等于1 C．大于1 D．无法判断 3．（24-25六年级上·广东中山·期末）a＞0，下面算式中结果小于a的是（    ）。 A． B．a÷1 C． D． 4．（22-23六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）判断大小，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )         ( ) 5．（25-26六年级上·全国·随堂练习）写出下面每组数的倒数，看看能发现什么规律。 （1）     （2）      （3）1  6  13 我发现：真分数的倒数（    ）1，假分数的倒数（    ）1。 6．（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）任何不小于1的数，它的倒数都小于1。( )（判断对错） 7．（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个自然数（0除外）与分数相除，商一定大于这个自然数。( )（判断对错） 8．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）直接写出得数。 ＝        ＝           ＝         ＝ ＝        ＝          ＝      ＝ 9．（24-25六年级上·全国·单元测试）计算。 （1） （2） 10．（24-25六年级上·全国·单元测试）一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的，第二天它吃了余下桃子的，第三天它吃了余下桃子的，第四天它吃了余下桃子的，第五天它吃了余下桃子的，第六天它吃了余下桃子的，这时还剩下12只桃子，那么前三天猴子所吃桃子的总数是多少只？ 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2024六年级上·新疆乌鲁木齐·专题练习）乙数是48，甲数的与乙数的相等，甲数是（    ）。 A．72 B．32 C．12 12．（2024·内蒙古巴彦淖尔·小升初真题）下面四幅图中的a和b表示不同的数，则图（    ）中的a和b互为倒数。 A．三角形的面积为1 B．线段总长度为1 C．长方形的面积为1 D．长方体的体积为1 13．（25-26六年级上·全国·课前预习）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( ) ( ) ( ) 14．（2024·湖北十堰·小升初真题）小明看一本书，第一天看了全书，第二天看了剩下，第三天看了60页，刚好把书看完这本书共有 页。 15．（24-25六年级上·重庆忠县·期末）如果a×＝b÷＝c×，并且a，b，c都不为零，那么这三个数中a最大。( )（判断对错） 16．（24-25六年级上·山西长治·期末）如果a和b互为倒数，那么的结果是。( )（判断对错） 17．（2024六年级上·新疆乌鲁木齐·专题练习）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）÷7＋×               （2）÷（＋）÷ （3）÷7×（×）           （4）－（＋） 18．（24-25六年级上·全国·单元测试）一项工程，甲、乙两队合作需要12天完成，乙、丙两队合作需要15天完成，甲、丙两队合作需要20天完成。 （1）甲、乙、丙三队合作需要多少天完成？ （2）乙队单独完成需要多少天？ 19．（24-25六年级上·全国·单元测试）泥人面塑是以泥巴陶土为主料的一门传统民间艺术，有一批泥人面塑订单，张师傅单独做需要8天，比李师傅单独做多用天。现两人合作4天后，剩下的24个泥人面塑由张师傅单独去做，自始至终张师傅共做了多少个？ 20．（24-25六年级上·全国·单元测试）搬运一个仓库的货物，单独做，甲需20小时，乙需24小时，丙需30小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物，丙帮助甲、乙各搬运几小时？ $$2025-2026学年数学六年级上学期举一反三培优精讲练（人教版） 姓名： 班级： 学号： 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第三单元 分数除法 知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题 (解析版) 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 目 录 资料简介 内容梳理 3 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：倒数的认识 3 知识点梳理02：分数除法的意义和计算法则 3 知识点梳理03：分数混合运算 4 知识点梳理04：解决问题 4 知识点梳理05：易错点提示 5 重点难点 考点讲练 6 高频考点讲练1：倒数的认识 6 高频考点讲练2：与倒数有关的综合计算 7 高频考点讲练3：自然数与倒数的和或差的问题 8 高频考点讲练4：分数的平均分 8 高频考点讲练5：分数与整数的除法 10 高频考点讲练6：分数与分数的除法 11 高频考点讲练7：被除数与商的大小关系（分数除法） 12 高频考点讲练8：分数的连除运算 13 高频考点讲练9：分数的乘、除法的混合运算 16 高频考点讲练10：分数的四则混合运算 18 高频考点讲练11：分数除法相关的简便计算 19 高频考点讲练12：解分数方程 22 高频考点讲练12：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 24 高频考点讲练13：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 25 高频考点讲练14：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 26 高频考点讲练15：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 28 升学真题 实战演练 30 优选题型 培优强化 35 基础夯实 能力提升 35 创新拓展 拔尖冲刺 40 同学你好，该份讲义用于人教版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：倒数的认识 1.意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 （1）例如：因为 ，所以 和 互为倒数。 2.求一个数的倒数的方法： （1）分数： 交换分子和分母的位置。（若为带分数，先化成假分数再交换）例： 的倒数是 ；，其倒数是 。 （2）整数（0除外）： 看作分母是1的分数，再交换分子和分母的位置（即整数的倒数是几分之一）。例：5 的倒数是 ；1 的倒数是 1。 （3）小数： 先化成分数，再求倒数。例：0.25 = ，其倒数是 4。 3.特殊情况： （1）1的倒数是它本身（1）。 （2）0没有倒数。（因为0乘任何数都得0，不可能等于1） 知识点梳理02：分数除法的意义和计算法则 1.分数除法的意义： （1）与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （2）例如： 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是2，求另一个因数是多少。 （3） 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，求另一个因数是多少。 2.分数除以整数的计算法则： （1）分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 3.一个数除以分数的计算法则： （1）一个数（可以是整数、分数）除以一个不为0的分数，等于乘这个分数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 4.分数除法的统一计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 知识点梳理03：分数混合运算 1.运算顺序： （1）与整数混合运算的顺序相同。 （2）同级运算（只有乘除或只有加减）：从左往右依次计算。 （3）不同级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减。 （4）有括号的：先算括号里面的，再算括号外面的。 2.简便运算：整数乘法的运算定律（交换律、结合律、分配律）对于分数乘法同样适用。在分数混合运算中，能运用运算定律进行简便计算的要简便计算。 （1）例： (交换律) （2）例： (分配律) 知识点梳理04：解决问题 1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 (已知部分量，求单位“1”的量) （1）关键： 找准单位“1”的量（未知），找出已知量对应的分率。 （2）数量关系式： 单位“1”的量 × 分率 = 分率对应的量 (已知量) （3）解题方法： ①方程法：设单位“1”的量为 x。 ，解方程。 ②算术法：已知量 ÷ 对应的分率 = 单位“1”的量。 2.已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。 (已知比单位“1”多/少部分的量，求单位“1”的量) （1）关键： 找准单位“1”的量（未知），理解“多（或少）几分之几”的含义，确定已知量对应的分率是 (1 + 几分之几) 或 (1 - 几分之几)。 （2）数量关系式： 单位“1”的量 × (1 ± 分率) = 已知量 （3）解题方法： ①方程法：设单位“1”的量为 x。 ，解方程。 ②算术法：已知量 ÷ (1 ± 分率) = 单位“1”的量。 3.已知两个数的和（或差）及这两个数的倍数关系（几分之几），求这两个数。 （1）关键： 设其中一个数（通常设单位“1”的量）为 x，根据倍数关系用含 x 的式子表示另一个数，再根据和或差列方程。 4.工程问题（分数除法的应用之一）： （1）特点： 工作总量未知，通常用“1”表示工作总量。 （2）工作效率： 单位时间内完成的工作量，即工作总量 ÷ 工作时间。通常表示为“几分之一”（如：甲单独做需5天完成，则甲的工作效率是 ）。 （3）数量关系式： 工作总量 ÷ 工作效率之和 = 合作工作时间。 知识点梳理05：易错点提示 1.分数除法计算错误： （1）忘记将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）。 （2）记错倒数（尤其是小数的倒数）。 （3）约分不彻底或错误约分。 2.解决问题时： （1）找不准单位“1”： 特别是在“比一个数多（或少）几分之几”的题目中。 （2）分不清用乘法还是除法： 单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法（或方程）。 （3）对应分率找错： 已知量与分率不对应。 （4）用方程解决问题时，等量关系列错或解方程出错。 4.分数混合运算顺序错误： 特别是在有括号和多种运算符号时。 5.简便运算的滥用或不用： 该用简便方法的不用，或者不满足运算定律条件时强行使用。 高频考点讲练1：倒数的认识 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）已知两个连续奇数的倒数之差是，则这两个连续奇数分别是（    ）和（    ）。 【我思考】两个连续奇数一定是（    ），这两个奇数与它们倒数差的（    ）有关，可以把它们倒数差的（    ）分解质因数。 【我验证】143＝（    ）×（    ），＝（    ）。 【我发现】已知两个连续奇数的倒数的和或差是，求这两个数，就是把（    ）分解质因数。（a≠0） 【答案】11；13；互质数；分母；分母；11；13；11；13；；a 【思路引导】因为两个连续奇数一定是互质数，所以它们的倒数差的分母是这两个连续奇数的积，所以把143分解质因数可得到这两个连续奇数。据此解答。 【规范解答】分解质因数143＝11×13 已知两个连续奇数的倒数之差是，则这两个连续奇数分别是11和13。 【我思考】两个连续奇数一定是互质数，这两个奇数与它们倒数差的分母有关，可以把它们倒数差的分母分解质因数。 【我验证】143＝11×13，＝。 【我发现】已知两个连续奇数的倒数的和或差是，求这两个数，就是把a分解质因数。（a≠0） 【变式训练】（24-25六年级上·重庆江北·期末）有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝( )；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝( )。 【答案】 2025 2020 【思路引导】a的倒数是它本身，那么a是1，b没有倒数，b是0，代入数据计算；若a、b互为倒数，那么ab＝1，据此计算解答。 【规范解答】2025－5ab＝2025－5×1×0＝2025－0＝2025 2025－5ab＝2025－5×1＝2025－5＝2020 有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝2025；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝2020。 高频考点讲练2：与倒数有关的综合计算 【典例精讲】（24-25六年级上·青海果洛·期末）2.5和( )互为倒数。如果数a和数b互为倒数，那么×b＝( )。 【答案】 /0.4 /0.2 【思路引导】乘积是1的两个数互为倒数。 小数求倒数时，先把小数化成最简真分数或假分数，再按分数求倒数的方法求解；据此求出2.5和谁互为倒数。 已知数a和数b互为倒数，根据倒数的意义可知ab＝1，把ab＝1代入×b中计算出得数即可。 【规范解答】2.5＝，和互为倒数，所以2.5和互为倒数。 如果数a和数b互为倒数，则ab＝1，那么×b＝＝。 填空如下： 2.5和（）互为倒数。如果数a和数b互为倒数，那么×b＝（）。 【变式训练】（24-25六年级上·山东济南·期中）如果a和b互为倒数，那么÷结果是( )；如果a＝0.125，那么b＝( )。 【答案】 8 【思路引导】（1）乘积为1的两个数互为倒数，据此可知ab＝1，再根据分数除法的计算方法化简÷并把ab＝1代入即可求值； （2）把a＝0.125代入ab＝1中，用除法求出b的值。 【规范解答】÷＝×＝， 因为ab＝1，所以＝； 1÷0.125＝8。 如果a和b互为倒数，那么的结果是；如果a＝0.125，那么b＝8。 高频考点讲练3：自然数与倒数的和或差的问题 【典例精讲】（23-24六年级上·全国·课后作业）两个自然数的倒数之和是，这两个自然数可能是( )和( )；也可能是( )和( )。 【答案】 12 2 3 4 【思路引导】非0的自然数的倒数是分子为1的分数，根据7＝1＋6＝3＋4＝2＋5，把拆解为两个分数的和，找出符合条件的即可解答。 【规范解答】＝＝＋＝＋或 ＝＝＋＝＋或 ＝＋（不符合题意，的倒数不是自然数） 所以这两个自然数可能是12和2，也可能是3和4。 【变式训练】（21-22六年级下·湖南永州·期中）一个数与它的倒数的差是，这个数是( )。 【答案】13 【思路引导】乘积是1的两个数互为倒数。求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。 已知一个数与它的倒数的差是，可以分解成13－，13的倒数正好是，据此解答。 【规范解答】＝13－ 13的倒数是； 所以，这个数是13。 【考点剖析】本题考查倒数的求法，把带分数分解成13－的形式是解题的关键。 高频考点讲练4：分数的平均分 （24-25六年级上·重庆黔江·期末）÷3怎样算的呢？仔细观察图，结合情境想一想，再填空。 情境：把长为米的彩带平均分成3段，每段长为多少米？ （1）方法一：把6个平均分成（    ）份，每份是（    ）个，就是（    ）。 即：（米） （2）方法二：把平均分成3份，求每份是多少，也就是求的是多少。 即：（米） 【答案】（1）3；2；； 6；3； （2） ； 【思路引导】（1）方法一：根据分数单位的意义可知，表示6个。画图时，先画6个长方形，表示6个，再平均3份，每份就是2个。列式计算时，分母不变，分子6除以3即可。 （2）方法二：把平均分成3份，求每份是多少，也就是求的是多少。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可得解。 【规范解答】（1）方法一：把6个平均分成（3）份，每份是（2）个，就是（）。 即：（米） （2）方法二：把平均分成3份，求每份是多少，也就是求的是多少。 即：（米） 【变式训练】（24-25六年级上·北京通州·期末）公顷阔叶林每天约释放氧气吨，那么1公顷阔叶林每天可以释放氧气约( )吨。 【答案】/0.7 【思路引导】根据把一个数平均分，求每份是多少，用除法计算，用释放的氧气量除以公顷数即可。 【规范解答】（吨） 公顷阔叶林每天约释放氧气吨，那么1公顷阔叶林每天可以释放氧气约吨。 高频考点讲练5：分数与整数的除法 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）小明的妈妈买来一篮鸡蛋，第一天吃了第二天吃了余下的，第三、四天都吃了第二天余下的，第五天吃了余下的，还剩下3个鸡蛋。妈妈共买了多少个鸡蛋？ 【答案】28个 【思路引导】把第五天的鸡蛋个数看成单位“1”，那么第五天剩下，再把第三、四天的鸡蛋个数看成单位“1”，求出第三、四天剩下的鸡蛋是总鸡蛋的（）×，再把第二天的鸡蛋个数看成单位“1”，求出第二天剩下的鸡蛋是总鸡蛋的（）×（）×，把第一天的鸡蛋个数看成单位“1”，可求出第一天剩下的鸡蛋是总鸡蛋的（）×（）×（）×，正好是3个，再根据除法的意义解答即可。 【规范解答】 （个） 答：妈妈共买了28个鸡蛋。 【变式训练】（24-25六年级上·全国·单元测试）一本故事书，小华从第一页开始看起，第一天看了总页数的多3页，第二天看了余下的少4页，还剩122页没有看。这本故事书一共有多少页？ 【答案】240页 【思路引导】本题可进行倒推，从题意可知，第二天看了余下的少4页，说明剩下没有看的比余下的多4页，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用除法求出第一天看后余下的页数，同理第一天看了后余下的比总页数的少3页，用除法可求出这本故事书的总页数。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝177（页） ＝ ＝ ＝240（页） 答：这本故事书一共有240页。 高频考点讲练6：分数与分数的除法 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·课后作业）乐乐在计算一个数除以时，看成了乘，结果得到的答案是。这道题的正确答案是多少？ 【答案】被除数：    正确答案： 【思路引导】根据 “看错的乘法运算” 求出原来的被除数，再用被除数进行正确的除法运算。 【规范解答】设原来的被除数为a，则看错的运算为。 根据 “因数 = 积÷另一个因数”，可得被除数为： 则正确答案： 【变式训练】（25-26六年级上·全国·课后作业）计算下列各题，能简算的要简算。          【答案】；；4 【思路引导】分数混合运算法则：先算括号内，括号内按小→中→大的顺序计算；后算括号外，括号外先算乘除后算加减，同级运算从左到右依次计算。注意第二题涉及到乘法分配律的逆运用：。 【规范解答】（1） （2） （3） 高频考点讲练7：被除数与商的大小关系（分数除法） 【典例精讲】（23-24六年级下·河北邢台·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 15×( )15        13÷( )13      ÷( )×4 【答案】 ＜ ＞ ＝ 【思路引导】根据积的变化规律，一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于这个数本身； 根据商的变化规律，一个数（0除外）除以一个小于1的数（0除外），商大于这个数本身； 根据分数除法的运算法则，除以一个分数等于乘这个分数的倒数。 【规范解答】＜1，所以15×＜15； ＜1，所以13÷＞13； 的倒数是4，将÷转化为×4，所以÷＝×4。 【变式训练】（24-25六年级上·山西晋中·期末）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )        ( ) 【答案】 ＞ ＞ ＜ 【思路引导】第一小题：一个非0数，乘大于1的数，积大于这个数；一个非0数，乘小于1的数，积小于这个数；据此解答。 第二小题：一个非0数，除以大于1的数，商小于被除数；一个非0数，除以小于1的数，商大于被除数；据此解答。 第三小题：先计算出算式两边的结果，再进行比较，据此解答。 【规范解答】×和 因为＞1，所以×＞ ÷和 因为＜1，所以÷＞ ×（36＋）和×36＋ ×（36＋） ＝×36＋× ＝16＋1 ＝17 ×36＋ ＝16＋ ＝ 因为17＜，所以×（36＋）＜×36＋ 高频考点讲练8：分数的连除运算 【典例精讲】（24-25六年级上·河南郑州·期末）“China“这个英文单词，据说其来源与“瓷器”有关。我国瓷器源起商代，东汉立形，经南北朝发展，唐有“南青北白”及唐三彩，宋以五大名窑领衔鼎盛，元有景德镇的青花瓷、釉里红独树一帜，明清制瓷登峰造极，外销海外，辉煌灿烂。如今，瓷器已经进入了寻常百姓家，成为人们日常生活里常见的物品。景德镇一个民窑一年生产瓷碗90万件，是瓷杯产量的，______。这个民窑一年生产多少万件瓷盘？横线上补充下面信息（    ），用算式解答。 A．瓷杯的产量是瓷盘产量的 B．瓷盘的产量是瓷杯产量的 C．瓷杯比瓷盘每年的产量多 D．瓷盘的产量比瓷杯多 【答案】A 【思路引导】把瓷杯产量看作单位“1”，瓷碗的产量是瓷杯的产量的，求单位“1”，用瓷碗的产量÷解答；根据算式可知，瓷盘的产量看作单位“1”，瓷杯的产量是瓷盘产量的，求单位“1”，用瓷杯的产量÷，即可求出瓷盘的产量，即90÷÷；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，景德镇一个民窑一年生产瓷碗90万件，是瓷杯产量的，______。这个民窑一年生产多少万件瓷盘？横线上补充下面信息瓷杯的产量是瓷盘产量的，用算式90÷÷解答。 故答案为：A 【变式训练】（24-25六年级上·福建三明·期中）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 （1）        （2）        （3） （4）        （5）        （6） 【答案】（1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6） 【思路引导】（1）÷×，按照运算顺序，进行计算； （2）÷÷，按照运算顺序，进行计算； （3）×2.4＋2.4×，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：（＋）×2.4，再进行计算； （4）3－÷－，把除法换算成乘法，原式化为：3－×－，再计算乘法，原式化为：3－－，再根据减法性质，原式化为：3－（＋），再进行计算； （5）（＋）÷，把除法换算成乘法，原式化为：（＋）×，再根据乘法分配律，原式化为：×＋×，再进行计算； （6）÷[4×（－）]，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的乘法，最后计算括号外的除法。 【规范解答】（1）÷× ＝×× ＝× ＝ （2）÷÷ ＝×× ＝× ＝ （3）×2.4＋2.4× ＝（＋）×2.4 ＝2×2.4 ＝4.8 （4）3－÷－ ＝3－×－ ＝3－－ ＝3－（＋） ＝3－2 ＝1 （5）（＋）÷ ＝（＋）× ＝×＋× ＝＋ ＝1 （6）÷[4×（－）] ＝÷[4×（－）] ＝÷[4×] ＝÷ ＝× ＝ 高频考点讲练9：分数的乘、除法的混合运算 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆江北·期末）下面各题，怎样算简便就怎样算。                                     【答案】；；55 ；； 【思路引导】（1）先把除法转化成乘法，再运用乘法交换律a×b＝b×a把变成，再按顺序计算； （2）按从左往右的顺序计算； （3）先把除法转化成乘法，再运用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c计算把变成，再按顺序计算； （4）先把除法转化成乘法，再运用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序计算； （5）先计算括号里面的加法、减法，再算括号外面的除法。 （6）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的乘法。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝34－6＋27 ＝55 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式训练】（24-25六年级上·福建三明·期末）“江南忆”是19届杭州亚运会吉祥物，分别取名“琮琮”“莲莲”“宸宸”。丁丁收集了54组“江南忆”图片，是笑笑收集组数的，奇奇收集“江南忆”图片的组数是笑笑的，奇奇收集了多少组“江南忆”图片？ 【答案】49组 【思路引导】已知丁丁收集了54组“江南忆”图片，是笑笑收集组数的，把笑笑收集图片的组数看作单位“1”，单位“1”未知，用丁丁收集的组数除以，求出笑笑收集的组数； 已知奇奇收集“江南忆”图片的组数是笑笑的，把笑笑收集图片的组数看作单位“1”，单位“1”已知，用笑笑收集的组数乘，求出奇奇收集的组数。 【规范解答】54÷× ＝54×× ＝63× ＝49（组） 答：奇奇收集了49组“江南忆”图片。 高频考点讲练10：分数的四则混合运算 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·单元测试）看图列式计算。 【答案】（棵） 【思路引导】观察可知，把桃树的数量看作单位“1”，已知梨树数量是桃树的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用梨树数量除以其对应的分率，计算即可。 【规范解答】 （棵） 【变式训练】（25-26六年级上·全国·课前预习）一条裤子的价钱是90元，比一件上衣便宜，一件上衣多少元？ 【答案】120元 【思路引导】把上衣的价钱看作单位“1”，一条裤子的价钱相当于一件上衣的（1－），已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，所以，用一条裤子的价钱除以（1－），即可求出一件上衣的价钱。 【规范解答】90÷（1－） ＝90÷ ＝90× ＝120（元） 答：一件上衣120元。 高频考点讲练11：分数除法相关的简便计算 【典例精讲】（23-24六年级上·新疆昌吉·期末）下面各题怎样简便就怎样算。                      ×99＋99×                  ÷[（＋）×2] 【答案】；0； 99； 【思路引导】（1）将除法写成乘法形式，再根据乘法分配律a×b－a×c＝a×（b－c）将提出来，再计算； （2）先计算除法，再根据减法的形式a－b－c＝a－（b＋c）计算； （3）根据乘法分配律将99提出来，再计算； （4）先计算小括号内的加法，再计算中括号内的乘法，最后计算括号外的除法。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0 ×99＋99× ＝99×（＋） ＝99×1 ＝99 ÷[（＋）×2] ＝÷[（＋）×2] ＝÷[×2] ＝÷ ＝× ＝ 【变式训练】（24-25六年级上·重庆潼南·期末）怎样简便就怎样算。                                                                               【答案】；2 13；1 13；10 【思路引导】第一个：根据运算顺序，先算括号里的除法，再算括号里的减法，最后算括号外的乘法； 第二个：根据运算顺序，先算除法，再根据减法的性质变为：3－（＋），即可简便运算； 第三个：根据乘法分配律的逆运算，原式变为：×（48－1）即可简便运算； 第四个：先算小括号里的加法；再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法； 第五个：除以一个数相当于乘它的倒数，把除法转换成乘法，最后运用乘法分配律变为：，即可简便运算； 第六个：根据分数化小数的方法，用分子除以分母，据此把分数化成小数，即原式变为：0.125×54＋27×0.125－0.125，再根据乘法分配律的逆运算变为：0.125×（54＋27－1），即可简便运算。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 3－－ ＝3－－ ＝3－－ ＝3－（＋） ＝3－1 ＝2 ×48－ ＝×（48－1） ＝×47 ＝13 ÷[（）×] ＝÷[（）×] ＝÷[×] ＝÷ ＝× ＝1 ＝ ＝ ＝30＋10－27 ＝13 ×54＋27×0.125－1÷8 ＝0.125×54＋27×0.125－0.125 ＝0.125×（54＋27－1） ＝0.125×80 ＝10 高频考点讲练12：解分数方程 【典例精讲】（23-24六年级下·天津河东·期末）姐妹二人做幸运星，姐姐做的颗数是妹妹的，姐妹两人一共做了72颗幸运星，姐姐做了多少颗幸运星？（用方程解决问题） 【答案】45颗 【思路引导】解：设妹妹做了x颗幸运星，姐姐做的颗数是妹妹的，则姐姐做了x颗幸运星；姐妹两人一共做了72颗幸运星，列方程：x＋x＝72，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设妹妹做了x颗幸运星，则姐姐做了x颗幸运星。 x＋x＝72 x＝72 x＝72÷ x＝72× x＝27 姐姐：27×＝45（颗） 答：姐姐做了45颗幸运星。 【变式训练】（24-25六年级上·重庆九龙坡·期末）解方程。            【答案】；； 【思路引导】第一个：根据等式的性质1，等式两边同时加上8，再根据等式的性质2，等式两边同时除以3即可求解； 第二个：根据等式的性质2，等式两边同时除以5，再根据等式的性质1，等式两边同时加上0.4即可求解； 第三个：先化简等号左边的式子，即原式变为：，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可求解。 【规范解答】 解： 解： 解： 高频考点讲练12：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆·期末）有两个一样长的长方形按图1放置，现在将这两个长方形（上面长方形被4等分，下面长方形被3等分）同时向左右方向平移至图2，测得图2的全长是84厘米，原来一个长方形长多少厘米？ 【答案】48厘米 【思路引导】将一个长方形看作单位“1”，根据图2可知，一个长方形加上一个长方形的正好是84厘米。所以，84厘米是一个长方形的（1＋）。单位“1”未知，用84厘米除以（1＋），求出一个长方形的长。 【规范解答】84÷（1＋） ＝84÷ ＝84× ＝48（厘米） 答：原来一个长方形长48厘米。 【变式训练】（24-25六年级上·山西晋中·期末）春节快到了、笑笑一家去采购年货，他们买了糖果、饮料和巧克力。买糖果用了120元，买饮料用的钱是糖果的，是买巧克力所用钱的。笑笑一家买糖果、饮料和巧克力共花了多少线？ 【答案】310元 【思路引导】将买糖果的钱数看作单位“1”，买糖果的钱数×买饮料的对应分率＝买饮料的钱数；将买巧克力的钱数看作单位“1”，买饮料的钱数÷对应分率＝买巧克力的钱数，将买糖果、饮料和巧克力的钱数相加即可。 【规范解答】120×＝90（元） 90÷＝90×＝100（元） 120＋90＋100＝310（元） 答：笑笑一家买糖果、饮料和巧克力共花了310元线。 高频考点讲练13：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】（24-25六年级上·北京通州·期末）2023年北京市在校小学生约有120万人，比2013年北京市在校小学生人数增加了近，2013年北京市在校小学生大约有多少万人？ 【答案】80万人 【思路引导】由题意可知，把2013年北京市在校小学生人数看作单位“1”，2023年北京市在校小学生人数是2013年的，根据已知比一个数多几分之几是多少，求这个数用已知数量除以其对应的分率即可。 【规范解答】 （万人） 答：2013年北京市在校小学生大约有80万人。 【变式训练】（22-23六年级上·重庆梁平·期末）小丽陪妈妈去逛街，在一家服装店看上了一件衣服，售货员说：“我们这儿的服装都是增加成本的一半作标价，看你喜欢这件衣服，我按标价的卖给你，你只付180元，我才赚到你10元钱。”如果你是小丽，你觉得售货员是不是只赚了10元钱？计算后回答。 【答案】不是；赚了30元 【思路引导】将标价看作单位“1”，付的钱数÷对应分率＝标价；再将成本价看作单位“1”，标价是成本价的（1＋），标价÷对应分率＝成本价，付的钱数－成本价＝赚的钱数，与售货员说的对照即可。 【规范解答】180÷ ＝180× ＝225（元） 225÷（1＋） ＝225÷ ＝225× ＝150（元） 180－150＝30（元） 答：不是只赚了10元钱，而是赚了30元钱。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义。 高频考点讲练14：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例精讲】（23-24六年级下·重庆酉阳·期末）《弟子规》是依据孔子教诲编成的学童生活规范，形式为“三字一句”，核心思想是“儒家的孝悌仁爱”。学校举行“传经典·学国学”活动，小玲第一周背诵了总句数的，第二周背诵了余下的，还剩下192句没背，《弟子规》全文共有多少句？多少个字？ 【答案】360句；1080个 【思路引导】把《弟子规》全文的总句数看作单位“1”，第一周背诵了总句数的，则剩余；第二周背诵了余下的，则第二周背诵了总句数的；用单位“1”分别减去第一周和第二周背诵的，计算出还剩下总句数的几分之几没有背诵；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算；最后根据“三字一句”，用总句数乘3，所得结果即为一共有多少个字。 【规范解答】 总句数： （句） 总字数：360×3＝1080（个） 答：《弟子规》全文共有360句，1080个字。 【变式训练】（24-25六年级上·重庆·期末）编程社团的学生来自四、五、六年级，已知四年级参加的人数最多，有12人，编程社团共有多少人？这个问题还需要确定一个信息才能解决，四个选项中，（    ）不符合要求。 A．四年级人数占编程社团总人数的 B．五、六年级参加总人数是四年级人数的 C．五年级人数是编程社团总人数的 D．五、六年级参加总人数是编程社团总人数的 【答案】C 【思路引导】A．四年级人数占编程社团总人数的，是把编程社团总人数看作单位“1”，单位“1”未知，用四年级人数除以，即可求出编程社团总人数； B．五、六年级参加总人数是四年级人数的，是把四年级人数看作单位“1”，单位“1”已知，用四年级人数乘，求出五、六年级参加总人数，再加上四年级人数，即是编程社团总人数； C．五年级人数是编程社团总人数的，是把编程社团总人数看作单位“1”，单位“1”未知，用五年级人数除以，求出编程社团总人数，但本题没有给出五年级人数，所以补充这个信息无法求出编程社团总人数； D．五、六年级参加总人数是编程社团总人数的，是把编程社团总人数看作单位“1”，则四年级人数是编程社团总人数的（1－），单位“1”未知，用四年级人数除以（1－），即可求出编程社团总人数。 【规范解答】A．12÷ ＝12× ＝16（人） 四年级人数占编程社团总人数的，则编程社团共有16人，符合要求。 B．12＋12× ＝12＋4 ＝16（人） 五、六年级参加总人数是四年级人数的，则编程社团共有16人，符合要求。 C．五年级人数是编程社团总人数的，因为不知道五年级的人数，所以编程社团总人数无法确定，不符合要求； D．12÷（1－） ＝12÷ ＝12× ＝16（人） 五、六年级参加总人数是编程社团总人数的，则编程社团共有16人，符合要求。 故答案为：C 高频考点讲练15：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例精讲】（23-24六年级下·湖南娄底·期末）筑路队修一条路，第一天修了全长的还多140米，第二天修了余下的还剩600米，这条公路全长多少米？ 【答案】1248米 【思路引导】先将第一天修完余下的看作单位“1”，第二天修了余下的，还剩（1－），第二天剩下的÷对应分率＝第一天修完余下的；再将全长看作单位“1”，第一天修了全长的还多140米，第一天修完余下的加上140米，刚好是全长的（1－），根据部分数量÷对应分率＝整体数量，即可求出全长。 【规范解答】[600÷（1－）＋140]÷（1－） ＝[600÷＋140]÷ ＝[600×＋140] × ＝（900＋140）× ＝1040× ＝1248（米） 答：这条公路全长1248米。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，确定对应量和对应分率。 【变式训练】（21-22六年级上·湖北武汉·期末）风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【答案】45份 【思路引导】先把一、二等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么箱子里还剩下15份奖品占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出一、二等奖发完后剩下奖品的份数； 再把一等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么一、二等奖发完后剩下奖品的份数占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出一等奖发完后剩下奖品的份数； 最后把箱子里原来有奖品的总数看作单位“1”，那么一等奖发完后剩下奖品的份数占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出箱子里原来有奖品的总数。 【规范解答】一、二等奖发完后剩下： （份） 一等奖发完后剩下： （份） 原来的奖品总数： （份） 答：箱子里原来有45份奖品。 【考点剖析】本题考查复杂的分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算；注意三个单位“1”的不同，采用倒推法解答。 【演练1】（2023·贵州黔西·小升初真题）能简算的要简算。 5.3－3.6＋4.7－6.4                 72×（）                【答案】0；1 26；6 【思路引导】5.3－3.6＋4.7－6.4，交换中间减法和加法的位置，将加法进行结合，根据减法的性质，将两个减数加起来再计算； ，将除法改写成乘法，根据乘法交换律和乘法结合律，转化成，同时算出两边小括号里的乘法，再算括号外的乘法； 72×（），根据乘法分配律，72分别与小括号里的数相乘，再相减； ，将分数化成小数，逆用乘法分配律，先算（7.35＋2.65），再与0.6相乘。 【规范解答】5.3－3.6＋4.7－6.4 ＝5.3＋4.7－3.6－6.4 ＝（5.3＋4.7）－（3.6＋6.4） ＝10－10 ＝0 ＝ ＝ ＝1×1 ＝1 72×（） ＝72×－72× ＝66－40 ＝26 ＝ ＝（7.35＋2.65）×0.6 ＝10×0.6 ＝6 【演练2】（2024·甘肃兰州·小升初真题）张叔叔开车去某地办事，已知路程是220千米，汽车油箱一共可以装油55升，出发时加满了一箱油，汽油单价是8.63元/升，到达时油箱里的油量剩下。请你解决下面的问题。 （1）这次行程汽油费花了多少钱？ （2）照这样计算，这一箱油可以行驶多少千米？ 【答案】（1）189.86元 （2）550千米 【思路引导】（1）油箱一共55升，剩下，那用掉的油就是总油量的1－＝，求一个数的几分之几是多少用乘法计算；算出用油量后，再乘汽油单价8.63元/升，就能得到汽油费。 （2）已知路程是220千米，到达时油箱里的油量剩下，先计算出行驶220千米用掉油的占比1－＝，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用220除以这个占比，就能得到一箱油可行驶的千米数。 【规范解答】（1）55×（1－）×8.63 ＝55××8.63 ＝22×8.63 ＝189.86（元） 答：这次行程汽油费花了189.86元。 （2）220÷（1－） ＝220÷ ＝220× ＝550（千米） 答：这一箱油可以行驶550千米。 【演练3】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） 【答案】（1）； （2）； （3）2014 【思路引导】（1）先根据带分数化假分数的方法把化成，再根据逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把写成，再进一步计算即可； （2）先根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成（×30＋×30－×30）÷（＋），再根据运算顺序计算即可； （3）根据逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c及加法结合律a＋b＋c＝a＋（b＋c）把算式写成：20.14×[59＋（＋40）]，再进一步计算即可。 【规范解答】（1）2012÷ ＝2012÷ ＝2012÷ ＝2012÷ ＝2012× ＝ （2）（＋－）×30÷（＋） ＝（×30＋×30－×30）÷（＋） ＝（25＋6－9）÷ ＝22× ＝ （3）20.14×59＋20.14×＋×20.14 ＝20.14×[59＋（＋）] ＝20.14×[59＋41] ＝20.14×100 ＝2014 【演练4】（2024·河南郑州·小升初真题）明明3分钟步行千米，照这样的速度在千米的跑道上走一圈，要用几分钟？下面算式不正确的是（    ）。 A． B． C．×3 D．3÷ 【答案】A 【思路引导】已知明明3分钟步行千米，要判断在千米的跑道上走一圈所需时间的算式是否正确，需要根据路程、速度、时间之间的关系（速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度 ），逐一分析选项。 【规范解答】A．÷3算出的是速度（千米/分钟 ），再乘，得到的是速度与千米相乘的结果，并非时间，所以该算式错误； B．先由÷3求出速度（千米/分钟 ），再根据 “时间＝路程÷速度”，用÷（÷3）算时间，所以该算式正确； C．÷表示千米里有几个千米，有几个就对应几个3分钟，再乘3计算出时间，所以该算式正确； D．3÷算出走1千米需要的时间（分钟 ），再乘，得到走千米所需的时间，所以该算式正确。 故答案为：A 【演练5】（2024·重庆渝北·小升初真题）一项工作，甲、乙、丙二人一起做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙一起做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙一起做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙一起做需几小时完成？ 【答案】6小时 【思路引导】把三人合作1小时完成的工作量（工作效率）看作。对于“甲做4小时，乙、丙做2小时，完成”，可拆成“三人先合作2小时（完成×2＝），甲再单独做2小时（完成－”；对于“甲、乙做2小时，丙做4小时，完成”，可拆成“三人先合作2小时（完成），丙再单独做2小时（完成－）”。用对应完成的工作量减去三人合作2小时的工作量，得到甲、丙单独做2小时的工作量，再除以2求出甲、丙工作效率，最后，把工作总量看作单位 “1” ，用工作总量“1”除以甲丙效率和，得到合作时间。 【规范解答】甲：（－×2）÷（4－2） ＝（－）÷2 ＝（－）÷2 ＝÷2 ＝ 丙：（－×2）÷（4－2） ＝（－）÷2 ＝（－）÷2 ＝÷2 ＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝6（小时） 答：这项工作如果由甲、丙一起做需6小时完成。 【考点剖析】关键是对复杂工作过程进行合理拆分，转化为 “三人合作 ＋ 单人单独做”的形式，利用已知条件求出单人工作效率，再结合公式求出合作时间，核心是工程问题公式与工作量拆分思想的应用。 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级上·湖南怀化·期末）下列能正确表示图中数量关系的方程是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】从图中可知，狮子奔跑的最高时速是60km/h，比猎豹慢，把猎豹奔跑的最高时速看作单位“1”，则狮子奔跑的最高时速是猎豹的，据此得出数量关系：猎豹奔跑的最高时速×＝狮子奔跑的最高时速，据此列出方程。 【规范解答】 解： 猎豹奔跑的最高时速是km/h。 能正确表示图中数量关系的方程是。 故答案为：A 2．（24-25六年级上·江西赣州·期末）左图中，数x的倒数（    ）。 A．小于1 B．等于1 C．大于1 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；根据图可知，x是大于0小于1的数，x的乘它的倒数结果是1，那么1除以x即可求出它的倒数，根据商和被除数的关系，当除数小于1，商大于被除数，据此即可选择。 【规范解答】由分析可知： 数x的倒数大于1。 故答案为：C 3．（24-25六年级上·广东中山·期末）a＞0，下面算式中结果小于a的是（    ）。 A． B．a÷1 C． D． 【答案】A 【思路引导】A．根据乘数和积的大小关系可知，一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数； B．根据被除数和商的大小关系可知，一个数（0除外）除以1，商等于这个数； C．根据乘数和积的大小关系可知，一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数； D．根据被除数和商的大小关系可知，一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数。 【规范解答】A．＜1，＜a； B．a÷1＝a； C．＞1，＞a； D．＜1，＞a； 所以，a＞0，下面算式中结果小于a的是。 故答案为：A 4．（22-23六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）判断大小，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )         ( ) 【答案】 ＞ ＞ 【思路引导】一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小。 【规范解答】＞1，所以＞       ＞1，所以＞ 5．（25-26六年级上·全国·随堂练习）写出下面每组数的倒数，看看能发现什么规律。 （1）     （2）      （3）1  6  13 我发现：真分数的倒数（    ）1，假分数的倒数（    ）1。 【答案】（1），，；（2），，；（3）1，， 大于；小于或等于 【思路引导】乘积是1的两个数互为倒数。求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。 求整数(0除外)的倒数时，先把整数看作分母是1的假分数再交换分子、分母的位置。 【规范解答】（1） 都是真分数，求它们的倒数，就是分子、分母交换位置。所以的倒数是，的倒数是，的倒数是。 它们的倒数都是分子大于分母，也就是假分数，都大于1。 （2）都是假分数，求它们的倒数，就是分子、分母交换位置。所以的倒数是，的倒数是，的倒数是。 它们的倒数都是分子小于分母，也就是真分数，都小于1。   （3）1的倒数还是1，因为1×1=1。6是整数，可以看成，倒数就是；13看成，倒数是。 我发现：真分数的倒数（大于 ）1，假分数的倒数（小于或等于）1。 6．（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）任何不小于1的数，它的倒数都小于1。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数，1×1＝1，所以1的倒数是1，此时倒数等于1，并不小于1，因此原说法错误。 【规范解答】对于大于1的数，例如2的倒数是，确实小于1，但“不小于1”的数中包括1；当这个数是1时，它的倒数是1，此时倒数等于1，并不小于1；所以该说法错误。 故答案为：× 7．（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个自然数（0除外）与分数相除，商一定大于这个自然数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】分数分为真分数（分子小于分母，值小于1 ）和假分数（分子大于或等于分母，值大于或等于1 ）。当自然数（0除外）除以真分数时，例如，自然数取2，真分数取，那么2÷＝2×2＝4，因为4＞2，此时商大于这个自然数，这是由于真分数小于1，一个数（0除外）除以小于1的数，商比原数大；当自然数（0除外）除以等于1的假分数时，例如自然数3除以，3÷＝3÷1＝3 ，此时商等于这个自然数，这是因为一个数（0除外）除以等于1的数，商等于原数；当假分数大于1时，例如自然数4÷，4÷＝4×＝3，3＜4，此时商小于这个自然数，这是由于一个数（0除外）除以大于1的数，商小于原数。 【规范解答】一个自然数（0除外）与分数相除，商可能小于、等于或大于这个自然数，所以“一个自然数（0除外）与分数相除，商一定大于这个自然数”这一说法错误。 故答案为：× 8．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）直接写出得数。 ＝        ＝           ＝         ＝ ＝        ＝          ＝      ＝ 【答案】；；；2 ；；； 9．（24-25六年级上·全国·单元测试）计算。 （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【思路引导】（1）根据运算顺序，先计算括号里的加法，再根据乘法交换律和结合律，把式子转化为计算，最后再根据乘法分配律，把式子转化为计算即可。 （2）先计算23.5÷和7.5÷0.375的商，再根据减法的性质，把式子转化为38－，接下来把分数化成小数，最后根据运算顺序进行计算即可。 【规范解答】（1） （2）38－[23.5÷－（6.3－）＋7.5÷0.375]× ＝38－[23.5×－（6.3－）＋20]× ＝38－（23.5×－（6.3－）＋20）× ＝38－ ＝38－ ＝38－ ＝38－ ＝38－ ＝38－ ＝38－ ＝ 10．（24-25六年级上·全国·单元测试）一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的，第二天它吃了余下桃子的，第三天它吃了余下桃子的，第四天它吃了余下桃子的，第五天它吃了余下桃子的，第六天它吃了余下桃子的，这时还剩下12只桃子，那么前三天猴子所吃桃子的总数是多少只？ 【答案】36只 【思路引导】最后剩下的12只桃子是第六天吃剩的（1－），于是可以求出第六天时有多少只桃子，这个数又是第五天吃剩的（1－），于是又可以求出第五天时有多少只桃子……，倒着想，可以求出这只猴子摘的桃子共有的只数。 【规范解答】桃子的总数： 12÷（1－）÷（1－）÷（1－）÷（1－）÷（1－）÷（1－） ＝12÷ ＝ ＝12×7 ＝84（只） 第一天吃：84×＝12（只） 第二天吃：（84－12）×＝72×＝12（只） 第三天吃：（84－12－12）×＝60×＝12（只） 三天共吃：12＋12＋12＝36（只） 答：前三天猴子所吃桃子的总数是36只。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2024六年级上·新疆乌鲁木齐·专题练习）乙数是48，甲数的与乙数的相等，甲数是（    ）。 A．72 B．32 C．12 【答案】A 【思路引导】用48乘，求出甲数的是多少，再用甲数的除以，即可求出甲数是多少。 【规范解答】48×÷ =12÷ =12×6 =72 甲数是72。 故答案为：A 12．（2024·内蒙古巴彦淖尔·小升初真题）下面四幅图中的a和b表示不同的数，则图（    ）中的a和b互为倒数。 A．三角形的面积为1 B．线段总长度为1 C．长方形的面积为1 D．长方体的体积为1 【答案】C 【思路引导】乘积是1的两个数互为倒数。据此再结合三角形面积＝底×高÷2、长方形面积＝长×宽、长方体体积＝长×宽×高，分析解题。 【规范解答】A．a×b÷2＝1，则a和b不互为倒数； B．a＋b＝1，则a和b不互为倒数； C．a×b＝1，那么a和b互为倒数； D．b×a×a＝1，则a和b不互为倒数。 故答案为：C 13．（25-26六年级上·全国·课前预习）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( ) ( ) ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＝ 【思路引导】（1）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （2）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； （3）除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，将两个算式算出结果，再进行大小比较。 【规范解答】（1），则，，所以； （2），所以； （3）。 14．（2024·湖北十堰·小升初真题）小明看一本书，第一天看了全书，第二天看了剩下，第三天看了60页，刚好把书看完这本书共有 页。 【答案】270 【思路引导】将这本书看成单位“1”，第一天看了全书，剩下全书的；第二天看了剩下，也就是的，即第二天看了全书的，剩下了全书的，也就是看了60页，已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法。除以一个分数等于乘这个分数的倒数。 【规范解答】 60÷＝60×＝270（页） 则这本书共有270页。 15．（24-25六年级上·重庆忠县·期末）如果a×＝b÷＝c×，并且a，b，c都不为零，那么这三个数中a最大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】分析题目，先根据除以一个数等于乘这个数的倒数，把给出的算式全部转化成乘法算式，再比较每个算式中的分数大小，最后根据乘法算式积相等时，一个乘数越大，另一个乘数越小判断即可。 【规范解答】b÷＝b× 因为＝，＝，＞＞，所以＞＞； 因为最小，所以a，b，c这三位数中最大的是c。 如果a×＝b÷＝c×，并且a，b，c都不为零，那么这三个数中c最大。 故答案为：× 16．（24-25六年级上·山西长治·期末）如果a和b互为倒数，那么的结果是。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】乘积是1的两个数互为倒数。除以一个分数，就等于乘这个数的倒数。据此解题。 【规范解答】如果a和b互为倒数，那么a×b＝1。 ＝＝ 故答案为：√ 17．（2024六年级上·新疆乌鲁木齐·专题练习）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）÷7＋×               （2）÷（＋）÷ （3）÷7×（×）           （4）－（＋） 【答案】（1）；（2） （3）；（4） 【思路引导】（1）根据除以一个数等于乘它的倒数，把式子转化为×＋×，再根据乘法分配律，把式子转化为（＋）×进行简算； （2）根据运算顺序，8和4的最小公倍数是8，先通分计算括号里的加法，再将除法转为乘法××，先约分后计算； （3）根据运算顺序，先计算括号里面的乘法，同时将除以7转化为乘它的倒数，得到××，先约分后计算； （4）根据运算顺序，20、5和8的最小公倍数是40，先通分计算括号里面的加法，再计算括号外面的减法。 【规范解答】（1）÷7＋× ＝×＋× ＝（＋）× ＝× ＝ （2）÷（＋）÷ ＝÷（＋）÷ ＝÷÷ ＝×× ＝× ＝ （3）÷7×（×） ＝×× ＝× ＝ （4）－（＋） ＝－（＋） ＝－ ＝ 18．（24-25六年级上·全国·单元测试）一项工程，甲、乙两队合作需要12天完成，乙、丙两队合作需要15天完成，甲、丙两队合作需要20天完成。 （1）甲、乙、丙三队合作需要多少天完成？ （2）乙队单独完成需要多少天？ 【答案】（1）10天；（2）20天 【思路引导】（1）要求出甲、乙、丙三队合作需要多少天完成，就要先求出甲、乙、丙三队的工作效率之和；若把这项工程的工作量看作“1”，则甲、乙两队的工作效率之和是 ，乙、丙两队的工作效率之和是，甲、丙两队的工作效率之和是 ；因此就是甲、乙、丙三队的工作效率之和的2倍，由此可以求出三队的工作效率和，然后用工作总量÷工作效率和＝合作的天数； （2）把工作总量看作单位“1”，工作总量÷（三队的工作效率和－甲丙的工作效率和）＝乙单独完成的天数，据此列式解答。 【规范解答】（1）（）÷2 ＝ ＝÷2 ＝ ＝ 1÷＝＝10（天） 答：甲、乙、丙三队合作需要10天。 （2）1÷（） ＝1÷（） ＝1÷ ＝ ＝20（天） 答：乙队单独完成需要20天。 19．（24-25六年级上·全国·单元测试）泥人面塑是以泥巴陶土为主料的一门传统民间艺术，有一批泥人面塑订单，张师傅单独做需要8天，比李师傅单独做多用天。现两人合作4天后，剩下的24个泥人面塑由张师傅单独去做，自始至终张师傅共做了多少个？ 【答案】408个 【思路引导】把工作总量看作单位“1”，首先根据求出张师傅和李师傅的工作效率，再用他们的工作效率和乘4得到合作的工作量对应的分率，用1减这个分率可得24对应的分率，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可得工作总量，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可得张师傅1天的工作效率再乘4再加24即可得解。 【规范解答】张师傅的工作效率： 李师傅单独做需要用的天数：（天） 李师傅的工作效率： 两人的工作效率和： 两人合作4天的工作量： 剩下的工作量： 需要做的泥人面塑总数量：（个） 张师傅1天制作的数量：（个） 张师傅4天制作的数量：96×4＝384（个） 张师傅一共制作的数量：384＋24＝408（个） 答：自始至终张师傅共做了408个。 20．（24-25六年级上·全国·单元测试）搬运一个仓库的货物，单独做，甲需20小时，乙需24小时，丙需30小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物，丙帮助甲、乙各搬运几小时？ 【答案】丙帮助甲搬运了6小时；帮乙搬运10小时 【思路引导】根据题意，把一个仓库的货物看作单位“1”，先计算三人的工作效率，从整体上来看，整个工作的工作量为2，由甲乙丙三人共同完成，结合工作时间＝工作总量÷工作效率，则三人搬运的时间＝2÷（）＝16（小时），对于A仓库，甲搬了16小时，搬的量为，则剩余的是丙帮忙搬运的，则丙帮助甲搬运的时间＝（1－甲的工作效率×16）÷丙的工作效率，同理，丙帮助乙搬运的时间＝（1－乙的工作效率×16）÷丙的工作效率，分别代入数值计算即可。 【规范解答】1÷20＝ 1÷24＝ 1÷30＝ 2÷（） ＝2÷（） ＝2÷ ＝2×8 ＝16（小时） 丙帮助甲搬运的时间：（1－×16）÷ ＝（1－）×30 ＝×30 ＝6（小时） 丙帮助乙搬运的时间：（1－×16）÷ ＝（1－）×30 ＝×30 ＝10（小时） 答：丙帮助甲搬运了6小时，帮乙搬运10小时。 【考点剖析】本题工作过程比较复杂，因此按人物分类，从整体入手，计算出整个工作时间，是解决此题的关键。一般我们解决工程问题有两条途径，一个按过程分类，一个按任务分类，当过程较复杂时，选择按人物分类会让题目变得简单。 $$