25.1.2 正投影-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

该初中数学教案聚焦“正投影”核心知识，通过复习平行投影与中心投影导入，结合三角尺投影实例区分投影类型，引导学生观察投影线与投影面位置关系，自然引出正投影概念，搭建新旧知识联系的学习支架。 教案以“观察-归纳-应用”为主线，通过线段、平面图形、几何体的正投影规律探究，培养学生空间观念与推理能力（数学思维）。例题和训练题结合生活情境（水杯、正方体投影），体现应用意识（数学语言），规律口诀（如“平行长不变”）助力理解，板书突出重点，提升教学效率，帮助学生形成从数学角度观察现实世界的习惯。

25.1 投影 第2课时 正投影 课题 25.1.2正投影 课型 新授课 教学内容 教材第75-78页的内容 教学目标 1.学生应掌握正投影的基本概念和性质，能够理解正投影的原理及应用. 2.通过观察、操作等活动，学生能够发现和总结正投影的性质，发展其空间观念和推理能力. 3.学生应积极参与课堂活动，主动与他人合作交流，体验数学与生活的联系，提高其对数学学习的兴趣. 教学重难点 教学重点：正投影的概念及性质. 教学难点：应用正投影解决实际问题. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 教师活动：引领学生们一起复习上节学习的两种投影，即平行投影与中心投影，为下面学正投影及其性质做铺垫. 2.类比探究，学习新知 【思考】 问题：下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影？哪个是中心投影？图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别？ 图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面.(即投影线正对着投影面) 【归纳】 正投影： 投射线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. 正投影属于平行投影. 追问：在正投影下，图形的投影有什么规律呢？ 【观察】 如图，用一束平行光线垂直于水平桌面，照射一支铅笔（看作线段AB），改变铅笔的位置，观察它在桌面（看作投影面H）上投影的形状与大小，你能发现线段正投影的规律吗？ （1）平行于投影面. （2）倾斜于投影面.（3）垂直于投影面. 通过观察，我们可以发现： （1）当线段AB平行于投影面H时，它的正投影是线段A'B'，线段与它的投影的大小关系为AB = A'B'； （2）当线段AB倾斜于投影面H时，它的正投影是线段A'B'，线段与它的投影的大小关系为AB > A'B'; （3）当线段AB垂直于投影面H时，它的正投影是一个点A'（B'）. 小结：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点. 【观察】 如图，把一块矩形纸板（矩形ABCD）放在正午的阳光下，变换纸板的位置，观察它在水平地面（看作投影面H）上投影的形状与大小，你能根据线段正投影的规律，发现矩形ABCD正投影的规律吗？ （1） 正方形. （2）平行四边形. （3）一条线段. 通过观察，我们可以发现： （1）当纸板P平行于投影面H时，P的正投影与P的 形状、大小一样 ； （2）当纸板P倾斜于投影面H时，P的正投影与P的 形状、大小发生变化 ； （3）当纸板P垂直于投影面H时，P的正投影成为 一条线段 ． 小结：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段. 【观察】 如下图，你能根据平面图形正投影的规律，说出长方体ABCD-A1B1C1D1在投影面H上的正投影是什么图形吗？ 由于长方体的两个底面都平行于投影面H，因而它们在投影面H上的正投影都是矩形A'B'C'D'. 由于长方体的四个侧面都垂直于投影面H，因而它们在投影面H上的正投影分别是线段A'B'，B'C'，C'D'，D'A'. 由此可知，长方体在投影面H上的正投影就是矩形A'B'C'D'. 小结：一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形. 一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图. 【归纳】 几何图形的正投影规律： （1） 线段的正投影：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点. （2）平面图形的正投影：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段. （3）几何体的正投影：一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形. 3.学以致用，应用新知 【典型例题】 例1 长方形的正投影不可能是（ ） A．正方形 B．长方形 C．线段 D．梯形 答案：A. 例2 把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ） A． B． C． D． 答案：A. 4.随堂训练，巩固新知 1.底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是( ) A.圆 B.三角形 C.矩形 D.正方形 答案：B. 2.一条线段在投影面上的正投影是一个点，则这条线段与投影面的位置关系是 . 答案：垂直. 3.如图，水杯的杯口与投影面平行，投射线的方向如箭头所示，它的正投影是( ) 答案：D. 4.某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是( ) ①矩形；②线段；③平行四边形；④圆；⑤长方体. A.①②③ B.①②③④ C.①②③④⑤ D.①⑤ 答案：B. 5.一张矩形的纸板(不考虑厚度，不折叠)，其正投影可能是( ) ①矩形；②平行四边形；③线段；④三角形；⑤任意四边形；⑥点. A.①②③④ B.①②③④⑤⑥ C.①②③⑤ D.①②③ 答案：D. 6. 如图，把正方体的一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，纸面与太阳光线垂直，则正方体在纸上投影的大致形状是( ) 答案：C. 7. 如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是 （用“＝、＞或＜”连起来）. 答案： ∵立体图形是长方体， ∴底面ABCD∥底面EFGH. ∵矩形EFGH的投影是矩形ABCD， ∴S1＝S. ∵EM＞EF，EH＝EH， ∴S＜S2， ∴S1＝S＜S2. 故答案为S1＝S＜S2． 5.课堂小结，自我完善 以板书的形式呈现本节课的主要内容： 6.布置作业 教科书第78页练习第1，2题. 复习平行投影和中心投影相关知识，为下面引进正投影做铺垫. 理解概念间的相互关系. 通过追问进一步明确在正投影下，不同几何图形的正投影呈现什么规律. 通过观察、交流等过程，培养学生探究问题的能力，动手能力和观察能力. 梳理本节课的重点内容，加深对正投影规律的理解. 通过对例题的讲解，及时巩固所学知识，提高学生分析问题、解决问题的能力. 进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 加深认识，深化提高. 板书设计 课题：25.1.2正投影 1．正投影 2．正投影的规律 （1）线段的正投影 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点． （2）平面图形的正投影 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段． （3）几何体的正投影 一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形． 3． 视图 一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 本节课研究正投影，让学生体会影子与生活的息息相关，激发学生学习的动机和兴趣．教学过程中要鼓励学生积极参与，认识到数学与人类的密切联系及对人类历史发展的作用，为日后的学习打下基础. 教后反思，累积经验. 学科网（北京）股份有限公司 $$