21.1 二次函数-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(沪科版)安徽专版

21.1 二次函数 第1课时 二次函数 课题 二次函数 课型 新授课 教学内容 教材第2-4页的内容 教学目标 1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系. 2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式. 3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 4.通过观察、操作、交流、归纳等数学活动，加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学生学好数学的愿望与信心. 教学重难点 教学重点：二次函数的概念和一般形式. 教学难点：在实际问题中确定函数表达式和确定自变量的取值范围. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x，y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应.这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系.对于上述变量x,y，我们把y叫x的函数，其中x叫自变量，y叫因变量. 追问：目前我们已经学习了哪几种类型的函数？ 一次函数y=kx+b(k≠0)，包括正比例函数y=kx(k≠0). 【情境引入】 展示一组实际生活中的例子：喷泉、投篮、彩虹桥(还可以引导学生自己想一想生活中类似的例子，并说一说). 这些美丽的弧线会与某种函数有联系吗？这节课我们就一起探究！ 2.类比探究，学习新知 【思考】 问题① 如图，某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？ 提示：要解决这个问题，首先要考虑“水面面积”与“矩形水面的长”有什么关系？ 预设：水面面积 = 一条边长×另一条边长 解：设矩形水面的一条边长为x m. 则矩形水面的另一条边长为(20 – x) m. 再根据前边得到的等量关系“水面面积 = 一条边长×另一条边长”得到“S=x(20–x)”. 再对这个函数关系式变形，得到S= –x2+20x. 提问：你能描述一下S与x之间的关系吗？ 预设：此式表示了边长x与围成水面的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数. 问题② 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个，问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？ 根据题目给的信息，能得到什么等量关系呢？ 预设：玩具总数=总人数×每人每天装配玩具数. 再根据等量关系，以及题目中的已知量，把未知量表示出来. 解：设增加x人，则这时装配工总人数为(15+x)，每人每天可少装配玩具数为10x，则每人每天装配玩具数为(190–10x)，玩具总数用y表示，可以得到， y=(15+x)(190–10x). 再对这个函数关系式变形，得到y= –10x2+40x +2 850. 提问：你能描述一下y与x之间的关系吗？ 预设：此式表示了增加的人数x与每天装配玩具总数y之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 观察下边两个函数关系式，它们有什么特点呢？ S = –x2+20x，y = –10x2+40x +2 850. 预设：函数表达式都是自变量的二次式等. 问题：你能给这类特殊的函数下个定义吗？ 定义：一般地，表达式形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量. 注意：(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；(2)等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；(3) a，b，c是常数，且a≠0. 在问题①中，得到的关系式“S = –x2+20x”中，自变量x的取值有什么限制呢？ 这里的x表示的是矩形的一个边长，得到x＞0. 由“长40 m的围网”，得到矩形水面的周长是40 m，则矩形的长、宽之和为20 m，所以x＜20. 所以x的取值范围是：0＜x＜20. 总结：二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. 【做一做】 下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？ (1)y=3x²–2 ( ) (2)m=–n²–3 ( ) (3)y=x(1–2x)+2x² ( ) (4)y= x(+3x) ( ) (5)y=+x²–2 ( ) (6)y=x²(1+x²) ( ) 根据二次函数的定义进行判断即可. (1)√；(2)√；(3)×；(4)√；(5)×；(6)×. 3.学以致用，应用新知 【例1】下列关系式中，x为自变量，哪些是二次函数？ y=3x²-1，y=5x²-2x，y=-2x²+x-1，y=4-x³，，. 答案：y=3x²-1，y=5x²-2x，y=-2x²+x-1均为二次函数. 【例2】写出下列函数关系式： （1） 从已知半径为R的圆板上挖掉一个半径为r（r＜R）的同心圆板，求所剩圆环面积S关于r的函数关系式； 答案：S=π（R²-r²） （2） 长方体的长与宽相等，均为x，高为8.求长方体表面积S关于x的函数关系式； 答案：S=2x²+32x （3） 正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y，求y关于x的函数关系式； 答案：y=(x+5)²-25=x²+10x 【例3】m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？ 解：若函数是以x为自变量的二次函数，则．解得，且．因此，当，且时，函数是以x为自变量的二次函数． 【变式】关于x的函数是二次函数，求m的值. 分析满足的条件：①等号右边的整式要含有二次项；②二次项系数不等于0. 解：根据题意，得m2–m=2，m+1≠0. 解得，m=2. 所以m=2时，函数是二次函数. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列函数表达式中，一定为二次函数的是( ) A.y=3x－1 B.y=ax2＋bx＋c C.s=2t2－2t＋1 D.y=x2＋ 答案：C （2）已知函数y=(m2+m)x2+mx+4为关于x的二次函数,则m的取值范围是( ) A.m≠0 B.m≠-1 C.m≠0且m≠-1 D.m=-1 答案：C （3）国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分比为x,该药品的原价为36元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系式为(　　) A.y=72(1-x)　　 B.y=36(1-x) C.y=36(1-x2)　　 D.y=36(1-x)2 答案：D （4）对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是( ) A.当b=0时，二次函数是y=ax2+c B.当c=0时，二次函数是y=ax2+bx C.当a=0时，一次函数是y=bx+c D.以上说法都不对 答案：D （5）某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足下表中的函数关系． x/(元/件) 35 40 45 50 55 y/件 550 500 450 400 350 (1)求y与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)设公司试销该产品每天获得的毛利润为S(元)，求S与x之间的函数表达式(毛利润＝销售总价－成本总价)． 解：(1)设y与x之间的函数关系满足y＝kx＋b. 把x＝40，y＝500；x＝50，y＝400分别代入上式得解得∴y＝－10x＋900. ∵表中其他对应值都满足y＝－10x＋900， ∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为 y＝-10x＋900(30≤x≤80)． (2)S＝(x-30)·y＝(x-30)·(-10x+900)＝-10x2+1 200x-27 000， 即S与x之间的函数表达式为S＝-10x2+1 200x-27 000(30≤x≤80)． 5.课堂小结，自我完善 （1）二次函数的定义： 二次函数的一般形式为：y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0). （2）自变量的取值范围： 二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. 6.布置作业 课本P4习题第1，2，3，4题。 回顾旧知，为本节新知识的学习做铺垫. 让学生体会引入二次函数概念的现实背景，感受其实际意义，激发学生学习的动力. 通过实际问题的探究，使学生在学习过程中和实际应用中逐步认识二次函数. 理解二次函数的概念，提高学生总结概括能力. 在认识二次函数概念的基础上，进一步学习自变量取值范围的确定. 通过练习巩固对二次函数的认识和理解. 通过典型例题的分析和讲解，进一步认识和理解二次函数. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 加深认识，深化提高. 板书设计 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 本节课通过引导学生观察图象和思考问题，激发了学生的学习兴趣.通过例题练习和拓展应用，观固了学生对二次函数的理解和运用能力.同时，通过归纳总结和作业布置，使学生能够进一步环固所学知识.整个教学过程生动有趣，学生参与度高，达到了预期的教学目标. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$