24.6.1 正多边形与圆-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦正多边形与圆的关系及相关概念，通过回顾七年级正五角星画法导入，以等分圆周为核心支架，衔接正多边形概念、内接外切作法与尺规作图知识，构建新旧知识脉络。 其亮点在于结合数学眼光中的几何直观，通过量角器画正十边形、尺规作正八边形等操作培养空间观念，借助内接外切正五边形证明发展推理意识（数学思维），以例题练习的规范步骤强化数学语言表达。助力学生提升探究能力，为教师提供清晰教学示范。

第24章 圆 24.6 正多边形与圆 24.6.1 正多边形与圆 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解正多边形与圆的关系； 2.了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念. 正多边形与圆的关系及正多边形的判定. 正多边形的概念相关的计算. 回顾复习 我们在七年级曾介绍过画正五角星，你还记得是怎么画的吗？ (1)任意画一个圆； (2)以圆心为顶点，利用量角器接连画出五个72°(360°÷5)角，这些角的边分别与圆周交于五个点； (3)用线段连接相间的点； (4)适当修饰后，即得五角星. A B C D E O 你知道这样画的道理吗？ 新知引入 知识点1 正多边形的概念 什么样的多边形叫做正多边形呢？ 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形. 外切正n边形 内接正n边形 等弦 等弧 等分圆周 知识点2 圆内接正多边形的作法 新知引入 等分圆周的方法： 1、用量角器等分圆周 2、用尺规等分圆周 A B C D E O 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， 五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. P T Q R S 你能证明这个结论吗？ 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且有 ，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的⊙O的切线. 于是有： A B C D E O P T Q R S 同理得 ∵ 顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形. 证明：由 ，得 1 2 3 4 5 各边相等 各角相等 证明：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形. 证明：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. P T Q R S 证明：连接OA，OB，OC，则 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的⊙O的切线. ∴ ∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴ ∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. 又 ， ∴ AB=BC. A B C D E O ∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. ∴ △PAB≌△QBC. ∴ ∠P=∠Q，PQ=2PA. 同理得 ∠Q=∠R=∠S=∠T， QR=RS=ST=TP=2PA. P T Q R S A B C D E O 各边相等 各角相等 证明：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. 由上可知，通过等分圆周的方法能作出正n边形. 由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在同一个圆中，先用量角器作一个等于 的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的 ，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形. 正五角星就是这样作出的 用量角器等分圆周 用量角器等分圆周 如何在圆中作正四边形？ 如图，用直尺和圆规作⊙O 的两条互相垂直的直径(先任意画一条直径，再利用圆规作出直径的垂直平分线)，就可以把⊙O分成4等份，顺次连接各分点即可作出正四边形. 用尺规等分圆周 在正四边形的基础上，我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等. 用尺规等分圆周 例题示范 分析 E F C D A B 如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接正六边形. 正六边形的各边所对的圆心角是多少？ O 2 cm . 60° 2 cm △OEF为等边三角形 正六边形的边长等于半径 (1) 任意画一条半径； (2) 用量角器画一个60°的圆心角，得到它所对的弧； (3) 用圆规在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的六等份点； (4) 顺次连接各分点得到正六边形. 用量角器等分圆周 作法： 【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接正六边形. 由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为2 cm的圆上依次截取等于2 cm的弦，就可以得到圆的六等份点，顺次连接各分点即可得到圆的内接正六边形. 用尺规等分圆周 【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接正六边形. 随堂练习 求下列正多边形每个内角及其外角的度数： (1) 正五边形； (2) 正八边形； (3) 正十二边形. 提示 多边形的内角和=(n–2)180°. 正多边形的每个内角= . 解：(1) 108°，72°； (2) 135°，45°； (3) 150°，30°. 练习1 练习2 如图，用量角器等分圆周的方法，作⊙O的内接正十边形. 解：(1)作半径OA. (2)以点O为顶点，OA为一边作∠AOB=36°，交⊙O于点B. (3)以点B为圆心，AB长为半径作圆弧，交⊙O于点C；以点C为圆心，AB长为半径作圆弧，交⊙O于点D；顺次作圆弧，依次得到分点E，F，G，H，I，J. (4)顺次连接各分点，则多边形ABCDEFGHIJ就是所求作的正十边形，如图. 练习3 如图，用尺规作图的方法，作⊙O的内接正八边形. 解:(1)作直径AC； (2)作AC的垂直平分线BD交⊙O于点B，D； (3)连接AD，作AD的垂直平分线交 于点M； (4)用同样的方法分别作出 ， , 的中点 E，F，G； (5)依次连接各分点. 则多边形 AEBFCGDM 即所求作的⊙O的内接正八边形，如图. 归纳小结 正多边形与圆的关系： 正多边形与圆 等分圆周的方法： 正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形. 用量角器等分圆周； 用尺规等分圆周. 1 2 正多边形的概念： 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$