24.3.2 圆的内接多边形-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第24章 圆 24.3 圆周角 24.3.2 圆的内接多边形 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解圆内接多边形的定义，掌握圆内接四边形的概念和性质； 2.能运用圆内接四边形的性质证明和计算. 理解圆内接多边形的定义，掌握圆内接四边形的概念和性质. 能运用圆内接四边形的性质证明和计算. 回顾复习 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径. A B O C 圆周角 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 新知引入 知识点1 圆的内接多边形 A和C有什么数量关系呢？ 四边形一组对角的数量关系. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形一组对角的数量关系. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形； ⊙O是四边形ABCD的外接圆. A O B D C A O B D C 探究1 圆内接四边形的一组对角有什么关系？ 连接OB，OD. ∵ ， . 又∵∠1∠2360°， ∴∠A∠C 180°， 同理：∠ABC∠ADC180°. 1 2 证明 圆内接四边形的对角互补. A O B D C 知识拓展 BD是⊙O的弦(不是直径)，则它所对的圆周角都相等吗？ A O B D F E 猜想 AE CF 能否证明你的猜想呢？ 同弧所对的圆周角相等. AC 吗？ B D A O C 不一定相等 锐角 钝角 当BD是直径时： C 同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？ ∠A∠E ∠C∠F ∠A∠C180° ∠E∠F180° 同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补. A O B D F E C 探究2 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；∠A与∠DCE有什么关系？ ∠DCE∠DCB180° ∠A ∠DCB180° ∠A∠DCE 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. A O B D C E 知识点2 圆的内接四边形的性质 新知引入 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角. A O B D C E 例题示范 如图，在圆内接四边形ABCD中， (1)若∠B=30°，则∠D=＿ ＿. (2)若∠A∶∠C5∶4，则∠A＿ ＿. 150° A O B C D ·  (1)∠B∠D180° ∠D150° 100° ∠B30° (2)∠A∠C180° ∠A∶∠C5∶4 ∠A180° 100° 例1 新知引入 反过来，所有的四边形都有 外接圆吗？ 延伸 所有的圆都有内接四边形， A B C D 假设四边形ABCD有外接圆⊙O. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形. AC180°， BD180°. 矛盾 四边形ABCD没有外接圆 所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆. 延伸 什么样的四边形才有外接圆呢？ 圆内接四边形的对角互补. 猜想：对角互补的四边形有外接圆. 如何证明？  这与三角形外角定理矛盾， 故C不可能在圆外. ∴C在⊙O上，也即A，B，C，D四点共圆. 延伸 已知：如图，四边形ABCD中，AC180°， BD180°. 求证：四边形ABCD内接于一个圆. (A，B，C，D四点共圆) 反证法 证明：过A，B，D作⊙O ，假设C不在⊙O上， 点C在圆外或圆内， O A B C D C' A B C D 若点C在圆外，设BC交圆O 于C'，连接DC'， 根据圆内接四边形的性质得 ADC'B180° ， ∵AC180°， 类似地可证C不可能在圆内. ∴DC'BC. O 归纳 1.所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆. 2.对角互补的四边形有外接圆.这也是证明四点共圆的一种常用方法. 例题示范 在圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数之比是2  3  6，求这个四边形各角的度数. 解：设A，B，C的度数分别等于2x°，3x°，6x°. ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ACBD180°. ∵2x6x180. ∴x22.5. ∴A45°，B67.5° ，C135°， D180°67.5°112.5°. 例2 随堂练习 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BOD100°，求BAD与BCD的度数. B A C D O 解：∵BOD、 BAD是同弧所对的圆心角、圆周角. ∴BAD BOD 50°. ∵BAD、 BCD是圆内接四边形ABCD的一组对角. ∴BCD180°BAD130°. 练习1 练习2 若四边形ABCD为圆内接四边形，下列可能成立的是( ) A. A∶B∶C∶D  1∶2∶3∶4 B. A∶B∶C∶D  4∶3∶2∶1 C. A∶B∶C∶D  4∶1∶3∶2 D. A∶B∶C∶D  4∶3∶1∶2 A O B C D · D  比较AC 和BD所占的份数是否相等即可. 练习3 已知：四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD//BC，AC与BD相交于点P，APB20°，求四边形各个角的度数. A P B C D · O 解：∵ BC是⊙O的直径，∴BDC90°. ∵AD//BC，∴ ， ∴ADBCAD. 又∵APBADBCAD20°， ∴ADBCAD10°. ∴ADCADBBDC10°90°100°， BCD180°100°80°. 同理可得：DAB100°，ABC80°. A P B C D · O 练习4 证明：圆内接平行四边形是矩形. 已知：▱ABCD是⊙O的内接四边形. 求证：▱ABCD是矩形. 证明：∵▱ABCD是⊙O的内接四边形. ∴AC，AC180°. ∴AC90°. 即：▱ABCD是矩形. A B C D · O 归纳小结 圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角. 圆内接多边形 绿卡图书—走向成功的通行证 $$