24.4 第1课时 弧长和扇形面积-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(人教版)

课题

弧长和扇形面积

课型

新授课

教学内容

教材第111-113页的内容（弧长和扇形面积）

教学目标

1．掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算．

2．通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生分析问题、解决问题的能力．

教学重难点

教学重点：弧长,扇形面积公式的导出及应用。

教学难点：对图形的分析和对公式的运用。

教具学具

多媒体课件、圆形纸片、直尺、圆规、量角器

教  学  过  程

备  注

由实际问题引出课题，可激发学生的学习兴趣。

作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角呢？

 设：圆的半径为，求的圆心角所对的弧长.

   教师引导学生由圆周长入手，推导弧长公式．

教师提出问题后，学生认真思考，由中等学生回答：圆周长为，可看作是360°的圆心角所对的弧长；1°的圆心角所对的弧长为；圆心角为n°的弧长是圆心角为1°的弧长的n倍；∴的圆心角所对的弧长为.

 ∴弧长公式为：

 注：不写度，和180表示的是倍、分关系.

  教师关注学生对公式的理解程度.

【探究2】你还记得圆面积的计算公式吗？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？的圆心角呢？

设：已知⊙O半径为，求的圆

心角所对的扇形面积.

教师引导学生类比弧长公式的推导过程，推导出扇形面积公式：

（1）圆面积S=πR2，可以看作是360°的圆心角所对的扇形面积；（2）圆心角为1°的扇形的面积=．

（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；

∴扇形面积公式为.

教师根据学生已有的知识结构，强调弧、扇形的有关概念。

在教师的引导下，推出弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，更要学会学习新知识的方法。

     类比的推出扇形面积公式，并由学生比较两个公式的联系，使学生在学习知识时，明确知识之间的联系，在解题时，根据题目条件，选择适当的公式。

【师】比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系？经过观察，学生能够看出：

，其中，是扇形的弧长，为半径．

【教材例题】学生观察本节开头提出的问题，根据图1中所给的数据，由弧长公式，就可以得出的长：

 因此所要求的展直长度

2×700+1570=2970

∴所要求的展直长度约为2970mm.

【教材例题2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.012m）

经过分析，学生知道了水面高即弧的中点到弦AB的距离．

   因此想到做辅助线的方法：

连接OA、AB，过O作OC⊥AB于点D，交于点C．

   教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，用实物投影展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价．

3.学以致用，应用新知

考点1  弧长公式及应用

【例1】在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.

解析：根据弧长公式l＝，这里r＝1，n＝120，将

数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识。

教师出示例题后，引导学生分析已知条件，教师要关注学生对题目中的有关概念是否清楚，如水面高指的是什么？

学生在学习新知识的同时要想到学过的知识，在这里就运用了垂径定理．