24.2.1 点和圆的位置关系-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(人教版)

第 二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 学习目标 1.理解并掌握点和圆的三种位置关系. 2.了解三角形的外接圆和三角形的外心的概念. 3.了解反证法. 学习重难点 掌握点和圆的三种位置关系. 三角形的外接圆和三角形的外心的概念. 难点 重点 导入新知 情境引入 这些图片中都有哪种图形？ 你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 知识点1 点和圆的位置关系 ① 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ 思考 · O 点在圆上 点在圆内 点在圆外 4 设⊙O半径为 r , 说出A，B，C到圆心O的距离与半径的关系： 点A在圆内 点B在圆上 点C在圆外 OA < r OB = r OC > r r · C O A B 5 反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？ 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有： d ＜ r d = r d ＞ r 点P在圆内 点P在圆上 点P在圆外 r · A P P 6 设⊙O半径为 r , 点到圆心的距离为d，则 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d > r d = r d< r 点和圆的位置关系 ● ● ● O ● 7 例1 圆心为O 的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP = ，则点P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 D o 8 归纳 1.圆指的是圆周，而不是圆面. 2.确定一个圆要紧扣圆的“两要素”，即圆心和半径，两者缺一不可． 3.“圆上的点”指圆周上的点. 4.圆上各点到圆心的距离都等于半径. 9 知识点2 确定圆的条件 ② 过已知点作圆 条件：过一点A作圆 作法：以点A 以外的任意一点圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 可作无数个圆 10 条件：过两点A，B 作圆 作法：连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 可作无数个圆 11 条件：过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆 作法：连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以O 为圆心，以OA(或OB，OC)为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆 这样作出的圆只有一个 12 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 有且仅有 13 由图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 14 例2 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块如图所示，为配到与 原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 15 例3 如图24.2-3，△ ABC 内接于⊙ O，∠ C=45°，AB=4， 求⊙ O 的半径. 解：如图，连接OA，OB，设⊙ O 的半径为r. ∵∠ C=45°，∴∠ AOB=2 ∠ C=90°. ∴ OA2+OB2=AB2，即r2+r2=42. 解得r1=2 ，r2=－2 (不符合题意，舍去). ∴⊙ O 的半径为2 . 16 1.三角形外接圆的作法 （1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； （2）以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可. 2.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. 归纳 17 知识点3 反证法 ③ 经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ 如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C 可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l1上，又在线段BC 的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l ，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,经过同一条直线上的三点不能作圆． l1 l2 A B C P 18 先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 19 例4 如图，AB，CD 是⊙ O 内非直径的两条弦. 求证：AB 与CD 不能互相平分. 证明：如图，设AB，CD 交于点P，连接OP. 假设AB与CD 互相平分，则CP=DP，AP=BP. ∵ AB，CD 是⊙ O 内非直径的两条弦， ∴ OP ⊥ AB，OP ⊥ CD. 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，∴假设不成立. ∴ AB 与CD 不能互相平分. 20 用反证法证明的步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. （2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾. （3）由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立. 归纳 21 随堂演练 1.⊙O 的半径为10cm，A、B、C 三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C 与⊙O 的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C 在 ． 圆内 圆上 圆外 22 2.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 23 3.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A．点P B．点Q C．点R D．点M M R Q A B C P B 24 4.如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90° 若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径. 解：设Rt△ABC 的外接圆的外心为O， 连接OC，则OA=OB=OC. ∴O是斜边AB 的中点. ∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm. ∴AB=13cm，OA=6.5cm. 故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm. C B A O 25 课堂小结 点和圆的 位置关系 位置关系 点在圆外 点在圆内 确定圆的条件 d＞r 三角形的外接圆 三角形的外心 点在圆上 d=r d＜r 反证法 26 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 27 绿卡图书—走向成功的通行证 28 $$