22.3 第3课时 抛物线形问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(人教版)

第 二十二章 二次函数 22.3实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形问题 学习目标 学习重难点 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 难点 重点 （1）掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． （2）利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． （3）能运用二次函数的图象与性质进行决策． 课时导入 前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，最大利润问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”形问题. 导入新知 知识点1 利用二次函数解决实物抛物线形问题 ① 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m. 水面下降1m时，水面宽度增加多少？ 分析： (1) 建立合适的直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解 析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解。 (2,-2) (-2,-2) x y O 探究 4 解： 以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(-2，-2)代入解析式， 可得-2=a · (-2)2. x y O (2,-2) (-2,-2) 水面 水面下降一米，即此时y=-3. 5 如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？ y O (2,1) (-2,1) 水面 x (0,3) 解： 依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(-2，1)代入解析式， 可得1=a · (-2)2+3. 水面下降一米，即此时y=0. 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. 解决桥拱形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； (3)恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式; (4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解. 注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知点在坐标轴上. 归纳 知识点2 利用二次函数解决运动中抛物线形问题 ② 如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出,把球看成点, 其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析 式y=a(x-6)2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米. (1)当h=2.6时,求y与x的函数解析式. (2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说 明理由. (3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范 围是多少? (1)∵h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出, ∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0, 2), ∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a= - , 故y与x的函数解析式为 y= - (x-6)2+2.6. (2)当x=9时, y=- (x-6)2+2.6=2.45>2.43, 所以球能过球网; 当y=0时, - (x-6)2+2.6=0, 解得: x1=6+2 >18, x2=6-2 (舍去),故会出界. 解： (3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点 (0,2), 代入解析式得 此时二次函数解析式为y=- (x-6)2+ , 此时球若不出边界，则h≥ ； 当球刚能过网,此时函数图象过(9,2.43), 抛物线y=a(x-6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得 此时球要过网，则h≥ , 故若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围是:h≥- . 归纳 解决抛物线形运动问题时,要会根据图的特点,建立恰当的坐标系,由抛物线图象读出最大高度和最远距离(一般以水平面为x轴),然后借助抛物线上一些特殊点的坐标求出函数解析式,并解决问题. 巩固练习 飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时t(单位：s)的函数解析式是 y=60t-1.5t2.在飞机着陆滑行中，最后 4 s滑行的距离是 m. 24 解：当y取得最大值时，飞机停下来， 则y=60t-1.5t2=-1.5(t-20)2+600， 当t=20时，y取得最大值，即飞机着陆后滑行20 s时，滑行距离为600米． 因此 t 的取值范围是0≤t≤20， 当t=16时，y=576， 所以最后 4 s滑行的距离是600-576=24(m)． 12 随堂演练 1.发射一枚炮弹，经过 x 秒后炮弹的高度为 y 米，x，y 满足 y=ax2+bx，其中 a，b 是常数，且 a≠0.若此炮弹在第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时刻是( ) B 解：∵x取6和14时y的值相等， ∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x==10， 即炮弹达到最大高度的时刻是第10 秒． 13 随堂演练 2. 如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s. 4 3.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位： s)之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是(　　) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ D 2题图 3题图 14 Administrator (A) - 4.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？ 随堂演练 解：以水平面为x轴,抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+0.5，∵抛物线过点(1,0), ∴0=a+0.5，解得a=-0.5. ∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5. 令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1. 令x=0.2,y=-0.5×0.22+0.5=0.48, 令x=0.6,y=-0.5×0.62+0.5=0.32. (0.48+0.32)×2×100=160 (m) ∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为160m. 课堂小结 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线形问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择简便的运算方法 实际问题 数学模型 转化的关键 16 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 17 绿卡图书—走向成功的通行证 18 $$