22.3 第2课时商品利润最大问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(人教版)

该初中数学课件聚焦二次函数解决商品利润最大问题，通过具体商品定价案例导入，从销售额、单件利润等基本关系出发，结合涨价、降价两种销售模式探究，搭建从实际问题到二次函数模型的学习支架，衔接二次函数性质的应用。 其亮点是以真实销售情境引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过分析自变量取值范围（如涨价时销量≥0，降价时利润≥0）发展数学思维，归纳“建模型-定范围-求最值”步骤形成数学语言表达。例题与分层练习结合，助力学生提升应用能力，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

第 二十二章 二次函数 22.3实际问题与二次函数 第2课时 商品利润最大问题 学习目标 学习重难点 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围. 难点 重点 （1）能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. （2）弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围. 导入新知 知识点1 利润问题中的数量关系 ① 探究 销售问题中的数量关系： (1)销售额= 售价×销售量； (2)单件利润=售价-进价； (3)利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量. 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 销售模式：降价或涨价都可以哦！ 3 知识点2 如何定价利润最大 ① 探究 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大？ 模式一：涨价销售 ①每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，则每件商品的利润为(20+x)元，每星期卖出(300-10x)件，所得的利润为 y=(20+x)(300-10x), 即y=-10x2+100x+6 000. 4 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，销量不能为负，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6 000， 当 时，y=-10×52+100×5+6 000=6 250. 即定价为65 元时，最大利润是 6 250 元. 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大？ 模式二：降价销售 ①每件降价x元，每星期售出商品的利润 y 元，则每件商品的利润为(20-x)元，每星期卖出(300+20x)件，所得的利润为 y=(20-x)(300+20x), 即y=-20x2+100x+6 000. 探究 ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此售价不能低于成本，故20-x ≥0，且 x ≥0,因此自变量的取值范围是 0 ≤x ≤20. ③涨价多少元时，利润最大，是多少？ y= -20x2+100x+6 000，当 时, 即定价为 57.5 元时，y= - 20×(2.5) 2+100×2.5+6 000=6 125,最大利润是 6 125元. 综合涨价和降价两种情况可知，定价为65 元时，利润最大. 归纳 求解最大利润问题的一般步骤 (1)建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”. (2)结合实际意义，确定自变量的取值范围. (3)在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出. 典型例题 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60 元），每天可售出50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加2 元，每天销售量会减少1 件，设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式； （2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获 利润2 250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w最大，最大值是多少？ 解：（1）y=50- . （2）由题意得 （40 ＋ x）=2 250，解得x1=10，x2=50，因为x+40 ≤ 60，所以x ≤ 20，所以x=10. （3）w= （40+x）= - （x-30）2+2 450，因为 - <0，所以当 x<30 时，w 随x 的增大而增大. 因为0<x ≤ 20，所以x=20 时，w最大值=2 400． 巩固练习 y=(160+10x)(120-6x) 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？ 解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会 减少6x间，则 当x=2时，y有最大值，且y最大=19440. 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入 最高，最大收入为19440. =－60(x－2)2+19440. ∵x≥0，且120－6x＞0， ∴0≤x＜20. 这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元). 10 随堂演练 1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 11 3. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ x y 5 16 O 7 解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75 ∵-1<0,对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元； (2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元. 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式法求最大值或利用函数图象和性质求出. 13 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 14 绿卡图书—走向成功的通行证 15 （50-） （50-） $$