21.3 实际问题与一元二次方程（3)-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(人教版)

第 二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程（3） 学习目标 学习重难点 列一元二次方程解决几何问题 分析题目中的等量关系. 难点 重点 会分析题目中的数量关系并列出一元二次方程解决问题. 导入新知 知识点 几何问题与一元二次方程 ① 探究 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 .如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 3 分析 由题意得，中央的矩形的长宽之比=封面的长宽之比=27∶21=9∶7 设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm. 由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm， 则中央的矩形的长为 cm，宽为 cm. （27-18x） （21-14x） 4 根据题意，可列出方程 解方程得 故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为: 方程的哪个根符合实际意 义？为什么？ 符合实际意义，因为 时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况. 5 思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解:设中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得 解得 故上下边衬的宽度为: 故左右边衬的宽度为: cm cm （舍去） 6 例 在长方形钢片上裁掉一个长方形，制成一个四周宽度相等的长方形框.已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm, 要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的边框宽. 解：设长方形框的边框宽为xcm . 依题意得，(30-2x)(20-2x)=30×20-400 . 整理，得x2-25x+100=0, 解得x1=5, x2=20(舍去) . 所以，这个长方形框的边框宽为5cm . 7 归纳 利用一元二次方程解决几何问题 主要集中在几何图形的面积问题, 找到面积的等量关系是关键. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程. 8 随堂演练 1.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？ B A C P Q 解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm² 根据题意得AP= x cm,PC=(6-x) cm,CQ=2x cm 解得x1= x2=3 点P，Q出发3 s后可使△PCQ的面积为9 cm². 9 随堂演练 2.如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-x)(20-x)=540 整理，得x2-52x+100=0 解得 x1=2,x2=50(舍去) 道路的宽为2米. 10 随堂演练 3. 如图， 用长为22 m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1 m 的两扇小门． 解：设扩充后广场的长为3x m，则宽为2x m. 根据题意，得3x·2x·100+30(3x·2x－50×40)=642 000. 解得x1=30，x2=－30(不合题意，舍去)． 所以3x=90，2x=60. 即扩充后广场的长和宽应分别为90 m 和60 m. 11 随堂演练 4. 小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？ （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由. 12 随堂演练 解：(1)设其中一个小正方形的边长为x cm,则另一个小正 方形的边长为 =(10-x)cm. 依题意x2+(10-x)2=58，解得x1=3,x2=7. 当x=3时，小正方形周长为12cm；当x=7时，小正方形周长为28cm. ∴小林应把长为40cm的铁丝剪为28cm和12cm的两段. (2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100 =2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2. 小峰的说法是对的. 13 课堂小结 与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要涉及三角形、四边形等，解题时经常用到三角形的三边关系、三角形全等、面积、勾股定理等内容. 14 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 15 绿卡图书—走向成功的通行证 16 $$