数学探究-杨辉三角的性质与应用内容解读 -2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

数学探究　杨辉三角的性质与应用

一、知识结构框图

二、学习目标

1．结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养．

2．在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养．

三、重点、难点

重点：杨辉三角性质的发现和证明，利用杨辉三角解决古算题和其他领域的问题．

难点：杨辉三角性质的应用．

四、教科书编写意图及教学建议

杨辉三角是一个很有魅力的数字三角形．它很实用，从低次到高次，从各行之间的相互独立到相邻两行之间关联的发现，从一两条性质到一系列性质的探究，从正整数的开方到组合数、幂和公式的导出，都体现了数学知识的由浅入深、由特殊到一般的过程，也体现了由直观到抽象、由猜想到论证的数学思维过程．它还很美，特别是对称之美，广受喜爱，曾经成为邮票或数学杂志封面的图案．它也很多元化，中国、阿拉伯、欧洲等地的众多数学家都曾经研究和运用它，数十幅带有不同文化元素的数字三角形展现了丰富生动的多元文化．

考虑到杨辉三角在数学、数学思维和数学文化上的魅力，教科书专门将它作为一个主题，

设置了数学探究活动，并安排了3课时，让学生以课题研究的形式，从不同角度探究它．通过自主探究或合作探究，既能够丰富数学知识，建立不同知识之间的联系，还能进一步学会如何进行数学探究，感悟数学价值，提升数学精神、应用意识，从而全面提升数学学科核心素养和人文素养．

（一）杨辉三角的历史探源

杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．因此，教科书就从这里入手，给出了《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，简单介绍了数学家杨辉，以及杨辉三角的由来．同时，这一段关于历史发展的介绍也是数学探究活动的背景，能够让学生在杨辉三角的演变中，了解为什么要研究杨辉三角，杨辉三角在我国的发现时间比欧洲早500年左右等，从而激发学生的民族自豪感和“一探究竟”的兴趣．

在教学中，可以适当补充杨辉三角的演变历史，也可以让学生自己去搜集一些这方面的资料进行阅读，从而为接下来的数学探究活动作好准备，下面提供一些史料，供教学时参考．

图1名为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》（1407）抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产，可惜《永乐大典》被掠至英国，现藏在剑桥大学图书馆内．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．根据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期．

贾宪用这个数字三角形来进行开方，所以称为“开方作法本源”．而在宋元时期，数学家将开方或解数字方程称为“释锁”，故此图出现在《释锁》算书中．后来，朱世杰（1303）、吴敬（1450）、程大位（1592）等古代数学家均引用并发展了开方作法本源图．借助此图，古代数学家们开高次方、解高次方程，创造出了具有中国古代数学独特风格的高次方程的数值解法．

（二）杨辉三角性质的探究

杨辉三角性质的探究，是这个数学探究活动的重点，将杨辉三角作为一个探究主题有两个主要原因：一是由于前面提到的杨辉三角本身所具有的数学、数学思维和数学文化上的魅力；二是由于杨辉三角的直观性和性质的丰富性，既有“一目了然”的性质，也有“深藏不露”的性质，所以它可以让不同发展水平的学生都能探究，并有所收获．为了让学生顺利而又充分地开展探究活动，教科书在编写中重点关注了以下两个方面．

1．探究的方法

探究是一种复杂的学习活动，不同学科的探究，因其学科特点会有其特有的方法．在科学中，探究强调调查研究、实验验证、数据分析和解释，结论解释和预测；而在数学中，探究更多的是一种思维状态，强调观察和想象、归纳和猜想、推理和论证，当学生获得了探究的方法、养成了探究的习惯，他们就会自发地去探究、主动积极地学习，成为自主学习者．因此，教科书在杨辉三角性质探究这一部分，注重“如何探究”的引导，重在展现探究的方法，并加以示例说明．

探究不是凭空产生的，它和数学问题紧密相联．首要的是发现和提出一个数学问题．如何发现和提出问题呢？教科书中的“1．观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连连线，算一算，写出你发现的结论”告诉学生：（1）需要“观察”．这种观察并不是单纯地看一看，它包含着积极的思维过程，要有目的，如数字排列的规律；要随时比较，如数字间的关系和差异；等等．（2）需要“实验”．虽然数学不像科学那样需要精密设备、精心设计的实验，但有时候还是需要人为地创造一些条件和方法辅助思维，如圈一圈、连一连、算一算等．而这些观察和实验的结果正是归纳推理的基础．（3）需要“归纳”．通过观察和实验，获得一定素材后，就可以进行归纳，作出初步的结论，然后用数学语言描述出来，就是一个猜想，即一个数学问题．

为了说明这一一点，教科书以杨辉三角的基本性质C＝C＋C为例，示范如何发现和提出问题．具体来说，通过观察和比较教科书中的图1和图2，发现杨辉三角和二项式系数之间的对应关系；通过连线和计算，如教科书上的图4，发现除了三角形的两个腰上的数字都是1，其余的数都是它肩上两个数相加，从特殊到一般，就归纳出结论：C＝C＋C．这就是一个数学问题．