5.1.1利用函数性质判断方程解的存在性学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

5.1.1利用函数性质判断方程解的存在性 1、 学习目标 1.理解求方程的实数解就是求函数的零点，体会函数的作用． 2.通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养． 二、学习重难点 重点：理解零点存在定理． 难点：理解零点存在定理的条件． 三、自主预习、知识梳理 1．函数零点：使得 f (x0)＝0 的数x0称为方程f (x)＝0的解，也称为函数f (x)的________．f (x)的零点就是函数 y＝f (x) 的图象与x轴交点的________． 2．零点存在定理：若函数 y＝f (x) 在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即________，则在开区间(a，b)内，函数 y＝f (x) 至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程 f (x)＝0 至少有一个解．所以f (a)·f (b) < 0是方程 f (x)＝0 在区间(a，b)内有解的充分条件而非必要条件．这里说“在区间(a，b)内，方程 f (x)＝0 至少有一个解”，只说明了方程 f (x)＝0 解的存在，并不能判断具体有多少个解． 当 f (a)·f (b) > 0 时，方程 f (x)＝0 也可能有解，如上图．所以f (a)·f (b) < 0是方程 f (x)＝0 在区间(a，b)内有解的充分条件而非必要条件． 四、应用举例 例1: 方程在区间内有没有解？为什么？ 解：设函数，在区间上有 ， ． 又因为函数的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程在区间内有解，即在区间内有解，故方程在区间内有解． 例2: 判定方程有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于． 解：设函数，显然有．画出函数的图象，如下图： 观察得，，． 在区间，内分别应用零点存在定理，可知在区间，内，一元二次方程各有一个实数根． 所以方程有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于． 例3：求证：对于任意一条封闭的曲线，都存在外切正方形． 证明：记封闭曲线为，在初始时刻的外切四边形为矩形，它的边长分别为和．若，则结论成立；若，不妨设． 现在，保持不动，逆时针转动矩形，转动过程中始终保持它与外切，设转动角为，则与边长之差可以看成在上的连续函数，且，．由函数的零点存在定理可知，一定存在，使．这时，，封闭曲线的外切矩形是正方形． 五、课堂练习 1.函数的零点为( ) A. B. C.0 D.1 2.函数的零点所在区间为( ) A. B. C. D. 3.已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 11.45 则函数在区间上的零点至少有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.函数的零点位于区间( ) A. B. C. D. 5.若二次函数有零点，则实数m的取值为( ) A.正数 B.非负数 C.一切实数 D.零 6.已知函数，下列区间中，包含零点的是( ) A. B. C. D. 7.（多选）下列各图象表示的函数有零点的是( ) A.B.C.D. 8.（多选）下列函数有零点的是( ) A. B. C. D. 9.设函数，(，)，若其零点为2，则__________. 10.已知函数是上的奇函数，其零点为，，则_________. 六、课后练习 1.已知函数.若存在2个零点，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知函数，下列区间中包含零点的是( ) A. B. C. D. 3.函数的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.函数的零点所在的区间是( ) A. B. C. D. 5.已知函数若关于x的方程有5个不同的实数根，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.“函数在区间上满足”是“函数在区间内至少有一个零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.（多选）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数m的值可以是( ) A. B. C. D.1 8.（多选）已知函数方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的是( ) A.函数的零点的个数为2 B.实数m的取值范围为 C.函数无最值 D.函数在上单调递增 9.已知函数恰有3个零点，则a的取值范围为___________. 10.函数的零点个数是__________. 答案及解析 三、自主预习、知识梳理 1. 零点；横坐标 2. f (a)·f (b)<0 五、课堂练习 1.答案：C 解析：令，解得，故选C. 2.答案：B 解析：定义域为R，且在R上单调递增， 又，， 在上存在唯一零点. 故选：B. 3.答案：B 解析：因为函数的图象是连续不断的，且，，所以由零点存在定理得内至少存在1个零点.因为，，所以由零点存在定理得内至少存在1个零点.因为，，所以由零点存在定理得内至少存在1个零点.综上，函数在区间上的零点至少有3个.故选B. 4.答案：B 解析：因为函数与在上均单调递增，所以在上为增函数. 因为，， 所以函数的零点位于区间内. 故选B. 5.答案：B 解析：当时，一元二次方程有解，即函数有零点.故选B. 6.答案：B 解析：在上单调递增，，，故函数的零点在区间内.故选B. 7.答案：ABC 解析：对比各选项函数图象可知，其中与x轴有交点的选项是ABC. 故选：ABC. 8.答案：ABD 解析：A中，令，，方程有两个不相等的实数根，即该函数有两个零点； B中，令，， 方程有两个相等的实数根，即该函数有一个零点； C中，令，，方程没有实数根，即该函数无零点； D中，令，，方程有两个不相等的实数根，即该函数有两个零点. 9.答案：2 解析：因为函数(，)的零点为2，所以，解得，(舍去).所以. 10.答案：0 解析：由奇函数图像的对称性知，若，则，即零点对应的坐标关于原点对称，且，故 六、课后练习 1.答案：C 解析：函数存在2个零点，函数的图象与的图象有2个交点. 如图，平移直线，可以看出当且仅当，即时，直线与的图象有2个交点.故选C. 2.答案：C 解析：函数为减函数，由，， 可得，所以由零点存在定理可知函数的零点在区间内.故选C. 3.答案：C 解析：当时，，则函数在时的零点个数为函数与函数，的图象的交点个数，作出两个函数的图象如图所示. 由图可知，当时，函数的零点有2个. 当时，由可得或（舍去）， 即当时，函数的零点有1个. 综上，函数的零点有3个.故选C. 4.答案：B 解析：易得在上单调递增，，，即， 函数的零点所在的区间是，故选B. 5.答案：A 解析：由得，则直线与函数的图象有5个交点.易知直线与的图象交于点.当时，，；当时，，；当时，.所以是奇函数，所以直线与曲线有2个交点，所以方程有2个不同的实数根.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.又当时，，当时，，所以. 6.答案：D 解析：记满足，但函数在区间内不存在零点，故充分性不成立.函数在内有零点，但，故必要性不成立，故选D. 7.答案：BC 解析：令，则， 函数在时单调递增， 所以当时，，B，C满足.故选BC. 8.答案：ABC 解析：作出的图象，如图所示， 由图可知，有和两个零点，无最值，且在上不单调，故A，C正确，D错误.令，由方程有4个不同的实数根，得方程有2个实数根，设这两根分别为，，，易知. 结合图象可知，，所以， 所以或. 由，得， 易知函数在和上单调递增， 当时，，当时，， 所以，故B正确.故选ABC. 9.答案： 解析：当时，令，得，因为函数与函数的图象在上有2个公共点， 所以在上有2个零点，所以在上只有1个零点.当时，在上有唯一零点，符合题意； 当时，的图象的对称轴为直线，对称轴在y轴右侧，的图象开口向下，且，则在上有唯一零点，符合题意； 当时，的图象的对称轴为直线，对称轴在y轴左侧，的图象开口向上，，则，解得. 所以a的取值范围为. 10.答案：2 解析：由解得； 当时，单调递增，，，所以在上有唯一零点. 综上所述，的零点个数是2. 学科网（北京）股份有限公司 $$