精品解析：江西省新余市第四中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

新余四中2025年上学年高三开学考 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是合题目要求的． 1. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 3是函数的一个极值点 C. 在处的切线的斜率大于0 D. 的单减区间为 4. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 已知展开式中各项系数之和为3，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用． 例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”． 由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案． 已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 ，若方程的实根个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是函数与的零点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知且，满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. （多选题）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线为曲线和的公切线，则下列结论正确的为（ ） A. 和关于直线对称 B. 若，则 C. 当时，和必存在两条公切线 D. 当时， 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是________． 13. 的最小值为___________. 14. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的最小值． 16. 如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为2，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体. （1）求这个组合体的体积； （2）若点F为AC的中点，求二面角的余弦值. 17. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和． 18. 设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为. （1）求; （2）不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 19. 已知函数． （1）若直线l过点，并且与曲线相切，求直线的方程； （2）设函数在上有且只有一个零点，求a的取值范围．（其中，e为自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新余四中2025年上学年高三开学考 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是合题目要求的． 1. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【答案】B 【解析】 【分析】直接写出命题的否定即可. 【详解】因为，总有，则为，使得 故选:B 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A和集合B，即可求出交集. 【详解】∵，∴，∴， ∵，∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查求对数函数的定义域，求指数函数的值域，考查交集的运算，属于基础题． 3. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 3是函数的一个极值点 C. 在处的切线的斜率大于0 D. 的单减区间为 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象上点的坐标特征，依次判断导函数值的符号，得出原函数的单调性，从而得出极值点情况和切线斜率的正负，一一判断选项即得. 【详解】因，当时，，时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 对于A，由上分析知是函数的极大值点，故A错误； 对于B，由上分析知，3不是函数的极值点，故B错误； 对于C，由上分析知，，即在处的切线的斜率小于0，故C错误； 对于D，由上分析知，的单减区间为,故D正确. 故选：D. 4. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】利用“左加右减，上加下减”的平移规律易得. 【详解】由，将向右平移个单位即可得到. 故选：D. 5. 已知展开式中各项系数之和为3，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意对进行赋值求出的值，再将该展开式分解后，分别按要求考虑系数，合并后即得. 【详解】依题意，在中，令可得，，解得，， 则， 则展开式中的项为：，故展开式中的系数为. 故选：B. 6. 全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用． 例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”． 由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案． 已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式可求答案. 【详解】设学生对食堂的实际满意度为，事件“回答问题一”，事件“回答的结果为是”. ,, ， 由全概率公式可得，即， 解得. 故选：A. 7. 已知函数 ，若方程的实根个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合可得与有个交点，不妨设为且，则，再分别判断的根的个数，即可得解. 【详解】因为，则，，，， 令，解得或， 又在同一平面直角坐标系中画出与的图象， 由图象观察可知与有个交点，不妨设为且， 则， 当时，由，，则存在个不同实根， 由，，则存在个不同实根， 由，，则存在个不同实根， 由，，则存在个不同实根， 综上的实根个数为． 故选：C 8. 已知分别是函数与的零点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题将两个函数的零点代入函数式，得到等式，再同构函数，，利用导数分析单调性求出最值即可. 【详解】由题意可知，则， 即，又 所以，则.设，则， 所以在上单调递增，所以，则，所以， 则. 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）利用等式同构函数；（2）化简，同构函数；（3）利用导数分析单调性并求出最值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由对数型复合函数的定义域和值域为求出，，得到A正确，B错误，再由集合的交与并判断CD. 【详解】A选项，当时，，解得，故定义域不是， 当时，由得， 故要想的定义域为，实数的取值范围为， 故，A正确； B选项，当时，能取到所有正数，满足要求， 当时，要想能取到所有正数， 需且，解得， 综上，，故，B错误； CD选项，所以，，C错误，D正确. 故选：AD． 10. 已知且，满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数幂与对数的互化公式，以及对数的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当，由，可得，，则，所以A正确； 对于B中，由，可得，， 因为，可得，解得，所以B正确； 对于C中，由，且，所以C正确； 对于D中，由，得或，所以D错误. 故选：ABC. 11. （多选题）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线为曲线和的公切线，则下列结论正确的为（ ） A. 和关于直线对称 B. 若，则 C. 当时，和必存在两条公切线 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算证明和互为反函数，即可判断A；设，，利用，并结合斜率的计算公式，可得的值，从而可判断B；设和的公切线上的切点坐标分别为，根据导数的几何意义整理可得，设，求导确定函数的零点个数，从而可得方程根的个数，即可判断C；根据选项C可得，整理后可得结论，即可判断D. 【详解】选项A，对两边取对数，有，所以， 所以和互为反函数，即和关于直线对称，故A正确； 选项B，当时，公切线l为，设，，则，， 设直线l与曲线和分别切于点，， 所以，，解得，且， 所以， 即，因为，所以，即，故B错误； 选项C，当时，，，则，， 设和的公切线上的切点坐标分别为， 则，可得①， 将切点坐标代入公切线方程可得， 所以②，将①代入整理可得：， 设，则， 又令，所以恒成立，所以在上单调递增， 又，则存在，使得，则， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增， 则，又，， 故存在使得，存在使得， 所以和必存在两条公切线，选项C正确； 选项D，当时，由C选项可得，，所以，整理得，故D正确． 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据成立的充分非必要条件是，列不等式组求解即可. 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 13. 的最小值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后结合对数函数性质得结论． 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为1. 故答案为：1. 14. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的图象的对称点，对称直线，周期，求出，求出. 【详解】因为函数的定义域为为奇函数，为偶函数， 所以函数的图象关于点对称，也关于直线对称， 所以，， 所以， 则， 所以函数是周期为8的周期函数， 当时，， 则，，，，，，，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出函数的图象的对称点，对称直线，周期. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据导数与函数单调性、极值的关系即可求解； （2）结合函数单调性对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 ， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 16. 如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为2，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体. （1）求这个组合体的体积； （2）若点F为AC的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将组合体拆分为两部分分别求体积即可； （2）根据题意建立合适的空间直角坐标系，求出两个平面的一个法向量，结合二面角坐标计算公式求解答案即可. 【小问1详解】 因为三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，是等边三角形， 所以， 所以； 因为三棱锥的棱长均为2， 所以正三棱锥体积为一个棱长为的正方体减去四个三棱锥， 即， 【小问2详解】 如图所示，以E为坐标原点，EC，ED，EB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面EBC的法向量为，易得， 设平面BCF的法向量为， 因为，得， 取，可得 设二面角的平面角大小为，由图易知，二面角为钝角， 则 故二面角的余弦值为 17. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用 来求得的通项公式. （2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列的前2n项和． 【小问1详解】 依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 18. 设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为. （1）求; （2）不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 【答案】（1） （2） 证明：设 ①当直线斜率不存在时，可知 ， 且有， 解得，此时直线为 0， ②当直线斜率存在时，设直线 ，则此时有： 联立直线方程与椭圆方程 ， 消去 可得： ， 根据韦达定理可得： ，， 所以， 所以， 所以 所以，则或， 当时，则直线 恒过点与题意不符，舍去， 故，直线恒过原点， 结合①，②可知，直线恒过原点 ，原命题得证. 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，然后表示出直线的斜率，再由它们的斜率之积是，列方程化简可得点的轨迹方程； （2）设，当直线斜率不存在时，求得直线为 0，当直线斜率存在时，设直线 ，由得，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，代入上式化简可得，从而可求得直线恒过的定点. 【小问1详解】 设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线 的斜率， 同理，直线 的斜率， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为， 即点的轨迹是除去 两点的椭圆. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题. 19. 已知函数． （1）若直线l过点，并且与曲线相切，求直线的方程； （2）设函数在上有且只有一个零点，求a的取值范围．（其中，e为自然对数的底数） 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）设切点为，求出切线方程，根据切线过点可得，然后构造函数，利用导数证明存在唯一零点1，然后可得； （2）注意到，将问题转化为函数在上没有零点．利用导数讨论其单调性即可得解. 【小问1详解】 由题可得， 设切点坐标为，则切线的斜率为， 所以切线l的方程为， 又切线l过点， 所以有，即， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 即只有唯一解，所以，． 所以直线l的方程为． 【小问2详解】 因为，注意到， 所以所求问题等价于函数在上没有零点． 因为． 所以由，得，即， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． ①当，即时，在上单调递增，所以． 此时函数在上没有零点， ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，， 在上的最小值为， 所以当时，在上的最大值，即此时函数在上有零点． 当时，，此时函数在上没有零点， ③当，即时，在上单调递减， 所以在上满足， 此时函数在上没有零点． 综上，所求的a的取值范围是或． 【点睛】关键点睛：第二问关键在于注意到，将问题转化为函数在上没有零点，然后利用导数讨论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $