专题7 带电粒子在空间电磁场中运动 讲义-2026届高考物理一轮复习电学压轴题模型解读与针对性训练

高考力学压轴题模型解读与针对性训练 专题7 带电粒子在空间电磁场中运动模型 【滑块-木板模型解读】 1.常见带电粒子在立体空间中的运动类型 常见类型 立体视图 三视图 等间距螺旋线运动 磁场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 电场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 磁场进电场 2.解题关键点 （1）带电粒子的等间距螺旋线运动与加速旋进的螺旋线运动 ①空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做等间距螺旋线运动.这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动. ②空间中的匀强磁场和匀强电场（或重力场）平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做加速旋进的螺旋线运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动. （2）带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要充分发挥空间想象力，由受力确定粒子的运动状态，进而确定粒子在空间中的运动轨迹.将带电粒子通过不同空间的运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可求解问题. 【高考真题】 【典例】．[2022高考山东卷]中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0＜z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；－3d≤z＜0、y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行于xOy平面、与x轴正方向夹角为45°；z＜0、y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场.质量为m、带电量为＋q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力. （1）当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E； （2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm； （3）离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标（用d表示）； （4）当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电荷量为＋q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt（忽略离子间相互作用）. 【针对性训练】 1 某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图所示，z轴正方向垂直于xOy平面向外。α粒子在加速器内经电压U加速后，在S(0，L，0)点沿x轴正方向进入Ⅰ区域，该区域沿x轴方向的宽度为L，区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小E＝。α粒子经偏转后进入Ⅱ区域，该区域沿x轴方向的宽度为3L，内部某圆形区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝。α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，再进入Ⅲ区域，该区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角。已知α粒子的电荷量为2e、质量为m，不计粒子重力。求： (1)α粒子在Ⅰ区域内沿y轴方向的侧移量y1； (2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin； (3)Ⅲ区域沿x轴方向的可能宽度d。 2. (2024·湖北武汉模拟)如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为的M点发射一质量为m，电荷量为＋q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧，轨迹上离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，不计粒子的重力。求： (1)在yOz平面左侧匀强磁场的磁感应强度B； (2)在yOz平面右侧匀强电场的电场强度E； (3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标。 3.（2024辽宁丹东模拟）如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则（　　） A.t＝时刻，质子的速度沿z轴的负方向 B.t＝时刻，质子的坐标为（，0，） C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶… D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆 4. 现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O'O处的场强大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间直角坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2（大小未知）；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电的粒子以不同速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用. （1）若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为（L，，0），求该粒子的比荷和区域Ⅱ中匀强电场E2的大小. （2）保持（1）问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打在粒子收集板上，求该粒子的比荷需要满足的条件. 5. 某实验装置的基本原理如图所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板，M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。 (1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小v0满足什么条件时能全部击中N板？ (2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小v满足什么条件时能全部击中N板？ (3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源发射出速度大小均为v，方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落在半径为的圆周上(<R)，求电场强度的大小。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考力学压轴题模型解读与针对性训练 专题7 带电粒子在空间电磁场中运动模型 【滑块-木板模型解读】 1.常见带电粒子在立体空间中的运动类型 常见类型 立体视图 三视图 等间距螺旋线运动 磁场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 电场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 磁场进电场 2.解题关键点 （1）带电粒子的等间距螺旋线运动与加速旋进的螺旋线运动 ①空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做等间距螺旋线运动.这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动. ②空间中的匀强磁场和匀强电场（或重力场）平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做加速旋进的螺旋线运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动. （2）带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要充分发挥空间想象力，由受力确定粒子的运动状态，进而确定粒子在空间中的运动轨迹.将带电粒子通过不同空间的运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可求解问题. 【高考真题】 【典例】．[2022高考山东卷]中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0＜z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；－3d≤z＜0、y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行于xOy平面、与x轴正方向夹角为45°；z＜0、y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场.质量为m、带电量为＋q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力. （1）当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E； （2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm； （3）离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标（用d表示）； （4）当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电荷量为＋q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt（忽略离子间相互作用）. 答案　（1）E＝　（2）vm＝　（3）（d，d，0） （4）Δt＝ 解析　（1）离子甲从A点射入电场，由O点沿＋z方向射出，只受沿－y方向电场力的作用，所以在＋z方向上，离子甲做匀速直线运动，在从A到O的运动过程中，在＋z方向上有 L＝v0cosβ·t 在＋y方向上有0＝v0sinβ－at 由牛顿第二定律有Eq＝ma 解得E＝ （2）离子甲进入磁场Ⅰ中，当离子甲运动轨迹与磁场Ⅰ上边界相切时，由洛伦兹力充当向心力有 qv1B＝m，其轨迹半径R1＝d 经半个圆周由（0，2d，0）进入磁场Ⅱ，然后在垂直匀强磁场Ⅱ的平面内运动，由洛伦兹力充当向心力有qv1·B＝m 解得R2＝d 轨迹恰与xOz平面相切，则此时离子甲速度最大，即vm＝v1＝ （3）离子甲以v2＝射入磁场Ⅰ，则离子甲在磁场Ⅰ中的轨迹半径R'1＝，离子甲在磁场Ⅰ中转半个圆周，由y轴上（0，d，0）处第二次穿过xOy面进入磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ中的轨迹半径为R'2＝d，离子甲在磁场Ⅱ中偏转半个圆周，由x轴上（d，0，0）处第三次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，速度方向平行于z轴正方向，再在磁场Ⅰ中偏转半个圆周第四次穿过xOy面，轨迹如图1所示，所以离子第四次穿越xOy平面的位置坐标为（d，d，0） 图1 （4）设离子乙的速度为v'2，根据离子甲、乙动能相同可得 mv2＝×4mv'22 解得v'2＝v2 由（3）问可知离子甲在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动的轨迹半径分别为 R'1＝，R'2＝d 则离子乙在磁场Ⅰ、Ⅱ中的轨迹半径分别为R″1＝d，R″2＝d 根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图2所示 图2 从O点进入磁场到第一个交点过程，有 t甲＝T甲1＋T甲2＝＋＝ t乙＝＋＝＋＝ 可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点时间差为 Δt＝t乙－t甲＝ 【针对性训练】 1 某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图所示，z轴正方向垂直于xOy平面向外。α粒子在加速器内经电压U加速后，在S(0，L，0)点沿x轴正方向进入Ⅰ区域，该区域沿x轴方向的宽度为L，区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小E＝。α粒子经偏转后进入Ⅱ区域，该区域沿x轴方向的宽度为3L，内部某圆形区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝。α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，再进入Ⅲ区域，该区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角。已知α粒子的电荷量为2e、质量为m，不计粒子重力。求： (1)α粒子在Ⅰ区域内沿y轴方向的侧移量y1； (2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin； (3)Ⅲ区域沿x轴方向的可能宽度d。 答案　(1)　(2)πL2　(3)πL(n＝0，1，2，…) 解析　(1)α粒子经过加速器过程，根据动能定理可得2eU＝mv 解得v0＝ α粒子在Ⅰ区域内做类平抛运动，则有 L＝v0t，y1＝at2，a＝ 联立解得y1＝＝。 (2)α粒子离开Ⅰ区域时速度大小为v，与x轴正方向的夹角为θ，则有v＝，tan θ＝，vy＝at 联立解得vy＝v0，v＝v0＝，θ＝45° α粒子进入Ⅱ区域中圆形区域的匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得2evB＝m 解得r＝＝L α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，如图所示 当α粒子轨迹对应弦长等于圆形磁场直径时，圆形磁场的面积最小，则有 R＝r＝L Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积为Smin＝πR2＝πL2。 (3)α粒子进入Ⅲ区域时速度方向与y轴负方向成45°角，将α粒子进入Ⅲ区域时的速度分解到＋x轴方向和－y方向，则有 vx＝v0＝ vy′＝v0＝ 由于磁场方向沿x轴正方向，则α粒子沿x轴正方向以v0做匀速直线运动，同时α粒子在yOz平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得2evy′·2B＝m 解得r2＝L 根据题意有α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角，由于vx＝v0＝vy′ 则α粒子在yOz平面内做匀速圆周运动离开时速度方向刚好沿z轴负方向，α粒子在Ⅲ区域中的运动时间为 t＝(n＋)T＝(n＋)·＝(n＝0，1，2，…) 则Ⅲ场区沿x轴方向的宽度为 d＝vxt＝v0t＝πL(n＝0，1，2，…)。 2. (2024·湖北武汉模拟)如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为的M点发射一质量为m，电荷量为＋q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧，轨迹上离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，不计粒子的重力。求： (1)在yOz平面左侧匀强磁场的磁感应强度B； (2)在yOz平面右侧匀强电场的电场强度E； (3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标。 答案　(1)　(2)　(3)(0，－3d，4d) 解析　(1)粒子在yOz平面做圆周运动的半径r1＝＝2d 根据qv0B＝m 可得左侧匀强磁场的磁感应强度B＝。 (2)粒子第一次经过y轴后在y轴负方向上做匀加速运动，同时在洛伦兹力作用下做圆周运动，因轨迹上离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，可知粒子到达xOz平面上时恰好做个圆周运动，则所用时间 t＝＝ 竖直方向r1＝·t2 解得E＝。 (3)粒子第2次经过yOz平面时做半个圆周运动，则所用时间为t′＝2t＝ 沿y轴负方向做匀加速运动，因在xOz平面上方和下方用时相等，可知位置坐标y＝－3d 沿z轴坐标z＝2r2＝2r1＝4d 即粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标为(0，－3d，4d)。 3.（2024辽宁丹东模拟）如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.t＝0时刻，质子以初速度v0从坐标原点O沿y轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e，重力不计，则（　C　） A.t＝时刻，质子的速度沿z轴的负方向 B.t＝时刻，质子的坐标为（，0，） C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶… D.质子运动轨迹在yOz平面内的投影是以O点为圆心的圆 【答案】C 解析　沿x轴方向，质子在电场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动.根据左手定则，洛伦兹力初始时刻沿z轴负方向，可判断质子在yOz平面内的分运动为匀速圆周运动，所以质点运动轨迹在yOz平面内的投影是经过O点的圆，D错误.t＝＝T时刻，质子在yOz平面内的分速度方向沿y轴负方向，沿x轴方向分速度沿x轴正方向，所以质子的合速度方向不沿z轴的负方向，故A错误.质子每经过一个周期可经过一次x轴，质子沿x轴方向在电场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据比例关系可知依次经过x轴的坐标值之比为1∶4∶9∶…，故C正确.当t＝＝T时刻，沿x轴方向根据牛顿第二定律有Ee＝ma，位移x＝at2＝··()2＝，在yOz平面内，正好经过半个周期，则y＝0，z＝－2r＝－，所以质子的坐标为(，0，－)，故B错误. 4. 现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O'O处的场强大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间直角坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2（大小未知）；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电的粒子以不同速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用. （1）若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为（L，，0），求该粒子的比荷和区域Ⅱ中匀强电场E2的大小. （2）保持（1）问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打在粒子收集板上，求该粒子的比荷需要满足的条件. 答案　（1）＝　E2＝　（2）≤≤ 解析　（1）（过程一：粒子在辐向电场中做匀速圆周运动）某一粒子进入辐向电场的速率为v0，粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，由电场力提供向心力可得q0E1＝m0 【点拨】分析圆周运动的关键是找到向心力的来源. 解得该粒子的比荷为＝ （过程二：粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，从O点到P点，粒子沿x轴方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动）粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，沿x轴方向有L＝v0t，沿y轴方向有a＝，＝at2 联立解得E2＝ （2）（过程一：粒子在辐向电场中做匀速圆周运动）设粒子的电荷量为q，质量为m，粒子进入辐向电场的速率为v，则粒子在辐向电场中有qE1＝m，解得v＝ （过程二：粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，粒子沿x轴方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动）粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，假设粒子都能进入区域Ⅲ中，则沿x轴方向有L＝vt' 沿y轴方向有a'＝，y＝a't'2，vy＝a't' 联立解得y＝，vy＝ 可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从P点进入区域Ⅲ中，假设正确.设进入区域Ⅲ的粒子速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝1，解得θ＝45° 粒子进入区域Ⅲ的速度大小为v'＝＝ （过程三：粒子在区域Ⅲ中做匀速圆周运动）粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有qv'B＝m 解得r＝＝ 为了保证粒子能够打在粒子收集板上，如图，由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足≤r≤L，联立解得粒子的比荷需要满足≤≤. 【方法】降维法：从空间立体情境中找到粒子运动的截面图，化“三维”为“二维”，画出粒子在区域Ⅲ中的运动截面图， 5. 某实验装置的基本原理如图所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板，M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。 (1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小v0满足什么条件时能全部击中N板？ (2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小v满足什么条件时能全部击中N板？ (3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源发射出速度大小均为v，方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落在半径为的圆周上(<R)，求电场强度的大小。 答案　(1)v0≤　(2)v≤　(3) 解析　(1)速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N板，则全部粒子击中N板。当速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N板边缘时，有 R＝v0t，d＝at2 其中a＝＝ 解得v0＝ 所以，速度大小应满足v0≤。 (2)粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子，做螺旋线运动，垂直磁感应强度方向的分速度大小为vy＝vsin θ 根据洛伦兹力提供向心力qvyB＝ 若粒子全部击中N板，则r≤ 解得v≤。 (3)设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中周期为T，则应该满足 t＝T(n＝0，1，2，3，…) 根据d＝at2 其中a＝ 由qvB＝m、T＝得粒子做圆周运动的周期 T＝ 联立解得E＝。 学科网（北京）股份有限公司 $$