2025-2026学年七年级数学上册竞赛培优：专题卷一 有理数

专题卷一 有理数 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(每题5分，共30分) 1.[2024·江阴“优利信杯”竞赛]在100 到200(包括100 和200)的自然数中,不是5 的倍数也不是6的倍数的自然数的个数为 ( ) A.64 B.65 C.66 D.67 2.[2024·宁波自主招生]在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移3个单位长度，得到点 C。若CO=2BO，则a的值为 ( ) A.-1 B.-7 C.1或-7 D.7或-1 3.[2023·浙江初中生学科素养测评]将1，9，0，5四个数字组成无重复数字的四位数，将这些四位数从大到小排列，那么第10 个数为 ( ) A.1095 B.1 905 C.5 109 D.9 015 4.[江苏竞赛]如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a,b,c,d,且b-2a=9,那么数轴的原点对应的点是 ( ) A.点 A B.点 B C.点 C D.点 D 5.[青岛实验中学自主招生]设实数a满足a<b<c(ac<0),且|c|<|b|<|a|,则|x-a|+|x-b|+|x+c|的最小值是 ( ) B.|b| C. c-a D.-c-a 6.[2024·浙江初中生学科素养测评]已知m+n+p=0,且|m|>|n|>|p|。下列说法中,可能成立的是 ( ) A. m,n为正数,p为负数 B. m,p为正数,n为负数 C. n,p为正数,m为负数 D. m,p为负数,n为正数 二、填空题(每题5分，共30分) 7.[2024·重庆实验外国语学校自主招生]把 化成循环小数，这个循环小数的小数部分第50 位上的数字是 。 8.[2024·重庆九龙坡区自主招生]在所有三位数中，满足其各数位上的数字之和为10 的三位数一共有 个。 9.[2024·华师一附中自主招生]已知(|1+x|+|2-x|)(|y+2|+|y-1|)=9,则x-2y的最小值为 。 10.[2024·黄冈中学自主招生]三个互不相等的有理数既可以表示为1，a+b，b的形式，也可以表示为0,b/a,a|的形式，则 的值是 。 11.[2024·长沙雨花区自主招生]设 是一个四位数，a，b，c，d是阿拉伯数字，且 则式子 的最大值是 。 12.[“新希望杯”竞赛]若a，b，c，d都是整数，b是正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,则a+8b+18c+88d的最大值为 。 三.解答题(共60 分) 13.(10分)[2024·西安碑林实验中学自主招生]如图，正三角形ABC的边长为1，点C与原点重合，现将该三角形向右翻转2 026 次，求点 B在数轴上对应的数字。 14. (12分)[2024·西安交大少年班自主招生]已知任意一个大于1的正整数m的三次幂均可以分裂成m 个连续奇数的和，如 ,按照此规律，若 分裂后，有一个奇数是2 025，求m的值。 15.(12分)[“华罗庚金杯”少年数学邀请赛]数轴上标有2n+1个点，它们对应的整数是-n,-(n-1), 为了确保从这些点中可以任意取2 006个，而且其中任何两个点之间的距离都不等于4，求n的最小值。 16.(12分)(1)已知 与 互为相反数，试求 的值。 (2)设a,b,c为整数,且 ，求 的值。 17.(14分)[2024·杭州月考]在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化。 材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a-b|的几何意义是：数轴上表示数 a，b的两点之间的距离； 的几何意义是：数轴上表示数a，-b的两点之间的距离。根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解。 (1)|x-3|=4。 答案解：由绝对值的几何意义知，在数轴上表示数x的点到表示数3的点之间的距离等于4， 解： ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上表示数x的点到表示数-2的点之间的距离等于5， 材料二：解方程| 的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和-2两点的距离的和， ∴|x-1|+|x+2|的最小值是3,由此可求解方程| ，把数轴上表示x的点记为点 P，由绝对值的几何意义知：当—2≤x≤1时，| |恒有最小值3， ∴要使 成立，则点 P 必在-2的左边或1的右边，且到表示数-2或1的点的距离均为0.5个单位长度， ∴方程|x-1|+|x+2|=4的解为 阅读以上材料，解决以下问题： (1)|x-3|+|x+4|的最小值为 。 (2)已知有理数x满足| ，有理数 y使得| 的值最小，求x-y的值。 (3)试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及 x 的取值范围。 专题卷一 有理数 1. C 【解析】在100 到200 的自然数中, 是 5 的倍数的数有 21 个， 是 6 的倍数的数有 17 个， 是 5 的倍数也是 6 的倍数的数有 3个， ∴在100 到 200 的自然数中,是 5 的倍数或是 6 的倍数的数有 21+17-3=35(个), ∴在 100 到 200 的自然数中，不是5 的倍数也不是6的倍数的数有(200-100+1)-35=66(个)。 2. B 【解析】∵点 B 表示数2, ∴CO=2BO=4。 由题意,得|a+3|=4, ∴a+3=±4, ∴a=1或-7。 ∵点 A,B在原点O 的两侧, ∴a=-7。 3. C【解析】由题意得, 当千位为1时,有 1 059,1 095,1 509,1 590,1 905,1 950; 当千位为5 时,有 5 019,5 091,5 109,5 190,5 901,5 910; 当千位为9时,有 9 015,9 051,9 105,9 150,9 501,9 510, ∴从大到小排列,第10 个数为5 109。 4. C【解析】解法一(排除法)：若原点是点A，则a=0,b=4,此时b-2a=4,和已知不符,排除;若原点是点B,则a=-4,b=0,此时b-2a=8,和已知不符,排除;若原点是点C,则a=-5,b=-1,此时b-2a=9,和已知相符,正确;若原点是点 D,则a=-8,b=-4,此时b-2a=12,和已知不符,排除; 解法二:由数轴得b-a=4,又由b-2a=9, 得a=-5,∴原点在 C点,故选 C。 5. D 【解析】∵ac<0,∴a,c异号,∴a<0,c>0。 又∵a<b<c,以及|c|<|b|<|a|, ∴a<b<-c<0<c, |x-a|+|x-b|+|x+c|表示x到a,b,-c三点的距离的和。当x在a，-c之间的点b 时距离和最小,即|x-a|+|x-b|+|x+c|最小,最小值是a与-c之间的距离,即-c-a。 6. C 【解析】∵m+n+p=0, ∴m，n，p 至少有一个为正数。 ∵|m|>|n|>|p|, ∴|m|=|n|+|p|, ∴m,p异号,n,p同号。故选 C。 7.0 【解析】 循环节是2位数。 ∵50÷2=25, ∴这个循环小数的小数部分第50位上的数字是0。 8.54 【解析】在所有三位数中，满足其各数位上的数字之和为10的三位数如下： 109,118,127,136,145,154,163,172,181,190; 208,217,226,235,244,253,262,271,280; 307,316,325,334,343,352,361,370; 406,415,424,433,442,451,460; 505,514,523,532,541,550; 604,613,622,631,640; 703,712,721,730; 802,811,820; 901,910。 共54个。 9.-3 【解析】∵(|1+x|+|2-x|)(|y+2|+|y-1|)=9=3×3, ∴-1≤x≤2,-2≤y≤1, ∴x-2y的最小值为-1-2×1=-1-2=-3。 10.0【解析】由题意得，这两组的数分别对应相等。 ①当a+b=0时,则a=-b, ∴b/a=-1,a=1,b=-1, ②当b=0时，与三个互不相等的有理数矛盾。 综上所述， 11.16 【解析】∵a≤b≤c≤d, ∴|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a| =b-a+c-b+d-c+d-a =2(d-a)。 ∵a,b,c,d是阿拉伯数字,且a≥1, ∴当d=9,a=1时,原式的最大值为16。 12.-119 【解析】∵a+b=c,c+d=a, ∴a+b+c+d=a+c, ∴b+d=0,b=-d。 又∵b+c=d, ∴2b+d+c=d, ∴2b+c=0, ∴c=-2b, ∴a+b=c=-2b,∴a=-3b, ∴a+8b+18c+88d=-3b+8b+18×(-2b)+88×(-b)=-119b。 ∵b是正整数，∴其最小值为1， ∴a+8b+18c+88d的最大值是-119。 13.解：由题意得，翻转1次，点B 落在1；翻转2 次，点A 落在2;翻转3次,点 C 落在3,周期为3。 ∵2026÷3=675……1,且翻转一次后点 B 落在1处, ∴该三角形向右翻转2 026 次，点B 在数轴上对应的数字为 1+675×3=2026。 14.解:∵2⁸ 分裂成 2 个奇数,3³ 分裂成 3 个奇数,4³分裂成4个奇数， ∴m³分裂成m个奇数， ∴从 2³ 到m³的奇数的个数为2+3+4+…+m ∵2n+1=2 025, ∴n=1012, ∴奇数 2 025 是从 3开始的第1 012 个奇数。 1 034, ∴第1 012 个奇数是 45³ 分裂的奇数的其中一个，即m=45。 15.解：假设已取出 2 006 个符合要求的点，显然对于任意整数k，以下结论成立： k和k+4对应的点不可能同时被取出； k+1和k+5对应的点不可能同时被取出； k+2和k+6对应的点不可能同时被取出； k+3和k+7对应的点不可能同时被取出…… 也就是说，任意8个连续整数对应的点中被取出的点不超过4个。 若n=2004,则数轴上标出的点有2 004×2+1=4 009(个)。由于4009=501×8+1, 因此，当取出若干个点后，若这些点符合题意，则这些点的个数不超过 501×4+1=2 005,与题意矛盾。 若n=2005,2005×2+1=501×8+3,则可取出的点数最多为501×4+3=2 007(个)。 按以下方式取点即可：取出形如8k+4，8k+5，8k+6,8k+7(k 为整数,-251≤k≤249)的数和2 004,2005 两个数,这些数有 501×4+2=2 006(个)，且显然这些数符合题意。 综上所述，n的最小值是 2 005。 16.解:(1)由已知,得| ab-2|+|b-1|=0,解得a=2,b=1。 原式 (2)∵a,b,c为整数,且|a-b|+|c-a|=1, ∴①|a-b|=0,|c-a|=1,即a=b,|c-b|=|c-a|=|b-c|=1,∴|c-a|+|a-b|+|b-c|=1+0+1=2; ②|a-b|=1,|c-a|=0,即c=a,|a-b|=|c-b|=|b-c|=1,∴|c-a|+|a-b|+|b-c|=0+1+1=2。 综上所述,|c-a|+|a-b|+|b-c|=2。 17 (1)7 解:(1)由材料二得,|x-3|+|x+4|的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数3 和-4两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的点必在-4和 3 之间(包括这两个端点)取值，即-4≤x≤3，∴|x-3|+|x+4|的最小值为7。 (2)∵|x+3|+|x-10|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10 和-3两点的距离的和，要使和最小，则表示数x 的这点必在-3和 10 之间(包括这两个端点)取值,即-3≤x≤10, ∴|x+3|+|x-10|的最小值为13。 又∵|x+3|+|x-10|=17, ∴x=-3-2=-5或x=10+2=12。 ∵|y-3|+|y+1|+|y-6|的几何意义是数轴上表示数 y的点到表示数-1，3，6的点之间的距离的和， ∴当y=3时,有最小值7, ∴x-y=-8或x-y=9。 (3)|x-1|+|x-2|+…+|x-n|的值最小,表示i数轴上点x到 1，2，3，…，n之间的距离和最小。 ①当n是奇数时，中间的点为 ∴当 时，,|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=0+2+4+…+(n-3)+(n-1) ∴当n是奇数， 时,|x-1|+|x-2|+··+|x-n|的最小值为 ②当n是偶数时，中间的两个点为 ∴当 时,|x-1|+|x-2|+…+|x-n| ∴当n是偶数， 时,|x-1|+|x-2|+…+|x-n|的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$