12.4 全等三角形（题型专练）数学新教材北京版八年级上册

12.4 全等三角形 题型一 辨别全等图形 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下面是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”图片，与该图片是全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·北京房山·期中）下列各组图形中，是全等图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（    ） A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同 C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 理解全等图形/全等三角形的概念 5．（22-23八年级上·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．周长相等的两个三角形是全等三角形 C．全等三角形是指形状相同的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 6．（22-23八年级上·北京朝阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形 C．全等三角形的周长和面积分别相等 D．所有的等边三角形都是全等三角形 7．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 题型三 找全等三角形的对应关系 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是对应点，下列结论错误的是（    ） A．和是对应角 B．和是对应角 C．和是对应边 D．和是对应边 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 题型四 分全等图形 10．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（20-21七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 12．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 13．（21-22八年级上·北京西城·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    题型五 利用全等三角形的性质求点的坐标 14．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知，若，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，那么点D的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或或 16．（24-25八年级上·北京·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______． (2)如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______． 题型六 利用全等三角形的性质求角度/线段长 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 题型七 利用全等三角形的性质求周长 20．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 21．（2025七年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为18，，若，则的边等于（    ） A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8 22．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 23．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 题型八 利用全等三角形的性质求面积 24．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，是某街心公园地面上的其中一个图案，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形．若这个正六边形的面积为9，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．4 C．4.5 D．5 25．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是 ． 26．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 题型一 利用全等图形求正方形网格中的角度之和 27．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 29．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 30．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 题型二 利用全等三角形的性质解决动点问题 31．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（　　） A． B． C．或 D．或 32．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 33．（24-25七年级下·北京·期末）如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为 时， 与 全等 34．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 35．（2024八年级上·江苏·专题练习）请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 36．（23-24八年级上·吉林·期中）在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值； (3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.4 全等三角形 题型一 辨别全等图形 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下面是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”图片，与该图片是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形定义直接选择即可． 【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等形的是D， 故选：D． 2．（21-22八年级上·北京房山·期中）下列各组图形中，是全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状大小完全相同的两个图形是全等形． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（    ） A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同 C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同 【答案】A 【分析】本题考查图形全等的性质，根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状和大小均相同． 【详解】解：如果两个图形全等，则这两个图形必定是形状和大小均相同． 故选：A． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等形的概念依次判断即可. 本题主要考查了全等形的概念：能够完全重合的两个图形成为全等形.掌握全等形的概念是解题的关键. 【详解】解：A.两个图形不相同，不是全等形，不符合题意； B. 两个图形不相同，不是全等形，不符合题意； C.两个图形完全相同，是全等形，符合题意； D.两个图形不相同，不是全等形，不符合题意； 故选：C. 题型二 理解全等图形/全等三角形的概念 5．（22-23八年级上·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．周长相等的两个三角形是全等三角形 C．全等三角形是指形状相同的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质与概念进行逐一判断即可． 【详解】解：A、全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确，符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； C、全等三角形是指形状和大小完全相同的两个三角形，说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形是全等三角形，说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与概念，熟知全等三角形的相关知识是解题的关键． 6．（22-23八年级上·北京朝阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形 C．全等三角形的周长和面积分别相等 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小完全相同的两个三角形，说法错误，不符合题意； B、如果两个三角形全等，它们不一定关于某条直线成轴对称的图形，说法错误，不符合题意； C、全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确，符合题意； D、只有边长相等的等边三角形是全等三角形，说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的相关知识是解题的关键． 7．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 题型三 找全等三角形的对应关系 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是对应点，下列结论错误的是（    ） A．和是对应角 B．和是对应角 C．和是对应边 D．和是对应边 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的性质，由得出对应边及对应角相等，逐项验证即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，故选项A错误，符合题意； ∴和是对应角，故选项B正确，不符合题意； ∴和是对应边，故选项C正确，不符合题意； ∴和是对应边，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全是三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，对应边是， 对应角是； （2），对应边是， 对应角是； （3），对应边是， 对应角是； （4），对应边是， 对应角是． 题型四 分全等图形 10．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 11．（20-21七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 12．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，结合图形的对称性和互补性，利用面积相等以及图形全等分别分割即可． 【详解】解：分割线如图所示： 13．（21-22八年级上·北京西城·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    【答案】见解析 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【详解】解：如图所示，（答案不唯一）    【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形． 题型五 利用全等三角形的性质求点的坐标 14．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知，若，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，坐标与图形的性质，关键是由全等三角形的性质推出， 由A、B的坐标，得到，，由全等三角形的性质推出，，，即可得到D的坐标． 【详解】解：的坐标是，B的坐标是， ，， ∵， ，，， 的坐标是 故选：A 15．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，那么点D的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的性质，分，两种情况，根据全等三角形的性质，坐标与图形的性质解答． 【详解】解：如下图所示， 当时，和关于轴对称， 点的坐标是， 当时，的高的高，， ， 点的坐标是或， 故选：D． 16．（24-25八年级上·北京·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______． (2)如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______． 【答案】(1)图见详解， (2)或或． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据全等三角形的判定确定点的位置，即可得出答案． 本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，结合网格特征以及全等三角形的性质， 即点，，均满足题意， ∴点的坐标是或或． 故答案为：或或． 题型六 利用全等三角形的性质求角度/线段长 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得出对应角相等，，在中，根据三角形内角和为，可得，通过角的和差关系求的度数． 【详解】解：由题可知，， ， ，， ，， ， ． 故选：B． 18．（24-25八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵和是对应角． ∴， 故选：C． 19．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 题型七 利用全等三角形的性质求周长 20．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：A． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为18，，若，则的边等于（    ） A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，分为腰、为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答． 【详解】解：当为腰时，等腰三角形的周长为18， ∴另两边为8和， 当为底时，等腰三角形的周长为18， ∴另两边为和5， ∵， ∴的边等于2或5或8， 故选：D． 22．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 【答案】12 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 23．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 【答案】(1) (2)33.5 【分析】本题考查了全等三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 题型八 利用全等三角形的性质求面积 24．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，是某街心公园地面上的其中一个图案，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形．若这个正六边形的面积为9，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定与性质，正多边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，，再证明四边形是平行四边形，得出它们之间的面积关系，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 依题意，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形． ∴，， 即 ∴四边形是平行四边形， ∴ 数出整个正六边形共有8个阴影三角形，10个白色的三角形， 即 ∵这个正六边形的面积为9， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B 25．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是 ． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质；由题意得，，则全等三角形的面积相等；由三角形中位线定理得；根据的面积等于长方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴；，， ∴的中点分别为D，E， ∵， ∴； ∵ ． 故答案为：48． 26．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：：， ． 又， ． 又， ． ； （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 题型一 利用全等图形求正方形网格中的角度之和 27．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 28．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 29．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 30．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 题型二 利用全等三角形的性质解决动点问题 31．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点． 设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， 设点P、Q的运动时间为， ∴， ∴ 若与全等．则有： ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴， ∴． 故点Q的运动速度为． 所以，点的运动速度为或 故选：D． 32．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 33．（24-25七年级下·北京·期末）如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为 时， 与 全等 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 当，时，， 即， 解得，， 即此时点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 34．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【详解】解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴； ②当时，如图4和图5， ∴， 此时点Q的坐标为或， 综上所述，符合条件的点Q共4个． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 35．（2024八年级上·江苏·专题练习）请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 即． 36．（23-24八年级上·吉林·期中）在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值； (3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了三角形全等的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想是解题关键． （1）由图可知，求出线段即可； （2）由和全等，可得或两种情况，列出关于t的方程即可求解； （3）由为等腰三角形，利用等腰三角形性质分点P在点A左右两边讨论即可求解． 【详解】（1）解：设点运动时间为秒， ， 当时，； 当时，； （2）∵， 由题意得， 当时，， 可得∶， 解得∶， 当时，， 可得∶， 解得∶ 综上所述，若和全等，则的值为或； （3） ，为等腰三角形时， 当时，点P在点A左侧时， ， 当，点P在点A右侧时， ， 当时， ， 当时， 的度数为或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$