1-2对数的概念、对数的运算（题型专练）高一数学北师大版2019必修第一册

1对数的概念、2对数的运算 题型一：对数的概念 1．有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）下列选项中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 4．对数的概念 （1）定义 一般地，如果，那么数_____叫作以_______为底_________的对数，记作.其中，__________叫作对数的底数，___________作真数. （2）常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作__________，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为_____________. 题型二：对数式有意义 1．若对数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．对数式中实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）使对数式有意义的a的值可能是（ ） A．2 B． C． D． 4．（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三：指数式和对数式的互化 1．将化为对数式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．将化成指数式可表示为（ ） A． B． C． D． 3．对数式化成指数式为（ ） A． B． C． D． 4．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4). 题型四：指对互化的总体应用 1．若，，则（ ） A．10 B．20 C．50 D．100 2．已知，，则（ ） A．25 B．5 C． D． 3．，且，则的值为_________________. 4．已知，则________________. 题型五：简单的对数式的计算 1．若，则（ ） A．2 B．4 C． D． 2．若，则（ ） A．2 B． C． D． 3．（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（多选）下列说法等式正确的有（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．若，则的值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．8 6．若，则________________. 题型六：对数的运算（基础） 1．计算：（ ） A． B． C． D． 2．计算式子的值为（ ） A． B． C． D． 3．计算：_________________. 4．=________________. 题型七：换底公式的表示 1．已知，，则可以表示为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．设，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，，若用、表示，则____________． 5．_____________. 题型八：对数的运算（提升） 1．已知，且，则（ ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 2．已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 4．已知，，若，则______________. 题型一：对数的计算应用 1．已知，那么=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，且，则有（ ） A．； B．； C．； D．． 3．若，则的值为_______________. 4．求下列各式中的的值. (1)； (2). 5．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 题型二：换底公式的综合应用 1．若正实数m，n，t满足，且，则______________. 2．已知，则_______________． 3．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 题型三：对数运算的综合应用 1．计算： (1). (2) 2．计算： (1)； (2). 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 4．计算下列各式： (1)； (2)． 5．计算： (1)； (2)． 1．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N约为.则下列各数中与最接近的是（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 2．在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 3．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 4．我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（ ） A．36 B．33 C．32 D．31 9 / 10 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1对数的概念、2对数的运算 题型一：对数的概念 1．有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 2．给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】零和负数没有对数，命题①正确； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确； 以为底的对数叫作自然对数，命题④正确； 故正确命题是①③④， 故选：C. 3．（多选）下列选项中错误的是（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 【答案】BCD 【分析】对于A：由对数的定义即可判断； 对于B：用对数的定义即可判断； 对于C：由常用对数的定义即可判断； 对于D：由自然对数的定义即可判断. 【详解】对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确； 对于B：只有符合，且，才有，故B错误； 对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误； 对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误. 故选：BCD. 4．对数的概念 （1）定义 一般地，如果，那么数_____叫作以_______为底_________的对数，记作.其中，__________叫作对数的底数，___________作真数. （2）常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作__________，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为_____________. 【答案】，，，，，， 【分析】略 【详解】一般地，如果，那么数叫作以为底的对数，记作.其中，叫作对数的底数，作真数. 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 故答案为：，，，，，， 题型二：对数式有意义 1．若对数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 2．对数式中实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得解得. 故选：C. 3．（多选）使对数式有意义的a的值可能是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】要使有意义，则解得或． 4．（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 题型三：指数式和对数式的互化 1．将化为对数式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的定义判断． 【详解】化为对数式为， 故选：B． 2．将化成指数式可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式. 【详解】把对数式化成指数式，为． 故选：A． 3．对数式化成指数式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干信息和指数式与对数式互化求解即可. 【详解】， ， 故选：. 4．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 题型四：指对互化的总体应用 1．若，，则（ ） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可. 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 2．已知，，则（ ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 3．，且，则的值为_________________. 【答案】 【分析】对数式转化指数式，再利用指数运算性质求解. 【详解】因为，且， 所以有，则. 故答案为：. 4．已知，则________________. 【答案】 【分析】先利用指对互化规则，将变形为，再利用指数的运算性质得：，代入求解即可. 【详解】由，得； . 故答案是：. 题型五：简单的对数式的计算 1．若，则（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，结合指数运算分析求解. 【详解】显然且， 若，则， 即，所以. 故选：C. 2．若，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】对数式化为指数式再求解． 【详解】∵，∴，，∴， 故选：A． 3．（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据指对数运算即可得到答案. 【详解】。 故选：C. 4．（多选）下列说法等式正确的有（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据对数的定义和运算逐项分析求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 5．若，则的值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据给定的等式，求出即可计算得解. 【详解】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D 6．若，则________________. 【答案】/ 【分析】根据指对数的运算，即可求解. 【详解】由可得，故， 故， 故答案为: 题型六：对数的运算（基础） 1．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂和对数的运算性质求解即可. 【详解】. 故选：B. 2．计算式子的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数运算求得答案. 【详解】. 故选：A 3．计算：_________________. 【答案】11 【分析】根据指数幂及对数的运算性质进行运算即可. 【详解】 ， 故答案为：11. 4．=________________. 【答案】 【分析】由对数及根式的基本运算求解即可. 【详解】解： . 故答案为： 题型七：换底公式的表示 1．已知，，则可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质即可得解． 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：A. 3．设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式可得，然后运用对数运算法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 4．已知，，若用、表示，则____________． 【答案】 【分析】根据指数与对数的关系及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以，又，则，则 所以. 故答案为： 5．_____________. 【答案】3 【分析】利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由换底公式得 . 故答案为：3. 题型八：对数的运算（提升） 1．已知，且，则（ ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质化简计算即可求解. 【详解】因为， ， 令， 所以，解得或（不符合题意舍去）， 所以，解得. 故选：C 2．已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，可得出，结合求出的值，再利用对数和指数的互化可求得的值. 【详解】因为， 由于，则，令，则，于是有， 整理可得，因为，解得，即，解得. 故选：B. 3．已知，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】将变形得，代入再根据基本不等式可求出结果. 【详解】由题意，知，.由，得， 两边同时除以，得. 因为， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 4．已知，，若，则______________. 【答案】 【分析】利用对数运算的加法法则得到，再代入原式求解即可. 【详解】由对数运算的加法法则得， 因为，所以， 由对数函数性质得在上单调递增， 可得，即， 而 . 故答案为： 题型一：对数的计算应用 1．已知，那么=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数的定义，先求出，进而求出x. 【详解】因为，所以，则x=2. 故选：B. 2．已知，且，则有（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据题意求出，，，比较即可. 【详解】， ,, ,,. 故选：C 3．若，则的值为_______________. 【答案】24 【分析】利用对数和指数的互化公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 4．求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用对数的定义以及指对互化即可求出； （2）化简，再利用对数的定义即可. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 5．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 题型二：换底公式的综合应用 1．若正实数m，n，t满足，且，则______________. 【答案】 【分析】根据对数和指数的互化方法，求出参数的表达式，根据换底公式列出方程，根据对数运算公式，求出参数值. 【详解】已知，则， 根据换底公式可得，则， 变形得，解得. 故答案为：. 2．已知，则_______________． 【答案】5 【分析】先取对表达出m和n，结合对数运算法则即可求解. 【详解】因为，则， 因为，则， 所以. 故答案为：5. 3．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案. 【详解】（1）由已知，，所以. （2）因为，所以，解得， 由，解得， 所以. 题型三：对数运算的综合应用 1．计算： (1). (2) 【答案】(1)121；(2)7 【分析】（1）根据指数式运算法则对式子进行化简求解即可. （2）根据对数的运算法则进行化简求解. 【详解】（1）. （2）. 2．计算： (1)； (2). 【答案】(1)2；(2)13 【分析】（1）（2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） . （2） . 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)2；(2)；(3) 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）分子 ； 分母 ，故原式. 4．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)0；(2)-7 【分析】（1）（2）根据对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式 ． 故答案为：0 （2）原式 ． 故答案为：-7 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)11 【分析】（1）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. （2）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 1．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N约为.则下列各数中与最接近的是（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的整数部分后可得正确的选项. 【详解】因， 故， 故选：C. 2．在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件结合对数运算性质计算即可求解. 【详解】由题得， 所以，所以与最接近的是. 故选：C 3．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 【答案】A 【分析】设天后进步的是落后的200倍，则，利用指对数运算求解即可. 【详解】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 4．我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（ ） A．36 B．33 C．32 D．31 【答案】D 【分析】计算的值，由此确定的位数. 【详解】∵， ∴，∴是31位数. 故选：D. 2 / 21 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$