精品解析：2025年宁夏银川十八中学中考数学二模试卷

2025年宁夏银川十八中中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确是（　　） A. B. C. D. 2. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（ ） A 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一种药品原价每盒100元，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程有两个相等的实数根，点，点在反比例函数的图象上，若，则，，0的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，O是边中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，图1是北京国际数学家大会会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 分解因式：a＋2ab＋ab2＝ ______． 10. 中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是______． 11. 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中，点在第__________象限． 12. 如图，直线与正六边形的边分别相交于点，则的大小为___________． 13. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是__________． 14. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 15. 如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为______（结果保留）． 16. 综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为，测得楼楼顶C处的俯角为，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是______米？(点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：) 三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再从，0，1中选取一个适合的数作为a的值代入求值． 19. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段中点，过点作的平行线． 20. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 21. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 22. 2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m． （1）求该滑雪场的高度h； （2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量． 23. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … （1）在图1中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 24. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 25. 如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 26. 综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年宁夏银川十八中中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键． 根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【详解】解：． 故选D． 2. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算矩形的面积，再利用平方数的范围估算无理数的大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：矩形的面积， ∵， ∴，即， 故在3和4之间， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 4. 一种药品原价每盒100元，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每次降价的百分率为x，利用该药品经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，可列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意，得 解得：，不符合题意，舍去， 每次降价的百分率为． 故选：A． 5. 一元二次方程有两个相等的实数根，点，点在反比例函数的图象上，若，则，，0的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根可得，从而求出m的值，再根据反比例函数的性质即可求出大小． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和根的判别式，掌握以上性质是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 将代入得反比例函数为， 根据反比例函数的性质，可得点A和点B在第三象限， 当时，， 故选：B． 6. 如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、平行线的判定与性质，由作图过程可知，，则，根据平行线的性质可得根据O是边AB的中点，，可得点M为AC的中点，即，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，， 故A选项正确，不符合题意； ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 是边的中点， ∴， 又， ∴， ， 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出， 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 7. 点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与方程的关系，依据题意，由一次函数与方程的关系，列方程组求解． 【详解】解：由题意，联立方程组， ， ， 在第二象限． 故选：B． 8. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 分解因式：a＋2ab＋ab2＝ ______． 【答案】a（1＋b）2 【解析】 【分析】先提公因式，再用完全平方公式． 【详解】原式＝， 故填：． 【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式和完全平方是关键． 10. 中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位， 所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是， 故答案为： 11. 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中，点在第__________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 12. 如图，直线与正六边形的边分别相交于点，则的大小为___________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题关键．先根据正六边形的内角和可得，再根据四边形的内角和可得，然后根据对顶角相等可得，，由此即可得． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵在四边形中，， ∴， 由对顶角相等得：，， ∴， 故答案为：． 13. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题综合考查了数轴的有关内容，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故答案为：． 14. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 15. 如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 由对折可知，，过点E作的垂线，进而可求出的度数，则可得出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【详解】解：∵折叠，且四边形是正方形 四边形是矩形，， 则，． 过点E作于P， 则， ， 在中，， ， 则， 的长度为：， 故答案为： 16. 综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为，测得楼楼顶C处的俯角为，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是______米？(点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：) 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用中的仰角和俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交过D点的水平线于E点，过A点作，交的延长线于F点，在中求出，在中表示出，利用，得到方程，解方程得到结果． 【详解】解：如图，延长交过D点的水平线于E点，过A点作，交的延长线于F点， 在中，，，米， 米， 设米， 则米， 在中，，， 米， 米， ， ， 米， 即米， 楼的高度是28米． 故答案为： 三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算．根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得出答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再从，0，1中选取一个适合数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解等知识．熟练掌握分式的化简求值，分式有意义的条件，运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先通分计算括号里的，然后进行除法运算可得化简结果，根据分式有意义的条件可得，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 由题意知，，， 解得，， 将代入得，原式． 19. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析． 【解析】 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 20. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 【答案】（1）80，， （2）甲 （3）600 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径（含）以上所占比例即可． 【小问1详解】 解：由题意得：； 把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数； 甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数． 故答案为：80，，． 【小问2详解】 解：甲的方差为： ； 乙的方差为： ， 因为， 所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐． 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：（个）． 答：大果约有600个． 21. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）①或②，证明见解析； （2）6 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 22. 2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m． （1）求该滑雪场的高度h； （2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量． 【答案】（1）235m （2）甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3 【解析】 【分析】（1）过B作BF∥AD，过D过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，根据题知∠ABF=∠DAB=30°，可得，由BC的坡度i=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，可得t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）； （2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，可得：，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3． 【小问1详解】 解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图： 根据题知∠ABF=∠DAB=30°， ∴， ∵BC的坡度i=1：2.4， ∴BE：CE=1：2.4， 设BE=tm，则CE=2.4tm， ∵BE2+CE2=BC2， ∴t2+（2.4t）2=2602， 解得t=100（m），（负值已舍去）， ∴h=AF+BE=235（m）， 答：该滑雪场的高度h为235m； 【小问2详解】 设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3， 根据题意得：， 解得x=15， 经检验，x=15是原方程的解，也符合题意， ∴x+35=50， 答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3． 【点睛】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程． 23. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … （1）在图1中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ 【小问3详解】 解：将代入得： ∴估计这个人身高 24. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 25. 如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 【答案】（1） （2）有最大值，， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可． 【小问1详解】 解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为， ∴． 【小问2详解】 （2）是有最大值，理由如下： ∵当时，， ∴． 设直线的函数表达式为， ∴， 解得． ∴直线的函数表达式为， 设， 则． ∴ ． 当时，有最大值， 此时， ∴有最大值，为．此时． 26. 综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【答案】（1）4；4；（2）；类比探究：见解析；拓展延伸： 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可； （2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论； 类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论； 拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分面积，即可求得结果． 【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形， ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点作于点，于点． 是正方形的中心， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 类比探究： 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 拓展延伸： 过点作于点，于点． 同（2）可知四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 重叠部分的面积 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$