【第二十五章 概率初步 02讲 用列举法求概率】【三大知识点+三大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十五章 概率初步 02讲 用列举法求概率 题型归纳 【题型1. 直接列举法求概率】……………………………………………………… 3 【题型2. 列表法或树状图法求概率】……………………………………………… 5 【题型3. 游戏公平性问题】………………………………………………………… 10 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 15 知识清单 知识点1 直接列举法 1.直接列举法求概率：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，可以通过一一列举的方式将试验的所有等可能结果列出来，再看所研究的事件包含多少种结果，进而用概率公式求出所研究事件的概率. 知识点2 列表法 1.列表法求概率：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法. 2.步骤如下： （1）列表； （2）通过表格计数，确定公式P（A）= 中m和n的值； （3）利用公式P（A）= 计算事件的概率. 知识点3 画树状图法 1.画树状图法求概率：当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常利用画树状图的方法求概率. 2.概率如下：（1）画树状图； （2）列出结果，确定公式P（A）= 中m和n的值； （3）利用公式P（A）= 计算事件的概率. 题型专练 题型1. 直接列举法求概率 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了列举法求概率；设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，列举出所有可能的结果数，2只雏鸟都是雄鸟的结果数，利用概率公式即可计算． 【详解】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，所有可能的结果为：AB两只雏鸟都是雄鸟，两只雏鸟都是雌鸟，A雏鸟是雄鸟B雏鸟是雌鸟，A雏鸟是雌鸟B雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为； 故选：D． 【例2】（2025·河南驻马店·三模）将数字1，2，3随机填入到右面的方格中，摆出的三位数是4的倍数的概率是 ． 【分析】本题考查求概率，列举法求出概率即可． 【详解】解：摆出的三位数共有，共6种情况，其中摆出的三位数是4的倍数的结果有共2种， ∴； 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现一正一反朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查列举法求概率；可得共有4种等可能的结果，其中出现一正一反朝上的有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现的所有等可能情况有正反，正正，反反，反正，共4种， 其中出现一正一反朝上的有2种等可能的结果， ∴出现一正一反朝上的可能性是， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）有四条线段，长度分别是4，6，8，10，从中任取三条能构成直角三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：4，6，8；4，6，10；6，8，10；4，8，10，共4种， 其中构成直角三角形的有6，8，10共1种， ∴从中任取三条能构成直角三角形的概率是． 故选：B． 【变式3】（2025·安徽宣城·一模）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为 ． 【分析】该题考查了概率的计算，能够正确的写出所有的可能情况，清楚概率的计算方法是解答该题的关键． 根据概率计算方法解答即可； 【详解】解：当闭合开关，时，灯泡发光；当闭合开关，时，灯泡发光；当闭合开关，时，灯泡发光；总共有三种可能情况，2种情况灯泡发光，故灯泡能发光的概率为； 故答案为 【变式4】（2025·江苏南京·三模）桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球． (1)随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________； (2)随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率． 【分析】本题考查了概率公式，列举法求概率，掌握概率公式是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）利用列举法求解即可． 【详解】（1）解：桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球， 则随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是， 故答案为：； （2）解：所有可能出现的结果有：（球1，球2）、（球1，无）、（球2，无）共3种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“2个纸杯中均放有小球”（记为事件M）的结果有1种， 所以． 【变式5】（2025·江苏南京·一模）从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． (1)从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； (2)从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 【分析】本题考查的是求概率： （1）直接根据概率公式解答即可； （2）根据题意，列出所有可能出现的结果，可得满足两张牌数字相同的结果有3种，再根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是． 故答案为： （2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同． 所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种， 所以抽出的两张牌数字相同的概率为． 题型2. 列表法或树状图法求概率 【例1】（2025·甘肃兰州·中考真题）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率等知识点，用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解决此题的关键． 【详解】解：将所有结果列表格如下： 声母         韵母 a e i d da de di t ta te ti l la le li 所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为． 故选：A． 【例2】（2025·山东青岛·中考真题）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果数有6种， ∴抽取到的两张卡片中有“生”的概率是． 【变式1】（2025·河南·中考真题）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 【变式2】（2025·广西·中考真题）从三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为 ． 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中选出的两个数字之和是偶数的结果有种， ∴选出的两个数字之和是偶数的概率为， 故答案为：． 【变式3】（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种， ∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． 【变式4】（2025·湖南长沙·中考真题）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； (2)在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； (3)若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据频数分布表求出总人数即可求解； （2）根据A等级所占比例即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】（1）解：由频数分布表可得，总人数为：（人）； ∴，， 故答案为： （2）解：“A等”所对应的扇形的圆心角为：， 故答案为： （3）解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图： 一共有种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果． ． 题型3. 游戏公平性问题 【例1】（2025七年级上·广东·专题练习）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 【例2】（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去． (1)上述方式公平吗？请说明理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据． 【分析】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键． （1）直接得出是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案． （2）保证他们的概率相等即可． 【详解】（1）根据题意可知，抛掷这个骰子得到的数共6种等可能结果，其中是3的倍数是3，6共2种结果， 所以向上的点数是3的倍数的概率为：． 向上的点数不是3的倍数的概率为：． ∴爸爸去的概率大，不公平， （2）保证爸爸、妈妈去的概率相等即可； 如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去，此时他们的概率为，所以公平． 【变式3】（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由． 【分析】本题考查了概率的基本计算、不同事件发生概率的比较以及多次试验下概率的累积效应．解题的关键是结合数字特征设计猜数规则，通过提高单次获胜概率，并利用多次试验放大优势，实现更容易获胜的目标． 选择包含多个数字的类别（如偶数）作为猜数对象，利用该类别数字数量占比高的特点，提升获胜概率，且在多次转动中累积优势． 【详解】猜数规则：每次猜转出的数字是偶数（即2、4、6中的一个），并且不限转动次数． 理由：转盘被平均分成6等份，标有2、3、4、5、6、7，每个数字被转出的概率均为．其中偶数有3个，单次猜中偶数的概率为，远高于猜单个数字的．由于不限转动次数，随着转动次数增多，根据概率规律，猜中偶数的总次数会更多，猜数人获胜的可能性更大． 【变式4】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，掷出面标有“6”的概率是 ； (2)任意掷这枚骰子，掷出面标有“3的倍数”的概率是 ； (3)小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【分析】（1）先计算标数字6的面数为：，总面数为20 ，根据简单的概率公式计算解答即可； （2）先计算3的倍数的数有个，根据简单的概率公式计算解答即可； （3）计算奇数的个数个，偶数个数为个，计算概率，比大小解答即可． 本题考查了简单的概率公式计算概率，游戏的公平性，熟练掌握概率计算，正确掌握判断游戏公平性的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6” ∴标有“6”的面数为面， ∴掷出“6”的概率是， 故答案为：． （2）解：∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面， 故3的倍数的数的面有个， ∴掷出“3的倍数”的概率是， 故答案为：． （3）解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”， 故奇数的个数个，偶数个数为个， ∴掷出“偶数”的概率是，掷出“奇数”的概率是； ∵， ∴掷出“偶数”的概率较大， 故本游戏规则不公平． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·二模）某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片、、、标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，则该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数和恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：由题意，《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书分别用相同的卡片、、、标记， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中《朝花夕拾》和《西游记》共同被选中的结果有2种， ∴该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率为， 故选：B 2．（2025·安徽芜湖·三模）月日是国际数学节某校数学组在今年的数学节活动中策划了“解密风云”“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏，那么他们选择相同游戏的概率是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．画树状图，共有9种等可能的结果，他们恰好选择相同游戏的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“解密风云”、“连数成画”和“函数追击”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，他们恰好选择相同游戏的结果有3种， ∴小明和小红恰好选到相同游戏的概率为， 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东清远·期末）一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球．下列说法错误的是（　　） A．摸出1个球是红球的概率是 B．摸出1个球是白球的概率是 C．一次摸出4个球至少有2个是红球 D．一次摸出2个球至少有1个是白球 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：A、摸出1个红球的概率为，说法正确，本选项不符合题意； B、摸出1个白球的概率为，说法正确，本选项不符合题意； C、一次摸出4个球时，口袋中剩余1个球，若剩余的是红球，则摸出的4个球中有2个红球和2个白球；若剩余的是白球，则摸出的4个球中有3个红球和1个白球；无论哪种情况，红球数量均不少于2个，说法正确，本选项不符合题意； D、列表如下： 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红1，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红1，红3） （红3，红2） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （红1，白1） （红2，白1） （红3，白1） （白1，白2） 白2 （红1，白2） （红2，白2） （红3，白2） （白1，白2） ∵共有20种等可能的结果，摸出2个球至少有1个是白球的有14种结果， ∴摸出2个球至少有1个是白球的概率为，原说法错误，本选项符合题意； 故选：D． 4．（2025·河南驻马店·三模）两只蚂蚁从点A爬到点B吃食物残渣，从点A到点B一共有三条路可以选择，两只蚂蚁随机选择，则两只蚂蚁选择同一条路的概率是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两只蚂蚁选择同一条路的结果数有3种， ∴两只蚂蚁选择同一条路的概率是． 故选：B． 5．（2025·广东深圳·模拟预测）小明得知深圳有优必选、智平方、逐际动力、众擎这四大通用型机器人公司可供参观，他打算从中选两个，则众擎公司被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及众擎公司被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这四大通用型机器人公司分别记为 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中众擎公司被选中的结果有共6种， ∴众擎公司被选中的概率为 故选：A． 6．（2025·河北邯郸·三模）如图，沿虚线把两张形状、大小相同的风景图片（背面完全相同）均剪成形状、大小相同的两部分，将得到的四张图片背面朝上洗匀后，从中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的概率是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽出的两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设左边那幅的上下两部分，分别用A、B表示，右边那副图的上下两部分，分别用C、D表示， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的结果数有4种， ∴抽出的两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的概率为， 故选；B． 7．（2025·河南南阳·三模）如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ 共有20种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， ∴小灯泡发光的概率为． 故选：A． 8．（2025·贵州·二模）周末，小梅的爸爸想带她和弟弟到贵阳市黔灵山公园或花溪湿地公园游玩，爸爸将两个公园名称分别写在两张相同的卡片上，让姐弟俩随机抽取．弟弟随机抽取一张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取一张，姐姐和弟弟抽取的公园名称相同的概率是（   ） A． B． C． D．1 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 【详解】解：黔灵山公园、花溪湿地公园两个景点分别用、表示， 画树状图为： 共有4中等可能的结果，其中抽取的公园名称相同结果数为2， 所以抽取的公园名称相同的概率 故选：C ． 9．（2025·山西·一模）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图可得： 由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 10．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）四张材质、大小完全相同的卡片上涂画如图所示的图案，从中随机抽取两张，则抽到的两张都是中心对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别以及列举法求概率，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据中心对称图形的定义确定四个图形中的中心对称图形，然后作出树状图，结合树状图即可获得答案． 【详解】解：将四个图形分别编号为，根据中心对称图形的定义，可知图形为中心对称图形，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张都是中心对称图形的有2种结果， 所以，从中随机抽取两张，则抽到的两张都是中心对称图形的概率． 故选：C． 二、填空题 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）从现有的三个数，1，2中任选不重复的两个数，分别作点A的横坐标和纵坐标，则点A位于第一象限的概率是 ． 【分析】本题考查列表法求概率，运用表格工具列示出所有等可能结果，确定满足条件的结果，计算得解． 【详解】解：列表： 点A坐标 1 2 1 2 如图，共有6种等可能结果，满足要求的有2种，和， 故概率为． 故答案为：． 12．（2025·贵州遵义·模拟预测）有四张完全一样正面分别写有“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是 ． 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．根据列表法得出共有12种等可能的结果，其中满足要求的结果有2种，再结合概率公式进行列式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意列表如下： 必 胜 中 考 必 必胜 中必 考必 胜 必胜 中胜 考胜 中 必中 胜中 考中 考 必考 胜考 中考 由表可知，共有12种等可能的结果，其中满足要求的结果有2种， 因此抽取的两张卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是：， 故答案为：． 13．（2025·重庆·模拟预测）如图，有两个转盘，转盘A被分成两等份，分别标有数字1，2，转盘B被分成三等份，分别标有数字1，2，3，转动两个转盘各一次，指针指向的数字相同的概率是 ． 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率计算公式即可求解． 【详解】画树状图为： 共有种等可能的结果，其中指针指向的数字相同的有种结果， 所以指针指向的数字相同的概率为， 故答案为：． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”，将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，则甲取胜的概率为 ． 【分析】本题主要考查了列表求概率．先列出表格得出所有可能出现的结果，进而得出符合条件的结果，再根据概率公式得出答案． 【详解】解：用表格列出所有可能的结果： 石头 剪子 布 石头 （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） 由表格可知，共有6种可能的结果，并且它们的出现是等可能的．“甲取胜”记为事件，它的发生有3种可能．， 所以甲取胜的概率为． 故答案为： 15．（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为 ． 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种， ∴． 16．（2025·山西·中考真题）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 ． 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 17．（2025·湖北十堰·模拟预测）小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先根据题意可计算出一共有种选择；当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D；同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意；据此根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设小侯，姐姐，妈妈，爸爸原本对应的位置分别为B、C、D、F， 假设小侯先选择座位，那么小侯有4种选择，接着姐姐选择座位，那么姐姐有3种选择，接着妈妈选择座位，那么妈妈有2种选择，最后爸爸选择座位，那么爸爸有1种选择， ∴一共有种选择； 当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D； 同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意， ∴一共有种情况符合题意， ∴问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是， 故答案为：． 18．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈，小雅设计了一个跳圈游戏，规则是投掷两枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上的一面上的点数是几，游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如若从圈起跳，一个掷得3，另一个掷得4，就先顺时针连续跳3个边长落到圈，再从开始顺时针连续跳4个边长落到圈．设游戏者从圈起跳，则一次游戏后能够回到的概率是 ． 【分析】本题考查列表法求概率，列表得到36种等可能的结果，再找出两数的和为6的倍数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】列表如下， 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 所有等可能的结果共有36种，当两次掷得的数字和为6的倍数， 即6，12时，才可落回A圈，共6种， ∴． 19．（24-25七年级下·山东青岛·期中）甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种， 则甲赢的概率为，乙赢的概率为， 所以甲赢的概率和乙赢的概率相等， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 20．（2025·河南驻马店·三模）早在宋代，我国就出现了类似转盘抽奖之类的销售方式，称为“关扑买卖”，又称“扑买”或“扑卖”．图1为宋代人在集市上“转盘抽奖”的情形．某商店制作了如图2所示的转盘，该转盘被平均分成3个扇形区域，分别涂有白、红、黄三种颜色，指针固定．在该商店消费一定数额后即有一次转动转盘抽奖的机会，当转盘停止转动时，指针指向红色区域（若指针指在分界线上，则重转）即可得到一个小礼品．若小刚有两次转动转盘抽奖的机会，则他能得到小礼品的概率是 ． 【分析】本题考查画树状图或列表求某事件发生的概率，得到所有的等可能性是解答的关键．先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到得到奖品的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中转到红色区域的有5种， ∴能得到小礼品的概率是， 故答案为：． 三、解答题 21．（2025·广东惠州·三模）以下为四名学生初三六次数学考试的成绩．（单位：分） 甲：116，115，113，110，117，116；    乙：111，114，108，110，118，117； 丙：105，103，111，115，117，118；    丁：112，110，101，106，114，117． (1)分别求四名学生的平均分； (2)若在这四名学生中任选两名参加数学竞赛，求选出的两名学生的平均分都高于112分的概率． 【分析】题目主要考查计算平均数及利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）利用列表法或树状图法求概率即可． 【详解】（1）解：甲的平均分为：； 乙的平均分为：； 丙的平均分为：； 丁的平均分为：； （2）根据题意，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中满足两名学生的平均分都高于112分的结果有2种，（甲，乙），（乙，甲）， ∴两名学生的平均分都高于112分的概率为：． 22．（2025·吉林·中考真题）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率． 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到参与者小顺和小利被分配到同一组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 小顺小利 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中参与者小顺和小利被分配到同一组的结果数有3种， ∴参与者小顺和小利被分配到同一组的概率为． 23．（2025·云南昆明·三模）春，是茶的盛事；茶，是景迈山给世人的馈赠．千年茶山年年春，世界遗产普洱景迈山2025年春茶季系列活动自3月下旬启幕，将持续至5月！其中，“醒春山”系列活动分为：A澜沧古茶“回家之旅”，B柏联寻茶之旅，C九泽茶窖春茶季大型活动．甲、乙两名同学准备前往一睹盛况，各自随机选择A、B、C三个活动中的一个，二人选择哪个活动不受任何因素影响，每一个活动被选到的可能性相同．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙选到不同活动的概率． 【分析】本题考查了概率的计算，用列表法展示所有可能的结果，关键在于准确找出符合条件的结果数和所有可能的结果数，然后利用概率公式计算． （1）通过列举法分析所有可能的结果； （2）利用概率公式计算符合条件的情况概率即可． 【详解】（1）解：由题意列表如下： 由表可知，共有9种等可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同． （2）由（1）可知，甲和乙选到不同活动有，，，，，共6种结果， 概率为． 24．（2025·云南临沧·一模）为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，某校积极筹备校园艺术节，九年级（1）班、九年级（2）班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演学校把这三个节目名分别写在三张完全相同的不透明的卡片的正面，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上九年级（1）班同学先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目后放回，九年级（2）班同学再从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目记九年级（1）班同学表演的节目为，九年级（2）班同学表演的节目为． (1)请用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数． (2)求该校九年级（1）班、九年级（2）班同学表演不同节目的概率． 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意列表即可． （2）由表格可得出所有等可能的结果数以及该校九年级（1）班、九年级（2）班同学表演不同节目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）将“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”分别记为，，， 列表如下： 共有种等可能的结果． （2）由表格可知，该校九年级（1）班、九年级（2）班同学表演不同节目的结果有种， 该校九年级（1）班、九年级（2）班同学表演不同节目的概率． 25．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，惠游园区“转转卡”涵盖园区六大核心景点，持有人可根据表中规定，在“超值权益”和“特惠权益”中各选一项产品体验．小明购买“转转卡”后，计划在有效期内随机选择两项产品体验． 权益 产品 备注 超值权益 A．“苏州之眼”摩天轮单人票 二选一 B．华谊兄弟电影世界单人票 特惠权益 C．金鸡湖游船（登岛）单人票 四选一 D．苏艺国风剧场单人票 E．比斯特苏州购物村双人下午茶 F．嘉德·宥爱艺术中心单人票 (1)小明在“超值权益”中选择A产品的概率是______； (2)求小明选择A产品和C产品的概率．（用画树状图或列表等方法说明） 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】（1）解：“超值权益”有A，B两种， 因此小明在“超值权益”中选择A产品的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下， 由图可知，共有8种等可能的情况，其中选择A产品和C产品的情况有1种， 因此选择A产品和C产品的概率是． 26．（2025·江苏苏州·中考真题）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． (1)甲同学选择A电影的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】（1）现有共3部电影， 甲同学选择A部电影的概率是． 故答案为：； （2）用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， （甲、乙2位同学选择不同电影）． 27．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）某周末甲、乙两人外出参观游玩，各自随机选择到白城沙滩、厦门大学、山海步道、厦门方特四个地点中的一个地点参观游玩．假设这两人选择到哪个地点参观游玩不受任何因素影响，且上述四个地点中的每个被选到的可能性相同． (1)甲选择到厦门方特参观游玩的概率为_______． (2)用列表法或画树状图法，求甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的概率． 【分析】本题主要考查了古典概型的概率计算，熟练掌握古典概型的概率公式是解题的关键． （1）根据古典概型的概率计算公式，即所求事件发生的结果数除以所有可能的结果数来计算甲选择到厦门方特参观游玩的概率． （2）通过列表法列出甲、乙两人选择地点的所有可能结果，再找出两人选择到同一个地点的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：∵总共有四个地点，甲选择每个地点的可能性相同，厦门方特是其中一个地点 ∴甲选择到厦门方特参观游玩的概率为， 故答案为：； （2）解：将白城沙滩、厦门大学、山海步道、厦门方特四个地点分别记为、、、． 列表如下： 甲乙 ∵由列表可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的结果有种 ∴甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的概率为 28．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一旅游景区在原有布局结构不变的情况下，为了方便游客进出，在内道门处设有A，B两个出入口，外道门处设有C，D，E三个出入口，小宇同学游览结束后，要先随机经过内道门（A或B），再随机经过外道门（C或D或E）才能出去． (1)小宇经过内道门时，从B口出去的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法表示小宇经过内、外两道门走出景区的所有可能情况，并求小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率． 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵在内道门处设有A，B两个出入口， ∴小字经过内道门时，从B口出去的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种， ∴小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率为． 29．（2025·福建南平·三模）小明和小亮要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区的汽车有三辆（舒适程度不同，票价相同），但他们不知道这些车开过来的顺序．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题： (1)三辆车按出现的先后顺序，其舒适程度共有哪几种不同的可能？ (2)如果计划小明乘开来的第一辆车，小亮不乘第一辆车，并且仔细观察第二辆车的情况，若比第一辆车好，就乘第二辆车；若不比第一辆车好，就乘第三辆车．判断小明和小亮谁乘坐舒适程度为上等的车的可能性更大，并说明理由． 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． （1）利用列表的方法得出所有6种可能的结果； （2）利用列表法展示乘车的所有结果，然后计算他们乘坐上等车的概率，再比较概率的大小． 【详解】（1）解：三辆车开来的先后顺序列表如图1所示： 顺序 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、上、中 下、中、上 所有可能的结果有6种； （2）解：列表如图2所示： 顺序 小明 小亮 上、中、下 上 下 上、下、中 上 中 中、上、下 中 上 中、下、上 中 上 下、上、中 下 上 下、中、上 下 中 小明坐上等车的概率， 小亮坐上等车的概率， 因为 所以小亮坐上等车的可能性大． 30．（2025·陕西渭南·三模）《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生群体中掀起了古诗词的热潮．喜欢古诗的小明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片，并在卡片正面分别写上诗句： A．“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”； B．“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”； C．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”； D．“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．”，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并说出所抽卡片上诗句的作者和诗名． (1)从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是________； (2)小明先从这四张卡片中随机抽取了一张，不放回，小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率． 【分析】本题考查列表法与树状图法以及概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）先画出相应的树状图，然后即可求得抽取的诗句恰好出自同一首诗的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是． 故答案为：； （2）画树状图如下： 由上可得，共有12种等可能性，其中他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的结果有2种， ∴他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$第二十五章 概率初步 02讲 用列举法求概率 题型归纳 【题型1. 直接列举法求概率】……………………………………………………… 2 【题型2. 列表法或树状图法求概率】……………………………………………… 3 【题型3. 游戏公平性问题】………………………………………………………… 5 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 8 知识清单 知识点1 直接列举法 1.直接列举法求概率:在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性大小相等,可以通过一一列举的方式将试验的所有等可能结果列出来,再看所研究的事件包含多少种结果,进而用概率公式求出所研究事件的概率. 知识点2 列表法 1.列表法求概率:当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,通常采用列表法. 2.步骤如下: (1)列表; (2)通过表格计数,确定公式P(A)= 中m和n的值; (3)利用公式P(A)= 计算事件的概率. 知识点3 画树状图法 1.画树状图法求概率:当一次试验要涉及3个或更多的因素时,通常利用画树状图的方法求概率. 2.概率如下:(1)画树状图; (2)列出结果,确定公式P(A)= 中m和n的值; (3)利用公式P(A)= 计算事件的概率. 题型专练 题型1. 直接列举法求概率 【例1】(2025 黑龙江齐齐哈尔 中考真题)假定鸟卵孵化后,雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化,那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是( ) A. B. C. D. 【例2】(2025 河南驻马店 三模)将数字1,2,3随机填入到右面的方格中,摆出的三位数是4的倍数的概率是 . 【变式1】(24-25九年级上 云南红河 阶段练习)投掷一枚质地均匀的硬币两次,出现一正一反朝上的可能性是( ) A. B. C. D. 【变式2】(24-25九年级上 福建福州 阶段练习)有四条线段,长度分别是4,6,8,10,从中任取三条能构成直角三角形的概率是( ) A. B. C. D. 【变式3】(2025 安徽宣城 一模)如图所示的电路中,当随机闭合开关、、中的两个时,灯泡能发光的概率为 . 【变式4】(2025 江苏南京 三模)桌面上倒扣着3个不透明的纸杯,其中2个纸杯中放有小球. (1)随机翻开1个纸杯,其中放有小球的概率是_; (2)随机翻开2个纸杯,求2个纸杯中均放有小球的概率. 【变式5】(2025 江苏南京 一模)从一副扑克牌中选取7张牌,分成左右两堆.左边四张牌的牌面数字分别是3,4,5,6,右边三张牌的牌面数字分别是3,4,5,将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上. (1)从左边的牌中随机抽取一张牌,抽出牌面数字是偶数的概率是 ; (2)从两堆牌中各随机抽取一张牌,求抽出的两张牌数字相同的概率. 题型2. 列表法或树状图法求概率 【例1】(2025 甘肃兰州 中考真题)现有甲、乙两个不透明盒子,其中甲盒装有分别写着d,t,l的三张声母卡片,乙盒装有分别写着a,e,i的三张韵母卡片(卡片除汉语拼音字母外,其余完全相同),若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片,则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是( ) A. B. C. D. 【例2】(2025 山东青岛 中考真题)京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世,京剧的角色有生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片,正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物,卡片除正面图案外其余都相同.将这4张卡片背面朝上洗匀,先随机抽取一张,再从剩下的3张中随机抽取一张.利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果,并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率. 【变式1】(2025 河南 中考真题)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字,代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是( ) A. B. C. D. 【变式2】(2025 广西 中考真题)从三个数字中任选两个,则选出的两个数字之和是偶数的概率为 . 【变式3】(2025 吉林长春 中考真题)长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场,以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名.甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场,它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出.用画树状图(或列表)的方法,求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率. 【变式4】(2025 湖南长沙 中考真题)2025年5月18日,湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行.论坛聚焦美育与阅读融合.为探索美育与阅读融合的新路径,某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛,竞赛成绩以等级式呈现,随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计,得到如下两幅待完善的统计图表.(A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格.) 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息,解答下列问题: (1)本次调查随机抽取了_名学生的成绩;表中_,_; (2)在扇形统计图中,“A等”所对应的扇形的圆心角为_度; (3)若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”,从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动,请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率. 题型3. 游戏公平性问题 【例1】(2025七年级上 广东 专题练习)用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球,公平的方式有( )种. A.1 B.2 C.3 D.4 【例2】(24-25九年级上 广东江门 期末)甲、乙两人玩扑克牌游戏,游戏规则是:从牌面数字分别为2,3,4的三张扑克牌中,随机抽取一张,放回后,再随机抽取一张,若所抽取的两张牌面数字的和为奇数,则甲获胜;若所抽取的两张牌面数字的和为偶数,则乙获胜.这个游戏 .(填“公平”或“不公平”) 【变式1】(24-25七年级下 河南郑州 期中)一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球,这些小球除颜色外都相同,小明、小芳、小雪三人先后去摸球,每人每次只能摸出一个球,每次摸出球后放回,摸出红球的人获得礼品(可以所有人都获得礼品).你觉得这个游戏( ) A.对所有人都公平 B.无法判断是否公平 C.先摸者获得礼品的可能性大 D.后摸者获得礼品的可能性大 【变式2】(24-25七年级下 陕西咸阳 期末)国庆假期,小明一家准备去西安某景点旅游,出发前需要采购一些生活用品,小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购.小明抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别标有数字),若向上的点数是3的倍数,则妈妈去;若向上的点数不是3的倍数,则爸爸去. (1)上述方式公平吗?请说明理由; (2)为了能使游戏更为公平,请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则,并说明你的设计依据. 【变式3】(24-25七年级下 广东河源 期末)如图,一个可自由转动的转盘被平均分成6等份,分别标有2,3,4,5,6,7这6个数字.转动转盘,当转盘停止时,指针指向的数字即为转出的数字,指针指到分隔线无效,需要重新转动.两人参与游戏:一人转动转盘,一人猜数,若所猜数字与转出的数字相符,则猜数的人获胜,否则转动转盘的人获胜.如果轮到你猜数,请你设计一种更容易获胜的猜数规则(不限转动次数),并说明理由. 【变式4】(24-25七年级下 山东威海 期末)如图,有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子,其中的1个面标有“1”,2个面标有“2”,3个面标有“3”,4个面标有“4”,5个面标有“5”,其余的面标有“6”. (1)任意掷这枚骰子,掷出面标有“6”的概率是 ; (2)任意掷这枚骰子,掷出面标有“3的倍数”的概率是 ; (3)小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏,任意掷这枚骰子,掷出“奇数”朝上小明获胜,掷出“偶数”朝上小颖获胜,这个游戏公平吗?请说明理由. 巩固练习 一、单选题 1.(2025 安徽合肥 二模)某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本进行阅读,这四本书分别用相同的卡片、、、标记,先随机抽取一张卡片后不放回,再随机抽取一张卡片,则该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率是( ) A. B. C. D. 2.(2025 安徽芜湖 三模)月日是国际数学节某校数学组在今年的数学节活动中策划了“解密风云”“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏,如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏,那么他们选择相同游戏的概率是( ) A. B. C. D. 3.(24-25七年级下 广东清远 期末)一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球,其中3个红球、2个白球.下列说法错误的是( ) A.摸出1个球是红球的概率是 B.摸出1个球是白球的概率是 C.一次摸出4个球至少有2个是红球 D.一次摸出2个球至少有1个是白球 4.(2025 河南驻马店 三模)两只蚂蚁从点A爬到点B吃食物残渣,从点A到点B一共有三条路可以选择,两只蚂蚁随机选择,则两只蚂蚁选择同一条路的概率是( ) A. B. C. D. 5.(2025 广东深圳 模拟预测)小明得知深圳有优必选、智平方、逐际动力、众擎这四大通用型机器人公司可供参观,他打算从中选两个,则众擎公司被选中的概率为( ) A. B. C. D. 6.(2025 河北邯郸 三模)如图,沿虚线把两张形状、大小相同的风景图片(背面完全相同)均剪成形状、大小相同的两部分,将得到的四张图片背面朝上洗匀后,从中随机抽出两张,这两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的概率是( ) A. B. C. D. 7.(2025 河南南阳 三模)如图,电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡,闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光,任意闭合电路上其中的两个开关,小灯泡发光的概率为( ) A. B. C. D. 8.(2025 贵州 二模)周末,小梅的爸爸想带她和弟弟到贵阳市黔灵山公园或花溪湿地公园游玩,爸爸将两个公园名称分别写在两张相同的卡片上,让姐弟俩随机抽取.弟弟随机抽取一张后,放回并混在一起,姐姐再随机抽取一张,姐姐和弟弟抽取的公园名称相同的概率是( ) A. B. C. D.1 9.(2025 山西 一模)明明和亮亮两人用如图所示的正四面体(每个面上分别刻有数字0,1,2,)做游戏,两人各掷两次四面体,四面体与地面接触的数字之和为奇数,则明明胜;和为偶数,则亮亮胜,你对这个游戏公平性的评价是( ) A.公平 B.对明明有利 C.对亮亮有利 D.无法判断 10.(24-25九年级下 广东广州 阶段练习)四张材质、大小完全相同的卡片上涂画如图所示的图案,从中随机抽取两张,则抽到的两张都是中心对称图形的概率是( ) A. B. C. D. 二、填空题 11.(2025 贵州遵义 模拟预测)从现有的三个数,1,2中任选不重复的两个数,分别作点A的横坐标和纵坐标,则点A位于第一象限的概率是 . 12.(2025 贵州遵义 模拟预测)有四张完全一样正面分别写有“中”“考”“必”“胜”的卡片,将其背面朝上并洗匀,从中随机抽取一张,记下卡片正面上的汉字后,再从中随机抽取一张,则抽取的两张卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是 . 13.(2025 重庆 模拟预测)如图,有两个转盘,转盘A被分成两等份,分别标有数字1,2,转盘B被分成三等份,分别标有数字1,2,3,转动两个转盘各一次,指针指向的数字相同的概率是 . 14.(2025 黑龙江哈尔滨 模拟预测)在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”,将这3张小纸条做成3支签,放在不透明的盒子中搅匀.甲、乙两人通过抽签分胜负,规定:“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回),乙再从余下的2支签中任意抽出1支签,则甲取胜的概率为 . 15.(2025 黑龙江 中考真题)如图,随机闭合开关中的两个,能让两盏灯泡同时发光的概率为 . 16.(2025 山西 中考真题)如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图,程序规则为:每点击一次按钮,“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时,小明连续点击两次按钮,“”回到格子A的概率是 . 17.(2025 湖北十堰 模拟预测)小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游,如图,买了同车同排四张高铁票,上车后随机坐到这四个位置(深色B,C,D,F),乘务员验票时发现是一家四口的座位,但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置,请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 . 18.(2025 湖南长沙 模拟预测)如图,正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈,小雅设计了一个跳圈游戏,规则是投掷两枚六个面点数分别为1,2,3,4,5,6的骰子,向上的一面上的点数是几,游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长.如若从圈起跳,一个掷得3,另一个掷得4,就先顺时针连续跳3个边长落到圈,再从开始顺时针连续跳4个边长落到圈.设游戏者从圈起跳,则一次游戏后能够回到的概率是 . 19.(24-25七年级下 山东青岛 期中)甲、乙两人做游戏,他们任意掷一枚质地均匀的骰子,若掷出的点数是奇数,则甲赢;若掷出的点数是偶数,则乙赢.这个游戏对甲、乙来说是 的.(填“公平”或“不公平”) 20.(2025 河南驻马店 三模)早在宋代,我国就出现了类似转盘抽奖之类的销售方式,称为“关扑买卖”,又称“扑买”或“扑卖”.图1为宋代人在集市上“转盘抽奖”的情形.某商店制作了如图2所示的转盘,该转盘被平均分成3个扇形区域,分别涂有白、红、黄三种颜色,指针固定.在该商店消费一定数额后即有一次转动转盘抽奖的机会,当转盘停止转动时,指针指向红色区域(若指针指在分界线上,则重转)即可得到一个小礼品.若小刚有两次转动转盘抽奖的机会,则他能得到小礼品的概率是 . 三、解答题 21.(2025 广东惠州 三模)以下为四名学生初三六次数学考试的成绩.(单位:分) 甲:116,115,113,110,117,116; 乙:111,114,108,110,118,117; 丙:105,103,111,115,117,118; 丁:112,110,101,106,114,117. (1)分别求四名学生的平均分; (2)若在这四名学生中任选两名参加数学竞赛,求选出的两名学生的平均分都高于112分的概率. 22.(2025 吉林 中考真题)在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下,某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动.由于参加的人数较多,场地空间有限,活动需分A,B,C三组进行,每人只能被随机分配到其中一组,分组工作由计算机软件完成.请用画树状图或列表的方法,求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率. 23.(2025 云南昆明 三模)春,是茶的盛事;茶,是景迈山给世人的馈赠.千年茶山年年春,世界遗产普洱景迈山2025年春茶季系列活动自3月下旬启幕,将持续至5月!其中,“醒春山”系列活动分为:A澜沧古茶“回家之旅”,B柏联寻茶之旅,C九泽茶窖春茶季大型活动.甲、乙两名同学准备前往一睹盛况,各自随机选择A、B、C三个活动中的一个,二人选择哪个活动不受任何因素影响,每一个活动被选到的可能性相同.记甲同学的选择为x,乙同学的选择为y. (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法,求所有可能出现的结果总数; (2)求甲和乙选到不同活动的概率. 24.(2025 云南临沧 一模)为了弘扬中华优秀传统文化,丰富校园文化生活,某校积极筹备校园艺术节,九年级(1)班、九年级(2)班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演学校把这三个节目名分别写在三张完全相同的不透明的卡片的正面,然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上九年级(1)班同学先从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的节目后放回,九年级(2)班同学再从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的节目记九年级(1)班同学表演的节目为,九年级(2)班同学表演的节目为. (1)请用列表法或画树状图法,求所有可能出现的结果总数. (2)求该校九年级(1)班、九年级(2)班同学表演不同节目的概率. 25.(24-25八年级下 江苏苏州 期末)如图,惠游园区“转转卡”涵盖园区六大核心景点,持有人可根据表中规定,在“超值权益”和“特惠权益”中各选一项产品体验.小明购买“转转卡”后,计划在有效期内随机选择两项产品体验. 权益 产品 备注 超值权益 A.“苏州之眼”摩天轮单人票 二选一 B.华谊兄弟电影世界单人票 特惠权益 C.金鸡湖游船(登岛)单人票 四选一 D.苏艺国风剧场单人票 E.比斯特苏州购物村双人下午茶 F.嘉德 宥爱艺术中心单人票 (1)小明在“超值权益”中选择A产品的概率是_; (2)求小明选择A产品和C产品的概率.(用画树状图或列表等方法说明) 26.(2025 江苏苏州 中考真题)为了弘扬社会主义核心价值观,学校决定组织“立鸿鹄之志,做有为少年”主题观影活动,建议同学们利用周末时间自主观看.现有共3部电影,甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看. (1)甲同学选择A电影的概率为_; (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由) 27.(24-25九年级上 福建厦门 阶段练习)某周末甲、乙两人外出参观游玩,各自随机选择到白城沙滩、厦门大学、山海步道、厦门方特四个地点中的一个地点参观游玩.假设这两人选择到哪个地点参观游玩不受任何因素影响,且上述四个地点中的每个被选到的可能性相同. (1)甲选择到厦门方特参观游玩的概率为_. (2)用列表法或画树状图法,求甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的概率. 28.(24-25九年级上 陕西西安 阶段练习)如图,有一旅游景区在原有布局结构不变的情况下,为了方便游客进出,在内道门处设有A,B两个出入口,外道门处设有C,D,E三个出入口,小宇同学游览结束后,要先随机经过内道门(A或B),再随机经过外道门(C或D或E)才能出去. (1)小宇经过内道门时,从B口出去的概率是 ; (2)请用画树状图或列表的方法表示小宇经过内、外两道门走出景区的所有可能情况,并求小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率. 29.(2025 福建南平 三模)小明和小亮要去某风景区游玩,每天某一时段开往该风景区的汽车有三辆(舒适程度不同,票价相同),但他们不知道这些车开过来的顺序.如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等,请尝试着解决下面的问题: (1)三辆车按出现的先后顺序,其舒适程度共有哪几种不同的可能? (2)如果计划小明乘开来的第一辆车,小亮不乘第一辆车,并且仔细观察第二辆车的情况,若比第一辆车好,就乘第二辆车;若不比第一辆车好,就乘第三辆车.判断小明和小亮谁乘坐舒适程度为上等的车的可能性更大,并说明理由. 30.(2025 陕西渭南 三模)《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生群体中掀起了古诗词的热潮.喜欢古诗的小明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片,并在卡片正面分别写上诗句: A.“长风破浪会有时,直挂云帆济沧海.”; B.“清明时节雨纷纷,路上行人欲断魂.”; C.“忽如一夜春风来,千树万树梨花开.”; D.“借问酒家何处有,牧童遥指杏花村.”,两人商量将卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,并说出所抽卡片上诗句的作者和诗名. (1)从这四张卡片中随机抽取一张,则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时,直挂云帆济沧海.”的概率是_; (2)小明先从这四张卡片中随机抽取了一张,不放回,小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张,请用列表或画树状图的方法,求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$