2026届高三物理一轮复习讲义专题强化20：带电粒子在组合场中的运动

专题强化二十　带电粒子在组合场中的运动 【复习目标】 1.学会处理带电粒子在磁场和磁场组合场中的运动。 2.学会处理带电粒子在磁场和电场组合场中的运动。 【知识梳理】 1.组合场 电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现。 2.分析思路 (1)画运动轨迹:根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点:确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程:将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3.“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v0⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F＝qE 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 求解方法 利用类平抛运动的规律得x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 根据牛顿第二定律和向心力公式可得qvB＝m，T＝，t＝T 动能 静电力做的功等于动能变化量 洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变 考点一　磁场与磁场组合 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 【典例剖析】 例1 如图所示，在直角坐标系中的y轴和x＝10L的虚线之间以x轴为边界存在两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，区域Ⅱ磁场方向垂直于纸面向里。一粒子加速器放置在y轴上，其出射口P点坐标为，其加速电压可调。质量为m、电荷量为q的粒子经加速器由静止加速后平行于x轴射入区域Ⅰ，粒子重力忽略不计。 (1)调节加速电压，粒子恰好从O点射出磁场，求加速电压的大小U; (2)若区域Ⅱ磁感应强度大小为B，如果粒子恰好不从y轴射出，求粒子从P点射出后第二次经过x轴所用时间t; (3)在第(2)问的情形中，求粒子经过x轴的点的横坐标值。 考点二　电场与磁场组合 1.带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 2.带电粒子在匀强电场中做类平抛(或类斜抛)运动，在磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 角度1　先电场后磁场 【典例剖析】 例2 (2023·辽宁卷，14)如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 (1)求金属板间电势差U; (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ; (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 角度2　先磁场后电场 【典例剖析】 例3 (2025·福建泉州一模)利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy平面(纸面)内，x<x1的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的x1<x<x2区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从原点O处以大小为v0的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角θ＝60°，一段时间后垂直x＝x1虚线边界进入电场。已知x1＝L，x2＝L，区域Ⅱ中电场的电场强度E＝。求: (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B; (2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t; (3)粒子离开电场时的速度大小v。 角度3　带电粒子在电场、磁场中的交替运动 【典例剖析】 例4 (2025·江苏南京模拟)如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，电场强度沿y轴负方向;在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的P1点时速率为v0，方向沿x轴正方向，然后经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h处的P3点，不计重力，求: (1)粒子到达P2点时速度v的大小和方向; (2)磁感应强度B的大小; (3)粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间。 【限时训练】（40min） 1.如图在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。若粒子重力不计，则粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 2.(多选)(2025·湖北恩施模拟)如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，P(－L，0)、Q(0，－L)为坐标轴上的两个点。现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力)，以与x轴正向成45°的速度v从P点射入磁场，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对粒子从P运动到Q的过程描述正确的是(　　) A.粒子运动的总路程一定为 B.粒子运动的最短时间为 C.粒子从P点运动至Q点动量变化量大小为2mv D.粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为1∶3 3.(多选)(2025·河南郑州模拟)如图所示，P、Q两个平行金属板之间的电压为U，虚线AC上方有垂直纸面向外的匀强磁场，AC下方存在电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于AC，且垂直于磁场方向。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计粒子重力)从靠近P板的S点由静止开始做加速运动，从小孔M沿垂直于磁场的方向进入匀强磁场中，速度方向与边界线的夹角θ＝60°，粒子恰好从小孔D垂直于AC射入匀强电场，最后打在N点，已知AD＝L，AN＝2L，则下列说法正确的是(　　) A.粒子从小孔M进入磁场时的速度大小为2 B.粒子在磁场中做圆周运动的半径为L C.匀强磁场的磁感应强度大小为 D.匀强电场的电场强度大小为 4.如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，已知左侧匀强电场的电场强度大小为E、方向水平向右，宽度为L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外;右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子(质量为m、电荷量为q、不计重力)从电场左边缘O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了O点，然后重复上述运动过程，则中间磁场区域的宽度d和带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点时所用的时间t分别是(　　) A.、2 B.、2 C.、2 D.、2 5.如图所示，虚线ab上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场Ⅰ，下方存在方向相同、磁感应强度大小为λB的匀强磁场Ⅱ，虚线ab为两磁场的分界线。M、O、N位于分界线上，点O为MN的中点。一电子从O点射入磁场Ⅰ，速度方向与分界线ab的夹角为30°，电子离开O点后依次经N、M两点回到O点。已知电子的质量为m，电荷量为e，重力不计，求: (1)λ的值; (2)电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间。 6.如图所示，在xOy平面内虚线OM与x轴负方向的夹角为45°，虚线OM右侧区域Ⅰ内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，虚线OM左侧区域Ⅱ内存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从原点O沿x轴正方向以速度v0射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线OM后恰好能到达x轴上的P点。原点O与P点间的距离为d，不计粒子受到的重力，求: (1)匀强磁场的磁感应强度大小B; (2)匀强电场的电场强度大小E; (3)粒子从O点射出至第三次穿过边界线OM所用的时间t总。 7.(2024·江苏卷，16)如图所示，两个半圆环区域abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场，区域内、外边界的半径分别为R1、R2。ab与a'b'间有一个匀强电场，电势差为U，cd与c'd'间有一个插入体，电子每次经过插入体速度减小为原来的k倍。现有一个质量为m、电荷量为e的电子，从cd面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达cd面，速度增加，多次循环运动后，电子的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，不计电子经过插入体和电场的时间。求: (1)电子进入插入体前后在磁场中运动的半径r1、r2之比; (2)电子多次循环后到达cd的稳定速度v; (3)若电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界d，求电子从P到d的时间t。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化二十　带电粒子在组合场中的运动 【复习目标】 1.学会处理带电粒子在磁场和磁场组合场中的运动。 2.学会处理带电粒子在磁场和电场组合场中的运动。 【知识梳理】 1.组合场 电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现。 2.分析思路 (1)画运动轨迹:根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点:确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程:将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3.“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v0⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F＝qE 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 求解方法 利用类平抛运动的规律得x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 根据牛顿第二定律和向心力公式可得qvB＝m，T＝，t＝T 动能 静电力做的功等于动能变化量 洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变 考点一　磁场与磁场组合 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 【典例剖析】 例1 如图所示，在直角坐标系中的y轴和x＝10L的虚线之间以x轴为边界存在两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，区域Ⅱ磁场方向垂直于纸面向里。一粒子加速器放置在y轴上，其出射口P点坐标为，其加速电压可调。质量为m、电荷量为q的粒子经加速器由静止加速后平行于x轴射入区域Ⅰ，粒子重力忽略不计。 (1)调节加速电压，粒子恰好从O点射出磁场，求加速电压的大小U; (2)若区域Ⅱ磁感应强度大小为B，如果粒子恰好不从y轴射出，求粒子从P点射出后第二次经过x轴所用时间t; (3)在第(2)问的情形中，求粒子经过x轴的点的横坐标值。 答案　(1)　(2)　 (3)xn＝(2n－1)(2－)L(n＝0，1，…，19) 解析　(1)粒子在加速过程有qU＝mv2 粒子恰好从O点射出磁场，在磁场Ⅰ中的轨迹为半圆，故半径为r＝ 在磁场Ⅰ中偏转过程，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，联立可解得U＝。 (2)能使粒子恰好不从y轴射出的临界情况是第一次在Ⅱ区域中偏转的运动轨迹与y轴相切，如图所示 有r1＝r2 由几何关系知(r1＋r2)sin α＝r2 解得α＝30° 圆周运动周期为T＝ 粒子第二次经过x轴所用时间为 t＝T＋T＝。 (3)根据第(2)问的情形解得r1(1＋cos 30°)＝L 解得r1＝r2＝2(2－)L 第一次经过x轴时的坐标x1＝r1sin 30°＝(2－)L 第二次经过x轴时的坐标x2＝3r1sin 30°＝3(2－)L …… 第n次经过x轴时的坐标 xn＝(2n－1)r1sin 30°＝(2n－1)(2－)L 因xn＝(2n－1)(2－)L<10L，可得n<19.2 则坐标为xn＝(2n－1)(2－)L(n＝0，1，…，19)。 考点二　电场与磁场组合 1.带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 2.带电粒子在匀强电场中做类平抛(或类斜抛)运动，在磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 角度1　先电场后磁场 【典例剖析】 例2 (2023·辽宁卷，14)如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 (1)求金属板间电势差U; (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ; (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 答案　(1)　(2)60°　(3)见解析图 解析　(1)设平行金属板间距为d，则平行金属板板长为d，粒子在两平行金属板间做类平抛运动 水平方向:d＝v0t 竖直方向:d＝t 又vy＝t 联立解得U＝。 (2)粒子进入磁场时的速度v＝v0 设速度方向与水平方向的夹角为α，有 tan α＝ 则α＝30° 由qvB＝得 粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝ 已知圆形磁场半径R＝，则r＝R 作出粒子在磁场中的运动轨迹，如图甲所示 粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ与粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何关系可得tan 故θ＝60°。 (3)根据几何关系， 将磁场圆绕O'点顺时针旋转，当O点转到M点，粒子在磁场中的运动轨迹相应的弦为磁场圆的直径时，粒子在磁场中的运动时间最长。作出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的磁场圆的圆心M，如图乙所示。 角度2　先磁场后电场 【典例剖析】 例3 (2025·福建泉州一模)利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy平面(纸面)内，x<x1的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的x1<x<x2区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从原点O处以大小为v0的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角θ＝60°，一段时间后垂直x＝x1虚线边界进入电场。已知x1＝L，x2＝L，区域Ⅱ中电场的电场强度E＝。求: (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B; (2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t; (3)粒子离开电场时的速度大小v。 答案　(1)　(2)　(3)v0 解析　(1)粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，设半径为R，由几何关系可得Rcos θ＝L 又qv0B＝m 解得区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B＝。 (2)粒子在磁场中运动圆轨迹所对的圆心角为120°，设运动时间为t1，则t1＝T 其中T＝ 粒子在电场中做类平拋运动，设该粒子的加速度大小为a，在电场中运动时间为t2，沿y轴负方向运动的距离为h，则有qE＝ma x2－x1＝v0t2 解得t2＝ 其中h＝a 解得h＝ 由于h<R＋Rcos θ＝3L 粒子从电场边界离开，则总时间t＝t1＋t2 解得t＝。 (3)由动能定理得qEh＝mv2－m 解得v＝v0。 角度3　带电粒子在电场、磁场中的交替运动 【典例剖析】 例4 (2025·江苏南京模拟)如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，电场强度沿y轴负方向;在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的P1点时速率为v0，方向沿x轴正方向，然后经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h处的P3点，不计重力，求: (1)粒子到达P2点时速度v的大小和方向; (2)磁感应强度B的大小; (3)粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间。 答案　(1)v0，方向与x轴正方向成45°斜向右下方　(2)　(3) 解析　(1)粒子在电场中做类平抛运动，设粒子到达P2点时速度v1与x轴正方向的夹角为α，根据平抛运动的推论得tan α＝ 解得α＝45° 粒子到达P2点时速度v的大小为v＝v0 粒子到达P2点时速度v的大小为v0，方向与x轴正方向成45°斜向右下方。 (2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得qvB＝m P2P3是带电粒子在磁场中圆周运动的直径，根据勾股定理得 (2h)2＋(2h)2＝(2r)2 解得r＝h，B＝。 (3)粒子运动轨迹如图所示，粒子从P1到P2的时间为t1＝ 粒子从P2第一次回到x轴的时间t2＝T T＝，解得t2＝ 粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间 t＝3t1＋2t2 解得t＝。 【限时训练】（40min） 1.如图在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。若粒子重力不计，则粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　粒子在磁场中的第二象限和第一象限的运动轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得R1＝，R2＝，根据几何关系可得cos θ＝，解得θ＝60°，粒子在第二象限、第一象限做圆周运动的周期分别为T1＝，T2＝，则带电粒子在第二象限、第一象限中运动的时间分别为t1＝，t2＝T2，则粒子在磁场中运动的时间t＝t1＋t2＝，故D正确。 2.(多选)(2025·湖北恩施模拟)如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，P(－L，0)、Q(0，－L)为坐标轴上的两个点。现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力)，以与x轴正向成45°的速度v从P点射入磁场，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对粒子从P运动到Q的过程描述正确的是(　　) A.粒子运动的总路程一定为 B.粒子运动的最短时间为 C.粒子从P点运动至Q点动量变化量大小为2mv D.粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为1∶3 答案　BD 解析　若粒子从P点出发恰好经原点O到达Q点，运动轨迹可能如图甲、乙所示，图甲中粒子运动的总路程为s1＝πr1＝πL，图乙中粒子运动的总路程为s2＝2×2πr2＝2×2π×L＝πL，故A错误;粒子运动的周期为T＝，根据粒子的运动轨迹图可知，图甲中粒子运动的时间最短，tmin＝·，故B正确;根据粒子的运动轨迹图可知，图甲中粒子从P到Q的动量变化量大小为2mv，图乙中粒子从P到Q的动量变化量大小是0，C错误;由于粒子在磁场中运动的周期相同，由t＝T知粒子运动的时间之比等于圆心角之比，根据粒子的运动轨迹图可知，图甲中粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1∶1，图乙中粒子从P到O的时间为t1＝2×T＝T，粒子从O到Q的时间为t2＝2×T＝T，可得t1∶t2＝1∶3，故D正确。 3.(多选)(2025·河南郑州模拟)如图所示，P、Q两个平行金属板之间的电压为U，虚线AC上方有垂直纸面向外的匀强磁场，AC下方存在电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于AC，且垂直于磁场方向。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计粒子重力)从靠近P板的S点由静止开始做加速运动，从小孔M沿垂直于磁场的方向进入匀强磁场中，速度方向与边界线的夹角θ＝60°，粒子恰好从小孔D垂直于AC射入匀强电场，最后打在N点，已知AD＝L，AN＝2L，则下列说法正确的是(　　) A.粒子从小孔M进入磁场时的速度大小为2 B.粒子在磁场中做圆周运动的半径为L C.匀强磁场的磁感应强度大小为 D.匀强电场的电场强度大小为 答案　BC 解析　粒子在电场中加速，由动能定理得qU＝mv2，可得带电粒子从小孔M沿垂直于磁场方向进入磁场的速度大小v＝，故A错误;画出粒子运动的轨迹如图所示(O为粒子在磁场中做圆周运动的圆心)，∠MOD＝120°，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，则r＋rcos 60°＝AD＝L得r＝L，故B正确;粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m，磁感应强度大小B＝，故C正确;粒子在电场中做类平抛运动，加速度a＝，垂直于电场方向有2L＝vt，沿电场方向有L＝at2，电场强度大小E＝，故D错误。 4.如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，已知左侧匀强电场的电场强度大小为E、方向水平向右，宽度为L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外;右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子(质量为m、电荷量为q、不计重力)从电场左边缘O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了O点，然后重复上述运动过程，则中间磁场区域的宽度d和带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点时所用的时间t分别是(　　) A.、2 B.、2 C.、2 D.、2 答案　B 解析　带电粒子在电场中加速过程，根据动能定理得qEL＝mv2，得v＝，粒子在两磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律qvB＝m，得r＝。画出粒子的运动轨迹，如图所示，三段圆弧的圆心构成的三角形是等边三角形，边长为2r，故中间磁场的宽度为d＝rsin 60°＝，粒子在电场中做匀变速直线运动，加速阶段由运动学公式L＝a，根据牛顿第二定律得a＝，解得t1＝，在中间磁场中所用时间t2＝2×，在右侧磁场中的运动时间t3＝，总时间为t＝2t1＋t2＋t3＝2，故B正确。 5.如图所示，虚线ab上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场Ⅰ，下方存在方向相同、磁感应强度大小为λB的匀强磁场Ⅱ，虚线ab为两磁场的分界线。M、O、N位于分界线上，点O为MN的中点。一电子从O点射入磁场Ⅰ，速度方向与分界线ab的夹角为30°，电子离开O点后依次经N、M两点回到O点。已知电子的质量为m，电荷量为e，重力不计，求: (1)λ的值; (2)电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间。 答案　(1)　(2) 解析　(1)电子在磁场中的运动轨迹如图所示。 设电子在匀强磁场Ⅰ、Ⅱ中做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，电子在磁场中做匀速圆周运动有evB＝① evλB＝② 由于最终能回到O点，由几何关系，可得 r2＝2r1③ 联立①②③，解得λ＝ 。 (2)电子在磁场Ⅰ中的运动周期T1＝ 电子在磁场Ⅱ中的运动周期T2＝ 设电子经过三段轨迹的时间分别为t1、t2、t3，由几何关系可得 O到N的圆心角为60°，则t1＝T1 N到M的圆心角为300°，则t2＝T2 M到O的圆心角为60°，则t3＝T1 电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间为t＝t1＋t2＋t3 联立以上式子，解得t＝。 6.如图所示，在xOy平面内虚线OM与x轴负方向的夹角为45°，虚线OM右侧区域Ⅰ内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，虚线OM左侧区域Ⅱ内存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从原点O沿x轴正方向以速度v0射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线OM后恰好能到达x轴上的P点。原点O与P点间的距离为d，不计粒子受到的重力，求: (1)匀强磁场的磁感应强度大小B; (2)匀强电场的电场强度大小E; (3)粒子从O点射出至第三次穿过边界线OM所用的时间t总。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　由题意，可画出粒子在磁场和电场中的运动轨迹如图所示。 (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有 qv0B＝m，r＝d 解得B＝。 (2)粒子在电场中做匀减速运动，由动能定理得 －qEd＝0－m 则E＝。 (3)粒子在磁场中运动的周期为T＝ 粒子第一次在磁场中运动的时间为t1＝T＝ 在电场中的加速度为a＝ 粒子第一次在电场中来回的时间为 t2＝2× 粒子第二次在磁场中运动的时间为t3＝T＝ 粒子从O点射出至第三次穿过边界线OM的时间t＝t1＋t2＋t3＝(π＋2)。 7.(2024·江苏卷，16)如图所示，两个半圆环区域abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场，区域内、外边界的半径分别为R1、R2。ab与a'b'间有一个匀强电场，电势差为U，cd与c'd'间有一个插入体，电子每次经过插入体速度减小为原来的k倍。现有一个质量为m、电荷量为e的电子，从cd面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达cd面，速度增加，多次循环运动后，电子的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，不计电子经过插入体和电场的时间。求: (1)电子进入插入体前后在磁场中运动的半径r1、r2之比; (2)电子多次循环后到达cd的稳定速度v; (3)若电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界d，求电子从P到d的时间t。 答案　(1)　(2) (3) 解析　(1)设电子进入插入体前的速度大小为v0，电子经过插入体前后由洛伦兹力提供向心力有ev0B＝m，e·kv0B＝m 联立解得。 (2)电子多次循环稳定后对电子从c'd'出发经电场到ab的过程，由动能定理有 eU＝mv2－m(kv)2 解得v＝。 (3)结合(2)问分析，当电子到达cd中点P时速度稳定后，其在abcd区域运动有evB＝m 解得r＝ 结合(1)问分析可知，电子在a'b'c'd'区域运动的半径为r'＝ 所以电子相邻两次经过cd边的位置间的距离为 l＝2(r－r') 由几何关系可知＝nl 又电子在磁场中运动的周期为T＝ 联立解得电子从P运动到d的时间为t＝nT＝。 学科网（北京）股份有限公司 $$