2.5.1　直线与圆的位置关系 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1　直线与圆的位置关系 同步练习 考点一　直线与圆的位置关系 1. 圆x2+(y+1)2=1与直线x+2y+3=0的位置关系是(　　) A.相交　　B.相切 C.相离　　D.不能确定 2. 直线ax+(a-1)y+a=0(a∈R)与圆x2+y2=4的位置关系是(　　) A.相交　　B.相切　　 C.相离　　D.与a的取值有关 3.(多选题) 已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中正确的是(　　) A.对任意实数k和θ,直线l和圆M都有公共点 B.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切 C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切 D.存在实数k与θ,使得圆M上有一点到直线l的距离为3 4.(多选题) 已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10　　 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时,|PB|=3　　 D.当∠PBA最大时,|PB|=3 5. 已知直线mx-y-m-1=0,圆x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线: (1)有两个公共点? (2)只有一个公共点? (3)没有公共点? 6. 在平面直角坐标系Oxy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上. (1)求圆C的方程; (2)如果圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求实数a的值. 考点二　圆的相交弦问题 7.(多选题) 已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=25,直线l:(3m+1)x+(m+1)y-4m-2=0,直线l与圆C交于A,B两点,则(　　) A.直线l恒过定点(1,1)　　 B.当m=时,弦AB最长 C.当m=-时,弦AB最短　　 D.|AB|min=2 8. 若直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,且|MN|=2,则k等于(　　) A.0　　B.-　　C.-或0　　D.-或0 9. 已知圆C:x2+y2=1,则经过圆C内一点P且被圆所截得的弦最短的直线的方程为(　　) A.3x-6y-5=0　　B.3x-6y+5=0　　 C.x-y+1=0　　D.6x-3y+4=0 10. 已知直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△EOF(O是原点)的面积为(　　) A.　　B.　　C.2　　D. 11. 已知直线xsin θ+2ycos θ=2(θ∈R)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,则|AB|的最大值为　　　　.  12. 已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求m的值. 13. 已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,当|MN|=2时,求直线l的方程. 考点三　圆的切线问题 14. 过点P(2,4)向圆(x-1)2+(y-1)2=1引切线,则切线的方程为(　　) A.x=-2或4x+3y-4=0　　　B.4x-3y+4=0 C.x=2或4x-3y+4=0　　　D.4x+3y-4=0 15. 由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为　　　　.  16. 过点P(2,2)作圆C:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为　　　　　　　.  17. 过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则△ABP的外接圆的方程是　　　　.  18. 在平面直角坐标系Oxy中,圆C:(x-1)2+y2=4,直线l:x+y+m=0. (1)若直线l与圆C相切于点N,求切点N的坐标; (2)若m>0,直线l上有且仅有一点A满足:过点A作圆C的两条切线AP,AQ,切点分别为P,Q,且四边形APCQ为正方形,求m的值. 考点四　直线与圆的位置关系的综合应用 19.已知点A(0,1),B(1,0),C(t,0),M是直线AC上的动点,若|MA|≤2|MB|恒成立,则最小正整数t=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 20.已知P(x,y)是圆C:(x-1)2+(y-2)2=1上任意一点,若|x+y+a|+|1-x-y|的取值与x、y无关,则实数a的取值范围是　　　　.  21.已知圆O:x2+y2=1和直线l:x+y-2=0,圆P以点(-1,-2)为圆心,且直线l被圆P所截得的弦长为. (1)求圆P的方程; (2)设M为圆P上任意一点,过点M向圆O引一条切线,切点为N,试探究平面内是否存在一定点R,使得为定值,若存在,请求出定点R的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由. 22.如图,某公园内有一底面半径为2米的圆柱形建筑物,在其南面有一条东西走向的观景直道(图中用实线表示),建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道(图中用虚线表示),观景直道与辅道相距5米.在建筑物底面中心O的北偏东45°方向且相距10米的点A处,有一台360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系,并解决问题: (1)在西辅道上与建筑物底面中心O相距4米处有一游客,他是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 答案 1.A　由已知可得圆的圆心为(0,-1),半径为1, 圆心到直线x+2y+3=0的距离d==<1, ∴直线与圆的位置关系为相交. 2.A　直线方程ax+(a-1)y+a=0可化为(x+y+1)a-y=0, 令解得因此直线ax+(a-1)y+a=0过定点(-1,0), 又点(-1,0)在圆x2+y2=4内,所以直线与圆相交. 3.AC　圆心M(-cos θ,sin θ)到直线l的距离d===|sin(θ+φ)|,其中tan φ=k.∵d≤1,∴直线l与圆M恒有公共点,故A正确.当θ=0时,d=<1恒成立,此时不存在实数k,使得直线l和圆M相切,故B错误.无论k为何值,d=|sin(θ+φ)|=1都有解,即对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,故C正确.∵d≤1,∴d+1≤2,又圆上任一点到直线l的距离都不超过d+1,故D错误. 4.ACD　由题意可知直线AB的方程为+=1, 即x+2y-4=0, 则圆心(5,5)到直线AB的距离d==>4, ∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离, ∴点P到直线AB的距离的取值范围为, ∵-4∈(0,1),+4∈(8,9),∴A正确,B错误. 过点B作圆的两条切线,切点分别为P1,P2,如图,当点P在切点P1的位置时,∠PBA最小,当点P在切点P2的位置时,∠PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圆心(5,5)到点B的距离为,圆的半径为4,所以|P1B|=|P2B|===3,故C,D均正确. 5.解析　解法一:将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简并整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.易知Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 故圆心为(2,1),半径r=2. 设圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离为d, 则d==. (1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 6.解析　(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,所以令x=0,得y=1,代入圆C的方程得1+E+F=0, 令y=0,得x2-6x+1=0,圆C的方程为x2+Dx+F=0,对比系数得D=-6,F=1,则E=-F-1=-2, 即圆C的方程为x2+y2-6x-2y+1=0. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组消去y,得到2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0, 则Δ=56-16a-4a2>0, 且x1+x2=4-a,x1x2=,① 由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,② 由①②可解得a=-1(二重根),满足Δ>0.故a=-1. 7.AC　直线l的方程可化为(3x+y-4)m+x+y-2=0, 令解得 因此直线l恒过定点(1,1),A正确; 圆C:(x+1)2+(y-2)2=25的圆心为C(-1,2),半径r=5,显然当直线l过圆心时,弦AB最长,则(3m+1)×(-1)+(m+1)×2-4m-2=0,解得m=-,B错误; 记P(1,1),易知当CP⊥l时,弦AB最短, 此时-×=-1,解得m=-,C正确; 结合C中分析知|AB|min=2=4,D错误. 8.D　圆(x-3)2+(y-2)2=4的圆心为(3,2),半径为2, 当|MN|=2时,圆心(3,2)到直线y=kx+3的距离d===1,解得k=-或k=0. 9.B　易得C(0,0),直线PC的斜率kPC==-2, 过点P且长度最短的弦应是过点P且垂直于直线CP的弦,设其所在直线的斜率为k,则k·kPC=-1,得k=, 所以所求直线的方程为y-=,即3x-6y+5=0. 10.D　圆(x-2)2+(y+3)2=9的圆心为(2,-3),半径为3, 则(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离d==,因此弦长|EF|=2×=2×2=4,又原点到直线x-2y-3=0的距离为=, ∴△EOF的面积为×4×=. 11.答案　2 解析　易知圆O的圆心为O(0,0),半径R=2,设圆心O到直线的距离为d,则d==≥1(仅当cos2θ=1时取等号),又|AB|=2=2,故当d取最小值时|AB|取得最大值,即d=1时,|AB|取得最大值,且|AB|max=2. 12.解析　(1)证明:易知直线l过定点(1,1),记P(1,1),∵|PC|==1<,即点P在圆C内,∴对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点. (2)∵圆C的半径r=,|AB|=,∴圆心(0,1)到l的距离d==,即=,解得m=±. 13.解析　因为以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切, 所以A(-1,2)到直线l1:x+2y+7=0的距离等于圆A的半径r, 所以r==2,因此圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. 设圆心A到直线l的距离为d,则r2=d2+,即20=d2+19,所以d=1, 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2, 此时圆心A到直线l的距离为1,符合题意; 当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+2), 则d==1,解得k=,则l:3x-4y+6=0. 所以直线l的方程为3x-4y+6=0或x=-2. 14.C　若切线与x轴垂直,则切线方程为x=2,此时圆心(1,1)到直线x=2的距离为1,与圆的半径相等,符合题意; 当切线的斜率存在时,设切线的方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0, 由题意可得==1,解得k=, 此时,所求切线的方程为4x-3y+4=0. 综上所述,所求切线方程为x=2或4x-3y+4=0. 15.答案　 解析　依题意得,切线长(设为c)、直线上的点到圆心的距离d、圆的半径r之间满足勾股定理d2=c2+r2, 显然当d最小时,c也最小. 又直线上的点到圆心的距离d的最小值为圆心到直线的距离,即dmin==2, 故切线长的最小值为=. 16.答案　x+y-2=0 解析　易知两切点分别为(0,2),(2,0),所以直线AB的方程为+=1,即x+y-2=0. 17.答案　(x-2)2+(y-1)2=5 解析　不妨设yA>yB,坐标原点为O.由题意可得A(0,2),所求圆的圆心在AP的垂直平分线(即直线x=2)上,且在弦AB的垂直平分线(即直线OP)上,易得直线OP的方程为y=x,联立x=2和y=x,可得x=2,y=1,∴所求圆的圆心为(2,1),故所求圆的半径的平方r2=(2-0)2+(1-2)2=5,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 18.解析　(1)设切点N(m,n),则有 解得或 所以切点N的坐标为(+1,)或(-+1,-). (2)如图所示: 易得圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0),半径r=2, 由四边形APCQ为正方形,可得|AC|=r=2, 要使直线l上满足条件的点A有且仅有一个,则CA⊥l,即圆心(1,0)到直线x+y+m=0的距离为2,可得=2,解得m=3或m=-5(舍去),故m的值为3. 19.D　设M(x,y),由M在直线AC上,得+y=1,即x+ty-t=0, 由|MA|≤2|MB|得x2+(y-1)2≤4[(x-1)2+y2],化简得+≥, 依题意知,直线AC与圆+=至多有一个公共点, 因此点到直线x+ty-t=0的距离不小于,即≥,解得t≥2+或t≤2-, ∵t是使|MA|≤2|MB|恒成立的最小正整数,且3<2+<4,∴t=4. 20.答案　(-∞,--3] 解析　设z=|x+y+a|+|1-x-y|=, 故z可看作点P(x,y)到直线m:x+y+a=0与直线l:x+y-1=0的距离之和的倍, 因为|x+y+a|+|1-x-y|的取值与x、y无关, 所以这个距离之和与P点在圆上的位置无关, 因为圆心C(1,2)到直线l的距离为=>1, 所以圆C与直线l相离,如图所示, 由图可知,直线m平移时,P点与直线m、l的距离之和均为直线m、l之间的距离,与P点在圆上的位置无关,但圆C需在直线m、l之间,故当直线m与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切时为临界位置, 此时圆心C(1,2)到直线m的距离为=1,解得a=-3(舍去)或a=--3, 所以a∈(-∞,--3]. 21.解析　(1)点P(-1,-2)到直线l的距离d==, 故圆P的半径r==4, 所以圆P的方程为(x+1)2+(y+2)2=16. (2)设M(x,y),R(a,b),则(x+1)2+(y+2)2=16,整理得x2+y2=-2x-4y+11, 则|MN|2=|MO|2-1=x2+y2-1,|MR|2=(x-a)2+(y-b)2, 则== =, 若使为定值,则==, 解得或 所以平面内存在一定点R,使得为定值,且当R的坐标为时,=,当R的坐标为1-,2-时,=. 22.解析　(1)以O为原点,正东方向为x轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,则O(0,0), 由题知|OA|=10,∠AOx=45°,则A(10,10), 游客所在位置的坐标为(-4,0),记B(-4,0), 则直线AB的方程为y=(x+4),即5x-7y+20=0, 所以圆心O到直线AB的距离d==>=2, 所以直线AB与圆O相离,所以游客在该摄像头的监控范围内. (2)由图知,当过A的直线与圆O相切或相离时,摄像头不会被建筑物挡住, 不妨设直线l过点A且和圆O相切, 若直线l垂直于x轴,则直线l不会和圆相切; 若直线l不垂直于x轴,设l:y-10=k(x-10),整理得kx-y+10-10k=0, 所以圆心O到直线l的距离为=2,解得k=或k=, 所以l:y-10=(x-10)或y-10=(x-10), 即3x-4y+10=0或4x-3y-10=0, 易知观景直道所在直线的方程为y=-5, 设两条与圆O相切的直线与直线y=-5的交点分别为D,E,且D在E左侧, 由解得x=-10, 由解得x=-, 所以|DE|===8.75, 因此观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$