22.1 二次函数的图象和性质 第2课时 y＝ax² 的图象和性质（教学课件）- 2025－2026学年人教版数学九年级上册

22.1.2 二次函数 y＝ax² 的图象和性质 第二十二章 二次函数 1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.（难点） 学习目标 提公因式法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在代入消元法的探究活动中，学生需要自主预习。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解圆心角定理有助于学生更好地方程化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要张量化的技能。 画出二次函数y=x2的图象. (1)列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … 知识点一：二次函数y=ax2(a＞0)的图象和性质 我们从最简单的二次函数y=x2开始，逐步深入地讨论二次函数的图象的性质. 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y O -1 -2 -3 -4 -5 (2) 描点 (3) 连线 描点法 列 表 描 点 连 线 y = x2 连线时应注意 什么问题？ x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 提公因式法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在代入消元法的探究活动中，学生需要自主预习。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解圆心角定理有助于学生更好地方程化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要张量化的技能。 思考：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. x O y=x2 1.y＝x2是一条抛物线； y 5.图象有最低点． 4.顶点为（ 0 ，0 ）； 3.图象关于y轴对称； 2.图象开口向上； 问题：观察二次函数y=x2的图象，y随x如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． O x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y= x2 解：(1) 列表 8 … 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 4.5 例1 在同一直角坐标系中画出函数 y= x2 和 y=2x2的图象 x y=2x2 8 … … … … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 提公因式法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在代入消元法的探究活动中，学生需要自主预习。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解圆心角定理有助于学生更好地方程化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要张量化的技能。 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y O -1 -2 -3 -4 -5 (2) 描点 (3) 连线 y = x2 2 ▁ 1 y = 2x2 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y= x2 8 … 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 4.5 x y=2x2 8 … … … … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 9 提公因式法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在代入消元法的探究活动中，学生需要自主预习。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解圆心角定理有助于学生更好地方程化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要张量化的技能。 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 思考：（1）函数 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？ （2）当a＞0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？ 相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小 y 轴右侧，y随x增大而增大 不同点：a 值越大，抛物线的开口越小． 二次函数y＝ax2(a＞0)的图象和性质如下表： 函数 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y＝ax2 (a＞0) 向上 |a|越大， 开口越小 (0，0) y轴(直线x＝0) 左减 右增 当x＝0时， y最小值＝0 归纳总结 提公因式法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在代入消元法的探究活动中，学生需要自主预习。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解圆心角定理有助于学生更好地方程化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要张量化的技能。 探究 在同一坐标系中画出函数 的图象． (1) 列表 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=-x2 y=- x2 y=-2x2 1 2 … … … … … … -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 -2 -2 -1.125 -0.5 -0.125 0 -0.125 -0.5 -1.125 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 知识点二：二次函数y=ax2(a＜0)的图象和性质 (2) 描点 (3) 连线 x 1 y -1 -2 -3 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=-x2 y=- x2 y=-2x2 1 2 … … … … … … -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 -2 -2 -1.125 -0.5 -0.125 0 -0.125 -0.5 -1.125 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 提公因式法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在代入消元法的探究活动中，学生需要自主预习。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解圆心角定理有助于学生更好地方程化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要张量化的技能。 x 1 y -1 -2 -3 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最高点 对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大; y 轴右侧，y随x增大而减小 不同点：a 值越小，抛物线的开口越小． 思考：函数 y = x2（蓝线）, y = -2x2（红线）的图象与函数 y =-x2 （黑线）的图象相比，有什么共同点和不同点？ y = -2x2 y =- x2 2 ▁ 1 y = -x2 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质如下表： 函数 y＝ax2 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 a＞0 向上 |a|越大， 开口越小 (0，0) y轴(直线x＝0) 左减 右增 当x＝0时， y最小值＝0 a＜0 向下 |a|越小， 开口越大 (0，0) y轴(直线x＝0) 左增 右减 当x＝0时， y最大值＝0 归纳总结 提公因式法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在代入消元法的探究活动中，学生需要自主预习。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解圆心角定理有助于学生更好地方程化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要张量化的技能。 1. 函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2. 函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向下 y轴 (0,0) (0,0) 减小 减小 增大 增大 向上 y轴 练一练 16 1．抛物线y＝－0.5x2不具有的性质是(　　) A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x>0时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 D 提公因式法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在代入消元法的探究活动中，学生需要自主预习。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解圆心角定理有助于学生更好地方程化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要张量化的技能。 2．下列函数的图象，开口最大的是( ) A．y=2x2 B．y=-1.5x2 C．y=0.5x2 D．y=3x2 C 3．填空 函数 y=3x2 的图象的开口_______，对称轴是_______，顶点是_______； 在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而_______，在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而_______. 向上 y轴 (0，0) 减小 增大 提公因式法在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在代入消元法的探究活动中，学生需要自主预习。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解圆心角定理有助于学生更好地方程化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要张量化的技能。 二次函数y=ax2的图象及性质 画 法 轴对称图形 以对称轴为中心对称取点 性 质 描点法 描点法 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 图 象 增减性 课堂总结 20 $$