第2章 专题强化 竖直上抛运动 追及和相遇问题（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一物理必修第一册高中同步学案（人教版）

专题强化　竖直上抛运动　追及和相遇问题 学科素养与目标要求 物理 观念 知道什么是竖直上抛运动，知道竖直上抛运动是匀变速直线运动。 科学 思维 1．会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全过程法求解竖直上抛运动的有关问题。 2．会分析追及问题中物体速度、位移的变化，会根据两者速度关系和位移关系列方程。 一、竖直上抛运动 1．定义 将物体以一定的初速度沿竖直方向向上抛出后，物体只在重力作用下的运动叫竖直上抛运动。 2．特点 只受重力作用且初速度竖直向上。如果以初速度方向为正方向，则加速度a＝－g。 3．运动规律(取竖直向上为正方向) (1)速度公式：v＝v0－gt；(2)位移公式：h＝v0t－gt2；(3)上升的最大高度H＝；(4)上升到最大高度所需时间：t＝。 4．竖直上抛运动的处理方法 (1)分段分析法：把竖直上抛运动的全过程分为上升阶段和下降阶段，上升阶段做末速度v＝0、加速度大小a＝g的匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。 物体下降阶段的运动和上升阶段的运动互为逆运动。 (2)全过程分析法：把竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段看成是一个匀减速直线运动，其加速度方向始终与初速度v0的方向相反。应用全程法处理竖直上抛运动全过程问题时，要特别注意速度、位移、加速度等矢量的方向。 　研究人员为检验某一产品的抗撞击能力，乘坐热气球并携带该产品竖直升空，当热气球以10 m/s的速度匀速上升到某一高度时，研究人员从热气球上将产品自由释放，测得经11 s产品撞击地面。不计产品所受的空气阻力，求产品的释放位置距地面的高度。(g取10 m/s2) 【答案】　495 m 【解析】　解法1：分段法。根据题意画出运动过程草图，如图所示，将产品的运动过程分为A→B和B→C→D两段来处理，A→B为竖直向上的匀减速运动，B→C→D为自由落体运动。 在A→B过程，根据匀变速直线运动规律可知tAB＝＝1 s hAB＝hBC＝gt＝5 m 由题意可知tBD＝11 s－1 s＝10 s 根据自由落体运动规律可得hBD＝gt＝500 m 故产品的释放位置距地面的高度H＝hBD－hBC＝495 m。 解法2：全程法。将产品的运动视为匀变速直线运动，规定向上为正方向， 则v0＝10 m/s，a＝－g＝－10 m/s2，t＝11 s。 根据H＝v0t＋at2，代入数据解得H＝－495 m 故产品的释放位置距地面的高度为495 m。 【技巧点拨】 对于竖直上抛运动，解题时要注意以下两点：(1)灵活选用分段法和整体法，同时要注意各物理量的取值正负；(2)画好运动过程示意图，正确判断物体的运动情况。 1．气球下挂一重物，以v0＝10 m/s匀速上升，当到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地速度多大？(空气阻力不计，g取10 m/s2) 【答案】　7 s　60 m/s 【解析】　解法一　分段法 绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下降。 重物上升阶段、时间t1＝＝1 s， 由v＝2gh1知，h1＝＝5 m 重物下降阶段： 下降距离H＝h1＋175 m＝180 m 设下落时间为t2，则H＝gt， 故t2＝＝6 s 重物落地总时间t＝t1＋t2＝7 s， 速度v＝gt2＝60 m/s。 解法二　全程法 取初速度方向为正方向 重物全程位移h＝v0t－gt2＝－175 m 可解得t1＝7 s，t2＝－5 s(舍去) 由v＝v0－gt，得v＝－60 m/s，负号表示方向竖直向下。 二、追及、相遇问题 1．追及和相遇问题的概述 当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，这时就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。 2．追及和相遇问题中的一个条件和两个关系 (1)一个条件：两者速度相等，它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 (2)两个关系：时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到。 (3)追及相遇问题常见的情况。假设物体A追物体B(两物体做匀速或匀变速运动)，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况： ①A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。 ②要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。 ③若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB<x0，且之后vA≤vB。 ④解题思路和方法 　一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求： (1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？ (2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？ 【答案】　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s 【解析】　(1)法1　基本规律法 汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δx，则有v1＝at1＝v自 所以t1＝＝2 s Δx＝v自t1－at＝6 m 法2　极值法或数学分析法 设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为 Δx＝x1－x2＝v自t1－at 代入已知数据得Δx＝6t1－t 由二次函数求极值的条件知t1＝2 s时，Δx最大 代入得Δx＝6 m 法3　图像法 自行车和汽车运动的v­t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。 t1＝＝ s＝2 s Δx＝＝ m＝6 m (2)法1　基本规律法 当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有 v自t2＝at 解得t2＝＝s＝4 s v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s 法2　图像法 由图可以看出，在t1时刻之后，标有阴影的两个三角形面积相等，此时汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇。由几何关系知t2＝2t1＝4 s，v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。 　(多选)无线蓝牙耳机摆脱了线材束缚，可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接。为了研究在运动过程中无线连接的最远距离，甲和乙两位同学做了一个有趣的实验。乙佩戴无线蓝牙耳机，甲携带手机检测，乙站在甲正前方10 m处，二人同时沿同一直线向正前方运动，各自运动的v­t图像如图所示，结果手机检测到蓝牙耳机能被连接的时间为4 s。则下列判断正确的是(　　 ) A．3 s时甲乙相距最远 B．6 s时甲乙相距最近 C．甲减速加速度大小为1 m/s2 D．5 s时两者距离为7.5 m 【解析】　由图可知，3 s时甲乙速度相等，甲乙相距最近，AB错误；甲加速度大小为a＝m/s2＝1m/s2，C正确；t＝5 s时，x甲＝6×5 m－×1×52 m＝17.5 m，x乙＝3×5 m＝15m，此时两者相距d＝10 m＋x乙－x甲＝7.5 m，D正确。故选CD。 【答案】　CD 2．甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以1 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求： (1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离； (2)乙车追上甲车所用的时间。 【答案】　(1)18 m　(2)12.5 s 【解析】　(1)当两车速度相等时有： v乙＝v甲－at， 解得t＝＝ s＝6 s。 则两车相距的最大距离 Δx＝v甲t－at2－v乙t＝10×6 m－×1×36 m－4×6 m＝18 m。 (2)甲车减速到零所需的时间t1＝＝10 s，此时乙车的位移x乙＝v乙t1＝4×10 m＝40 m， 甲车的位移x甲＝v甲t1－at＝10×10 m－×1×100 m＝50 m。 可知乙车仍然未追上甲车， 则t2＝＝ s＝2.5 s。 故乙车追上甲车的时间t＝t1＋t2＝12.5 s。 1．在某高处A点，以v0的速度同时竖直向上和向下抛出a、b两球，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A．两球落地的时间差为 B．两球落地的时间差为 C．两球落地的时间差与高度有关 D．条件不足，无法确定 【解析】　设A点的高度为h，以竖直向下为正，由h＝v0t1＋gt，h＝－v0t2＋gt，可得t2－t1＝，选项B正确。 【答案】　B 2．(竖直上抛运动)不计空气阻力情形下将一物体以一定的初速度竖直上抛，从抛出至回到抛出点的时间为2t，若在物体上升的最大高度的一半处设置一水平挡板，仍将该物体以相同的初速度竖直上抛，物体撞击挡板前后的速度大小相等、方向相反，撞击所需时间不计，则这种情况下物体上升和下降的总时间约为(　　) A．0.2t　　　　　　　 B．0.3t C．0.5t D．0.6t 【解析】　竖直上抛时从抛出至回到抛出点时间为2t， 所以上升和下降的时间都为t，v0＝gt　① h＝gt2② 设上升到时，速度为v，上升和下降的总时间为t′ v－v2＝2g·③ 由①②③得：v＝gt t′＝2＝(2－)t≈0.6t，故选D。 【答案】　D 3．A、B两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，A车在前，速度vA＝10 m/s，B车在后，速度vB＝30 m/s，当B车发现A车时就立刻刹车。已知B车在进行刹车测试时发现，若车以30 m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1 800 m才能停下，假设B车刹车过程中加速度恒定。为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到(　　 ) A．800 m B．1 000 m C．1 200 m D．1 600 m 【解析】　对B车，由运动学公式有0－v＝2ax解得a＝－0.25 m/s2作出A、B两车运动过程中的速度—时间图像如图所示 图中图线的交点的横坐标即为两车速度相等的时刻，有t＝＝80 s当两车速度相等时相距最近，此时两车不相撞，则以后不会相撞，由v­t图像与坐标轴围成的面积表示位移可知，图像中阴影三角形的面积为能见度的最小值，即xmin＝××80 m＝800 m，故选A。 【答案】　A 4．汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来。现在该汽车行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，则： (1)求汽车刹车时的加速度大小； (2)是否发生撞车事故？试计算说明？ 【答案】　(1)0.5 m/s2　(2)不会相撞 【解析】　(1)汽车制动加速度大小 a＝＝0.5 m/s2 (2)当汽车减为与货车同速时 t0＝＝28 s 汽车位移x1＝＝364 m 此时间内货车位移为x2＝vBt0＝168 m Δx＝x1－x2＝196 m<200 m， 所以两车不会相撞。 专题强化练4　竖直上抛运动　追及和相遇问题 1．(多选)从匀加速上升的气球上释放一物体，在放出的瞬间，物体相对地面将具有(　　) A．向上的速度 B．向下的速度 C．没有速度 D．向下的加速度 【解析】　从匀加速上升的气球上释放一物体，物体释放前与气球一起向上运动，在放出的瞬间，物体相对地面将具有向上的速度。物体释放前与气球有相同的向上的加速度，在放出的瞬间，物体做竖直上抛运动，有向下的加速度，选项AD正确。 【答案】　AD 2．某同学身高1.8 m，他在某次跳高比赛中，起跳后身体横着越过了1.8 m高的横杆，据此可估算出他这次起跳时竖直向上的速度大约为(　　) A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s 【解析】　该同学的重心在跳高时约升高h＝0.9 m，因而他起跳时竖直向上的速度v＝≈4.2 m/s，B正确。 【答案】　B 3．将某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2。在5 s内物体的(　　 ) A．路程为45 m B．位移大小为25 m，方向向上 C．速度改变量的大小为10 m/s D．平均速度大小为13 m/s，方向向上 【解析】　初速度30 m/s，则上升到最高点的时间t＝＝ s＝3 s，位移为h1＝＝ m＝45 m，再自由落体2 s时间，下降高度h2＝gt2＝×10×22 m＝20 m，故路程为65 m，选项A错误；此时离地面高45 m－20 m＝25 m，位移方向竖直向上，选项B正确；规定向下为正，5 s时速度为v＝10×2 m/s＝20 m/s，速度改变量为Δv＝20 m/s－ (－30 m/s)＝50 m/s，选项C错误；平均速度为v＝＝ m/s＝5 m/s，选项D错误。 【答案】　B 4．(多选)在某一高度以v0＝20 m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，当小球速度大小为10 m/s时，以下判断正确的是(g取10 m/s2)(　　) A．小球在这段时间内的平均速度大小可能为15 m/s，方向向上 B．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s，方向向下 C．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s，方向向上 D．小球的位移大小一定是15 m 【解析】　小球被竖直向上抛出，做的是匀变速直线运动，平均速度可以用匀变速直线运动的平均速度公式＝求出，规定竖直向上为正方向，当小球的末速度大小为10 m/s、方向竖直向上时，vt＝10 m/s，用公式求得平均速度大小为15 m/s，方向竖直向上，选项A正确；当小球的末速度大小为10 m/s、方向竖直向下时，vt＝－10 m/s，用公式求得平均速度大小为5 m/s，方向竖直向上，选项B错误，C正确；由于末速度大小为10 m/s时，球的位置一定，小球的位移大小h＝＝15 m，选项D正确。 【答案】　ACD 5．一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为(　　) A．g(T－T) B．g(T－T) C．g(T－T) D．g(TA－TB) 【解析】　物体做竖直上抛运动经时间一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A的时间tA＝，从竖直上抛运动的最高点到点B的时间tB＝，则A、B两点的距离x＝gt－gt＝g(T－T)。 【答案】　A 6.(多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v­t图像如图所示。下列判断正确的是(　　) A．乙车启动时，甲车在其前方50 m处 B．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m C．乙车启动10 s后正好追上甲车 D．乙车超过甲车后，两车不会再相遇 【解析】　由图可知，乙在t＝10 s时启动，根据v­t图线与时间轴围成的面积表示位移，可知此时甲的位移为x＝×10×10 m＝50 m，即甲车在乙车前方50 m处，故A正确；当两车的速度相等时相距最远，最大距离为smax＝×(5＋15)×10 m－×10×5 m＝75 m，故B正确；由于两车从同一地点沿同一方向做直线运动，当位移相等时两车相遇，由v­t图像可知，乙车启动10 s后其位移小于甲的位移，还没有追上甲，故C错误；乙车超过甲车后，由于乙的速度比甲的大，所以不可能再相遇，故D正确。 【答案】　ABD 7．(多选)如图所示，a、b分别表示先后从同一地点以相同的初速度做匀变速直线运动的两个物体的速度—时间图像，则下列说法正确的是(　　 ) A．4 s时两物体的速度大小相等 B．4 s时两物体在途中相遇 C．5 s时两物体的速率相等 D．5 s时两物体相遇 【解析】　解本题的关键是知道v­t图像的物理意义。由图像可知4 s时两物体速度大小相等，方向相反，故A正确；由图像与坐标轴围成的面积表示位移的大小可知4 s时两物体的位移相等，所以4 s时两物体相遇，故B正确；5 s时两物体速率一个为0，一个不为0，不相等，故C错误；5 s内两者位移不同，所以没有相遇，故D错误。 【答案】　AB 8．(多选)如图所示为甲、乙两个质点同时、同地向同一方向做直线运动的v­t图像，由图可知(　　) A．在0～3 s内，甲做匀加速直线运动 B．甲在3 s后做匀速运动，在7 s末乙追上甲 C．5～7 s内两者逐渐靠近 D．0～7 s内两者在前进方向上的最大距离大于5 m 【解析】　在0～3 s内，甲的速度时间图像是曲线，所以甲做变加速度运动，故A错误。甲在3 s后做匀速运动，在0～7 s内甲对应的图线与横轴所包围的面积大于乙对应的图线与横轴所包围的面积，所以在7 s末乙没有追上甲，故B错误。5 s末，甲在前面，乙在后面，但5 s末后乙的速度大于甲的速度，所以5～7 s内两者逐渐靠近，故C正确。当两者速度相等时，前进方向上的距离最大，在0～5 s内，图线与横轴所包围的面积等于它们的位移，根据面积之差知道最大距离大于5 m，故D正确。 【答案】　CD 9．(多选)某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过6 s到达离地面60 m处燃料恰好用完，下列说法正确的是(不计空气阻力，g取10 m/s2)(　　 ) A．火箭上升离地面的最大高度为80 m B．燃料恰好用完后火箭还能继续上升的时间为3 s C．火箭从发射到返回发射点的时间为12 s D．火箭落地速度为30 m/s 【答案】　AC 10．(多选)甲、乙两辆汽车同时同地出发，沿同一方向做直线运动，两车速度的平方v2随位移x的变化图像如图所示，下列说法正确的是(　　 ) A．汽车甲的加速度大小为4 m/s2 B．甲、乙距离最大时，甲的位移为8 m C．汽车甲、乙在x＝6 m处相遇 D．汽车甲、乙在t＝3 s时相遇 【解析】　匀变速直线运动的速度位移关系为v2－v＝2ax由此可加，汽车甲的加速度大小为a1＝2 m/s2汽车乙的加速度大小为a2＝1 m/s2，故A错误； 两车速度相等时两年相距最远，即v＝v0－a1t；v＝a2t解得v＝2 m/s又v－v2＝2ax解得x＝8 m，故B正确； 由题可知汽车甲速度为0所需时间为t＝＝3 s，这段时间汽车乙的位移为x乙＝a2t2＝4.5 m<9 m故甲、乙在x＝9 m处相遇，即汽车甲停止后乙车追上，故x甲＝a2t′2解得两车相遇的时间为t′＝3 s，故C错误，D正确。故选BD。 【答案】　BD 11．高台跳水运动员从离水面高H＝10 m的跳台上，以10 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，将人视为质点，取g＝10 m/s2。求： (1)运动员上升的最大高度(以跳台平面为参考面)； (2)运动员从跳离跳台到入水的时间。(结果可用根式表示) 【答案】　(1)5 m　(2)(1＋)s 【解析】　(1)运动员上升的最大高度h1＝＝5 m (2)由v＝v0－gt1得运动到最高点的时间t1＝＝1 s 运动员自由下落的总位移为： h2＝h1＋H＝15 m 由h2＝gt 自由下落的时间t2＝＝ s 运动员从跳离跳台到入水的时间t总＝t1＋t2＝(1＋)s 12．甲、乙两辆车在平直公路上从同一地点先后出发，其运动的v­t图像如图所示，已知t3时刻两车相遇，相遇前两车间最大距离为25 m，已知t2＝10 s，v1＝10 m/s。求： (1)甲车在加速阶段的加速度大小； (2)两车相遇的时间t3。(取＝1.4，结果保留2位有效数字) 【答案】　(1)2 m/s2　(2)17 s 【解析】　(1)相遇前两车速度相等时，两车相距最远，即t2＝10 s时，两车间距离s＝25 m。 则0～t2时间内两车的位移关系有v1t2＝v1(t2－t1)＋s，解得t1＝5 s 所以甲的加速度a1＝＝2 m/s2 (2)0～t3时间内，两车位移关系有a1(t3－t1)2＝a2t，a2＝＝1 m/s2，解得t3＝17 s(t3＝3.0 s不符合题意，舍去) 13．(拓展提升)平直公路上有甲、乙两辆汽车，一开始甲车静止，乙车从甲车旁边以10 m/s的速度匀速超过甲车，经7 s，甲车发动起来，以加速度a＝2.5 m/s2做匀加速运动，甲车的速度必须控制在90 km/h以内。试问： (1)在甲车追上乙车之前，两车间的最大距离是多大？ (2)甲车发动后要多长时间才能追上乙车？ 【答案】　(1)90 m　(2)13 s 【解析】　(1)当两车速度相等，两车间的距离最大，即v0＝at1代入数据解得t1＝4 s此时乙车的位移x1＝v0(t1＋t0)甲车的位移x2＝at则两车间的最大距离是Δx＝x1－x2 (2)当甲车速度达到最大时即vm＝90 km/h＝25 m/s，经历的时间t2＝＝ s＝10 s这段时间内乙车的位移x1′＝v0(t2＋t0)＝170 m甲车的位移x2′＝at＝125 m再经t3时间，甲车追上乙车，则有x1′－x2′＝(vm－v0)t3 解得t3＝3 s所以甲车发动后追上乙车的时间为t′＝t2＋t3＝13 s。 学科网（北京）股份有限公司 $$