第12章 因式分解（知识清单）数学沪教版五四制2024七年级上册

第12章 因式分解 知识点01：因式分解 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的 形式，称为把这个多项式 ，也称为 ； 2. 因式分解的过程和 的过程正好 ；前者是把一个多项式化为几个多项式的 ，后者是把几个多项式的 化为一个 . 知识点02：提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的 ，简称多项式的 。 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的 ； (2)字母：取多项式各项中 的字母； (3)各字母的指数：取次数 ． 3. 定义：逆用乘法对加法的 律，可以把 提到括号外边，作为积的一个 ，这种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 知识点03：平方差公式法 1. 因式分解中的平方差公式 a²- b² ＝( a + b )( a - b ) 2. 多项式的特征：(1) 可化为 个整式； (2) 两项符号 ；(3) 每一项都是整式的 . 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. 知识点04： 完全平方公式法 1.完全平方公式：a²+ 2ab + b² = ( )²，a² - 2ab + b² = ( )². 2.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号 ，能写成两个整式的 的形式； (3)另一项是这两整式 的 倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出 . 知识点05：十字相乘法 1.二次三项式： 多项式，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项． 2.十字相乘法 一般地，可以用十字交叉线表示： x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 3.用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个 ； （2）二次三项式的系数为 1 时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和a b 正好等于一次项系数，这种方法的特征是“ ”； （3）对于二次项系数不是 1 的二次三项式，一般要借助“ ”的办法来确定． 4.用十字相乘法因式分解的符号规律 （1）当常数项是“ ”号时，分解的两个一次二项式中间 ； （2）当常数项是“ ”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是 ； （3）当二次项系数为 时，先提出 ，使二次项系数为 ，然后再看常数项． 知识点06：分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法. 2.分组原则： （1） ；（2） ；（3） ． 3.分组分解法分解因式常用的思路： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 4.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 易错点01：混淆因式分解与整式乘法 因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，而整式乘法是几个整式相乘得到多项式，二者是互逆的过程。 【典例1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海静安·期末）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【变式1-2】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点02：公因式提取不当 1.公因式提取不彻底：提取公因式时，要把各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂都提取出来。 2.忽略首项系数为负的情况：当多项式的首项系数为负数时，通常要提出一个带负号的公因式，使括号里首项不含负号。 3.提公因式后漏项：多项式中某一项全提公因式后，括号里这一项应该为1，但学生容易漏掉。 【典例2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【典例2-2】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解： ． 【典例2-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）因式分解： 易错点03：公式运用错误 平方差公式：运用时要注意多项式必须是两项式，且两项都要是平方的形式，并且符号相反。 完全平方公式：需要满足是三项式，其中两项是平方项且同号，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍。 【典例3-1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解： ． 【典例3-2】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解： 【变式3-2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）分解因式： 【变式3-3】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式： 【变式3-4】（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【变式3-5】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： 【变式3-6】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 易错点04：分解不彻底 【典例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： 【变式4-2】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）因式分解：． 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知实数a，b，c，d满足，且，，则（    ） A．a、c都是正数 B．a、c都是负数 C．a、c互为相反数 D．以上都不对 3．（24-25七年级上·上海·期中）有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 5．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 6．（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 8．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式： ． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解： ． 10．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： 12．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）因式分解： ． 13．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 14．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 三、解答题 15．（23-24七年级上·上海闵行·期末）因式分解：． 16．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 17．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： 18．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： 19．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： 20．（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 21．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 22．（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读理解应用 待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，， 可以求出，，所以 (1)若x取任意值，等式恒成立，则 ； (2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式． 23．（24-25七年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 24．（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 25．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 26．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 27．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 因式分解 知识点01：因式分解 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式； 2. 因式分解的过程和多项式的乘法的过程正好相反：前者是把一个多项式化为几个多项式的乘积，后者是把几个多项式的乘积化为一个多项式. 知识点02：提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的最大公因数； (2)字母：取多项式各项中相同的字母； (3)各字母的指数：取次数最低的． 3. 定义：逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边，作为积的一个因式，这种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 知识点03：平方差公式法 1. 因式分解中的平方差公式 a²- b² ＝( a + b )( a - b ) 2. 多项式的特征：(1) 可化为两个整式； (2) 两项符号相反；(3) 每一项都是整式的平方. 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. 知识点04： 完全平方公式法 1.完全平方公式：a²+ 2ab + b² = ( a + b )²，a² - 2ab + b² = ( a - b )². 2.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号相同，能写成两个整式的平方和的形式； (3)另一项是这两整式乘积的2倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出公因式. 知识点05：十字相乘法 1.二次三项式： 多项式，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项． 2.十字相乘法 一般地，可以用十字交叉线表示： x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 3.用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个二次三项式； （2）二次三项式的系数为 1 时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和a b 正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”； （3）对于二次项系数不是 1 的二次三项式，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定． 4.用十字相乘法因式分解的符号规律 （1）当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号； （2）当常数项是“ ”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是异号； （3）当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项． 知识点06：分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法. 2.分组原则： （1）分组后能直接提取公因式；（2）分组后能直接运用公式；（3）分组后可十字相乘． 3.分组分解法分解因式常用的思路： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 4.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 易错点01：混淆因式分解与整式乘法 因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，而整式乘法是几个整式相乘得到多项式，二者是互逆的过程。 【典例1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：符合因式分解的定义，则A符合题意， ，则B不符合题意， 中等号右边不是积的形式，则C不符合题意， 是乘法运算，则D不符合题意， 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海静安·期末）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【答案】D 【详解】解：①没有降次，不属于因式分解； ②，属于因式分解； 所以①不是因式分解，②是因式分解 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，是整式的乘法，不符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、，等式右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】是单项式的变形，则①不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，则②不是因式分解； 是乘法运算，则③不是因式分解； 符合因式分解的定义，则④是因式分解； 符合因式分解的定义，则⑤是因式分解； 中对象不是整式，则⑥不是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 易错点02：公因式提取不当 1.公因式提取不彻底：提取公因式时，要把各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂都提取出来。 2.忽略首项系数为负的情况：当多项式的首项系数为负数时，通常要提出一个带负号的公因式，使括号里首项不含负号。 3.提公因式后漏项：多项式中某一项全提公因式后，括号里这一项应该为1，但学生容易漏掉。 【典例2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【详解】解；， 故答案为；． 【典例2-2】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解： ． 【答案】 【详解】 故答案为： 【典例2-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为： 【变式2-2】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： 易错点03：公式运用错误 平方差公式：运用时要注意多项式必须是两项式，且两项都要是平方的形式，并且符号相反。 完全平方公式：需要满足是三项式，其中两项是平方项且同号，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍。 【典例3-1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【典例3-2】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：． 【答案】 【详解】 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）分解因式： 【答案】 【详解】解： 【变式3-3】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式： 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-4】（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【答案】 【详解】 ． 【变式3-5】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-6】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 易错点04：分解不彻底 【典例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： 故答案为： 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-2】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）因式分解：． 【答案】 【详解】解： 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、是y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知实数a，b，c，d满足，且，，则（    ） A．a、c都是正数 B．a、c都是负数 C．a、c互为相反数 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 3．（24-25七年级上·上海·期中）有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 【答案】B 【详解】解：由，得出， 则，则． 故选：B． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴、， 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则； 故选：C． 6．（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是多项式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：原式 故答案为： 10．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： 【答案】 【详解】解：原式； 故答案为． 12．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 14．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 【答案】16 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，…， 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为8，12，16，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为15，21，27，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为24，32，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为35，45，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为48，60，…； …， 把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…， 故第4个“智慧优数”是16， 故答案为：16． 三、解答题 15．（23-24七年级上·上海闵行·期末）因式分解：． 【答案】 【详解】解： 16．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ； 17．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： 【答案】 【详解】解∶原式 故答案为∶． 18．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 19．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 20．（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； （2）解： ， 当，时，原式， ∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管． 21．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 22．（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读理解应用 待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，， 可以求出，，所以 (1)若x取任意值，等式恒成立，则 ； (2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式． 【详解】（1）∵恒成立， ∴ ∴； （2）设， ∴， ∴， 多项式的另一因式是． 23．（24-25七年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 【详解】（1）解：1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为， ∴型2块，型4块，型4块的总面积为； 故答案为： （2）解：从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下纸板的总面积为， ∵剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，且 ∴此正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下： ， 此时正方形的边长为， ∴大正方形面积为：． 24．（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）解： ， 则需应用上述方法2024次，结果是， 故答案为：2024，； （3）解： ． 25．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ，整列得： ，解得：． 答：的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为， ∴， ∵， ∴，解：， ∴． 答：空白部分的面积为． 26．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 【详解】（1）解：这种速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐） 例如： （2）设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为， ∴ ∴满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同； 故答案为：；． （3）解：设， ∴ ∴ ∴ ∵是素数， ∴， ∵是正整数， ∴ 解得： ∴ 27．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$