17.1《与三角形有关的线段》三角形的高、中线与角平分线 课件 2024-2025学年人教版（五四制）七年级数学下册

17.1 与三角形有关的线段 ——三角形的高、中线角平分线 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? 如图，△ABC的三边分别为___________________ 顶点A的对边是________，∠B的对边是________. AB、AC、BC BC AC D [定义]从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. 二、新课引入 2、 如图，拿一个准备好的三角形纸片，把线段BC重合折叠，折痕过点A与BC交于点D。问：线段AD与BC有何位置关系？ 1、如图，P为线段AB外一点，过点P作线段AB的垂线. A B P D 三、新课讲解（ 三角形的高） 定义：从三角形的一个______ 向它所对的边所在直线作______，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高. 如图: AD是△ABC的高 ∴ ______=______=90º 反过来：ADBC于点D （或______= _____=90º） ∴AD是△ABC中BC边上的高 A B C D 顶点 垂线 ∠ADB ∠ADC ∠ADB ∠ADC 三角形的高 请你画出锐角三角形的所有高 A B C D E F 三角形的高 A B C 请你画出直角三角形的所有高 D 三角形的高 请你画出钝角三角形的所有高 D E F 三角形的三条高的特性 三条高所在的直线 是否相交 三条高是否相交 高的数量和位置 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3条都在内部 1条在内部 2条在边上 1条在内部 2条在外部 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 4.性质： （1）三条高或高所在的直线交于一点，称为垂心， 用H表示 （2）锐角 三角形的垂心在三角形内部，直角三角形 的垂心在直角顶点处，钝角三角形的垂心在三角形外部 注：见高想90度和面积 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短， 可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知, AD·BC ＝ BP·AC. 代入数值，可解得BP＝4×6÷5=4.8 试一试 小技巧：等面积法--》 两种不同方法来表示三角形的面积 例 在下图中，正确画出△ABC中BC边上高的是( ) C D 变式：如图，△ABC中，若D是BC边上一点,则 D E 当BD=DC时，两三角形的面积相等， 即点D是BC的中点，那么此时的AD 就叫做△ABC的中线. 讲授新课 三角形的中线 问题1 如图，如果点 C 是线段 AB 的中点，你能得到什么结论？ A C B AC = BC = AB 讲授新课 定义： 如图，连接△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的中线. 问题2 如图，如果点 D 是线段 BC 的中点，那么线段 AD 就称为△ABC 的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线. A B C 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BD = CD = BC D 讲授新课 画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 讲授新课 问题3 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高．试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系，为什么？ B C D E A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 问题4 通过问题 3 你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 讲授新课 归纳总结： 1. 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心. 2. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 三角形的中线 画出这个三角形另外的的两条中线 这个三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心 A B C D E F 例 如图，AD, BE，CF是△ABC的三条中线， AF(BF) CD BC 6 三角形的角平分线 画出∠A的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。 2 1 D 三角形角平分线的表示方法 三角形的角平分线 画出∠B、∠C的角平分线 1.三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部吗? 2.三角形的高、中线、角平分线都是直线吗? 3.三角形的角平分线与角的角平分线一样吗? 思考 4.直角三角形的两条直角边也是三角形的高吗? 5.三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做这个三角形的__________? 重心 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 知识归纳 当堂练习 1．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 当堂练习 2．在△ABC 中，AD 为中线，BE 为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD =∠CAD；②∠ABE =∠CBE；③ BD = DC；④ AE = EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D A B C D E 当堂练习 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC 的高的有 （　　） A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条 4. 下列各组图形，哪一组图形中 AD 是△ABC 的 BC 边上的高 ( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D B D 当堂练习 5.填空： (1) 如图①，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 AB = 2＿＿，BD = ＿＿，AE = ＿＿ . (2) 如图②，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线， 则∠1 =_______， ∠3 =_______，∠ABC = 2_____. 图① 图② AF DC ∠CAD ∠2 ∠BCF A B C D E F AC 今天我们学了什么呀？ 1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法。 2. 三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应用。 小结 $$