2.3一元二次不等式（教案）-高教版《数学 基础模块上册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学基础模块上册》 第二章不等式 2.3 一元二次不等式 一、教材 高等教育出版社《数学》（基础模块上册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 《一元二次不等式》是中职数学“函数与方程”模块的重要内容，位于二次函数、一元二次方程之后，是两者知识的深化与拓展.它在实际生活中（如最值问题、范围求解）具有广泛应用，教材通过“二次函数图像→二次方程解→不等式解集”的逻辑顺序，引导学生从具体到抽象，逐步理解“三个二次”的内在联系.重点突出图像法解不等式，强调数学的直观性与逻辑性的统一，帮助学生构建知识网络. 五、学情分析 已有基础学生已掌握二次函数图像绘制、一元二次方程解法，对“数形结合”有初步认识，但部分学生对二次函数图像与x轴交点坐标的求解可能存在计算障碍.从图像到解集的转化过程（尤其是区间表示）易混淆；对“三个二次”（方程、不等式、函数）关系的抽象理解不足；实际问题中不等式建模能力较弱. 六、教学目标 1．知道二次函数的图像、一元二次方程的解与一元二次不等式的解集之间的关系． 2．能选择求根公式法、因式分解法或配方法等求解一元二次方程． 3．能做出一元二次函数的简图． 4．能根据一元二次不等式对应的一元二次方程的解，结合其对应的二次函数的图像，写出一元二次不等式的解集． 七、教学重点 运用适当的方法熟练、准确地解一元二次方程；用图像法解一元二次不等式. 八、教学难点 1.如何由对应一元二次方程的解写出一元二次不等式的解集. 2.Δ<0时解集的理解、含参数不等式的分类讨论. 九、教学方法 启发式讲授法：通过“问题链”引导学生发现二次函数图像与不等式解集的对应关系. 小组合作探究法：分组讨论“三个二次”关系表格的填写，促进学生互动与思维碰撞. 多媒体辅助法：利用几何画板动态演示二次函数图像变化，突破抽象理解难点. 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 情境导入 某中职学校毕业生王华到某公司应聘，公司要他为一个长3m、宽2m的工作台设计一块长方形台布，作为考核他的项目，具体要求是：台布的面积不能超过台面面积的2倍，且使台布四边垂下的长度相等.问：垂下的长度应该在什么范围内？ 假设台布四边垂下的长度为x m，则台布的长为3+2x，宽为2 +2x, (3+2x)(2 +2x)≤2×2×3 2x2 +5x -3≤0 解得x即可. 学生谈论回答 探索新知 像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为 ax2＋bx＋c>0（a≠0）． 上面不等式中的“>”也可以换成“<”、“≥”或“≤”. 如，x2-9>0，3x2-2x-1≤0，-2x2+5x+4<0等都是一元二次不等式． 我们知道，当a＞0时，关于一元二次方程ax2＋bx＋c=0和二次函数y=ax2＋bx＋c之间有下表所示结论． 由表中函数y＝ax2＋bx＋c的图像可以看出，图像在x轴上方的部分所对应的函数值y>0，即 ax2＋bx＋c>0， 图像在x轴下方的部分所对应的函数值y<0，即 ax2＋bx＋c＜0． 教师说明回顾，展示关系，引导学生观察分析. 学生观察情境，思考问题，分析判断. 从学生已经了解的一元二次方程和二次函数之间的关系入手，利用数形结合，提出新的问题，引导学生主动思考，培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养. 探索新知 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，我们是能否借助它们之间的关系求解形如 ax2＋bx＋c<0或ax2＋bx＋c>0这样的一元二次不等式呢？ 下面先来分析一元二次不等式x2-2x-3<0 和二次函数y=x2-2x-3、一元二次方程x2-2x-3=0之间的关系. 如图（1）所示，二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴交于两点，方程x2-2x-3=0的解是 x1=-1，x2=3，也就是抛物线与x轴交点(-1，0)和(3，0)的横坐标． 可以看出，抛物线与x轴的两点交点将x轴分成了三部分． 如图（2）所示，当-1<x<3时，函数的图像位于x轴的下方，此时y<0. 如图（3）所示，当x<-1或x>3时，函数的图像位于x轴的上方，此时y>0. 由此得到，不等式x2-2x-3<0的解集为 (-1，3)；不等式x2-2x-3>0的解集为(-∞,-1)∪(3，+∞)． 按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的求解方法： 先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集． 视频汇总一元二次不等式求解集的方法。 再次强调过程：(1)求根 （2）画图 （3）找范围 （4）写解集 根据一元二次方程判别式的不同取值情况，将二次函数图像、一元二次方程的解和一元二次不等式的解集列表如下. 师生通过具体的实例，共同总结二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系，并利用数形结合进一步来分析和解决问题归纳总结出一元二次等式的解法，培养学生直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养. 例题讲解 例1求下列一元二次不等式的解集： （1）x2-x-6<0； （2）x(x-3)≥0； （3）2x2-4x+3<0． 解：（1）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程x2-x-6=0的解为x1=-2，x2=3，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式x2-x-6<0的解集为(-2，3)． （2）因为不等式的二次项系数为1>0， 对于方程x(x-3)=0的解为x1=0，x2=3，对应的二次函数的图像如图所示.所以不等式x(x-3)≥0的解集为(-∞,0][3,+∞)． （3）因为不等式的二次项系数为2>0，对应方程2x2-4x+3=0无实数根(Δ=(-4)2- 4×2×3=-8<0)，对应二次函数图像如图所示，所以不等式2x2-4x+3<0的解集为⑦. 例2若有意义，试求x的取值范围． 解：要使有意义，x应该满足不等式3x2-2x-1≥0． 因为不等式的二次项系数3>0，对应方程3x2-2x-1=0的解为对应的二次函数图像如图所示，所以不等式3x2-2x-1≥0的 解集为[1,+∞)． 即当[1,+∞)时有意义． 探究与发现 如何求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a<0)？ 当二次项系数a<0时，由不等式的性质，不等式两边同乘−1，不等号方向改变，就可以将a<0的情形转化为a>0的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可． 例3求一元二次不等式-x2+4x-2<0的解集． 解：因为不等式的二次项系数为-1<0，所以将不等式的两边同乘-1，不等号方向改变，得到与原不等式同解的不等式 x2-4x+2>0， 其对应方程x2-4x+2=0的解为，,对应的二次函数图像如图所示． 所以不等式x2-4x+2>0的解集为(-∞, 即不等式-x2+4x-2<0的解集为(-∞, 例4一元二次不等式x2+4x+m≥0对于一切实数x都成立，求m的取值范围． 解：因为不等式x2+4x+m≥0对于一切实数x都成立，所以对应的二次函数y=x2+4x+m的图像是开口向上的抛物线，且在x轴上方，如图所示． 也就是说，对应方程x2+4x+m=0的根的判别式Δ=42−4×1×m≤0. 解得m≥4． 因此，m的取值范围是[4，+∞)． 教师提问引导分析，学生观察思考求解. 例4的式子中含有参数，总结思路有： 解含参数的一元二次不等式的方法 (1)二次项的系数若含有参数,要分系数等于0、小于0、大于0讨论,然后将不等式的二次项系数化为正数. (2)若判别式不确定,则需讨论判别式与0的关系. (3)确定方程无实根时,可直接写出解集,确定方程有两个实数根时,要讨论两个实数根的大小关系,从而写出解集. 通过例题帮助学生掌握一元二次不等式的解法，培养学生的数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养提示学生使用适当的方法求解相应方程，不拘泥一种. 一元二次不等式的简单应用. 体验变式渗透转化和化归的思想. 巩固练习 练习2.3 1．不等式(x-2)(x-3)≥0的解集为( )． A．(−∞,2)(3，+∞) B．(−∞,2][3，+∞) C．[2,3] D．(2，3) 2．不等式2x-x2>0的解集为( )． A．(−∞,0)(2,+∞) B．(0,2) C．[0,2] D．R 3．不等式x2-2x+1≤0的解集为( )． A．{1} B．(−∞,1)(1,+∞) C．R D．⑦ 4．求下列一元二次不等式的解集： （1）5x2-x-6>0； （2）-x2+3x+10≥0； （3）2x2-5x-3<0； （4）2x-x2+3<0； （5）5x2-2x+1>0； （6）4x2-12x+9<0； （7）x2-3x+5>0； （8）2x-x2-3>0． 5．当x在什么范围取值时，有意义？ 6．若一元二次方程x2+mx+1=0无实数解，求m的取值范围． 学生的求解，教师巡视指导. 延伸类题目见PPT 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. 知识梳理 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上. （2） 完成《同步练习》2.3习题. 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾； 学而时习，夯实所学. 板书设计 2.3一元二次不等式 一元二次不等式 ax² + bx + c > 0 (或 < 0) (a ≠ 0) 不等式 → 方程 → 函数图像 解法回顾：求方程的根 → 不等式组的解 → 解集 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 多数学生能理解图像法解不等式的基本步骤，但部分同学对“开口方向（a的正负）”与解集区域（上方/下方）的对应关系存在混淆，需加强符号辨析.参数讨论对基础薄弱学生有一定难度，课堂参与度较低，需分层设计练习.学生板演练习时，部分同学未准确标注图像交点坐标，导致解集错误.后续通过集体订正强调“交点位置决定分界点”.时间分配上，参数讨论环节耗时较长，导致巩固练习时间压缩，下次需提前预设讨论深度.增加动态图像演示（如几何画板），直观展示a变化对图像和解集的影响，突破抽象难点.设计阶梯式练习：基础题（无参数）→ 简单参数讨论 → 综合应用，兼顾不同层次学生.强化“数形结合”思想引导，通过提问（“图像在x轴上方对应什么不等式？”）促进学生思维迁移.板书结构清晰，数形结合图示有效辅助理解；但参数讨论板书内容较简，下次可补充分类流程图. 课堂互动较好，但需关注沉默学生，增加小组互查环节. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$