1.2集合之间的关系（教案）-高教版《数学 基础模块上册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学基础模块上册》 第1章 集合 1.2集合之间的关系 一、教材 高等教育出版社《数学》（基础模块上册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 《集合之间的关系》在数学基础模块中占据着承上启下的关键地位。从知识脉络上看，它是在学生掌握了集合的概念、表示方法以及集合与元素的关系之后，进一步探讨集合之间的内在联系。这一内容既是对集合基础知识的深化与拓展，又为后续学习集合的运算等更复杂知识奠定了基础。在概念的讲解上，教材采用了文字语言、符号语言和图形语言相结合的方式。文字语言准确描述概念的内涵，符号语言简洁明了，便于表达和运算，图形语言则直观形象，能帮助学生建立概念的直观印象，三种语言的有机结合，使得概念的讲解更加全面和深入。同时注重通过实例和练习来巩固学生对概念的理解和应用。精心设计的例题和习题，涵盖了集合之间关系的各种常见情形，引导学生从不同角度思考问题，培养其运用集合知识解决问题的能力。 五、学情分析 中职学生对抽象概念的理解能力相对较弱。数学本就具有较强的抽象性，集合之间的关系更是如此，这使得他们在学习集合包含、相等、真子集等关系时，往往难以准确把握概念的本质。为了激发中职学生学习《集合之间的关系》的兴趣和积极性，可以采用生活化教学的方式，如班级同学的集合、校园内树木的集合等，将抽象的集合关系与具体的事物相结合，让学生感受到集合知识就在身边，从而激发他们的学习兴趣。还可以开展小组合作学习，让学生在小组内讨论集合关系的实例，共同解决相关问题。通过同伴之间的交流和合作，学生可以相互启发，在解决问题的过程中获得成就感，提高学习的积极性。同时，教师给予及时的鼓励和肯定，也能增强学生的自信心，使他们对集合知识的学习充满热情。 六、教学目标 1.准确判断两集合间的包含、相等关系，并且能熟练使用⊆、⊂、=等符号。 2.理解空集的特殊性质。 3.通过生活实例归纳集合关系，运用Venn图直观分析关系，小组协作解决实际问题。 4.培养分类讨论的逻辑思维，体会数学在职业场景中的应用价值。 七、教学重点 子集与真子集的定义、符号及判断方法。 八、教学难点 1.区分“元素与集合”（∈）和“集合与集合”（⊆）的关系； 2.空集是任何非空集合的真子集的理解。 3.两个无限集相等的判定。 十、教学方法 直观演示法：利用多媒体动画、韦恩图等直观工具展示集合之间的关系。例如，用不同颜色的圆圈叠加演示子集、真子集的区别，动态展示集合元素的增减过程，帮助学生建立直观印象。 问题驱动法：设计层层递进的问题链，引导学生在解决问题的过程中逐步深入理解集合关系。例如：“集合A是集合B的子集，能否推出B是A的子集？为什么？”通过追问引发学生思考，培养逻辑推理能力。 小组合作学习法：组织学生分组讨论和合作完成任务，如共同分析集合关系实例、绘制韦恩图、解决实际问题等。设置明确的小组分工（如记录员、汇报员等），确保全员参与。 讲练结合法：在讲解概念后，及时穿插针对性练习（如判断集合关系、绘制韦恩图等），通过师生共同评析，巩固知识点。练习设计分层次，兼顾基础巩固和拓展应用。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 引入 上节课我们学习了《集合及其表示》，知道有点集合元素多、有的集合元素少，有的集合元素是物品、有的是数……那它们之间有关系吗？又该如何描述这种关系呢？我们需要进一步学习集合的有关知识. 引出新知 情境导入 问题：二十四节气是古人通过观察天体运行，认知一年中的时令、气候、物候等的变化规律形成的知识体系，是我国古代农业文明的产物，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分．2016年，联合国教科文组织将二十四节气列入人类非物质文化遗产代表作名录．记集合Y={二十四节气}，集合 X={春季的节气}，集合Y与集合X之间有关系吗？如有，是怎样的关系呢？ 发现：集合Y与集合X之间是有关系的，集合X的每一个元素都是集合Y的元素. 创设情境，引发思考，联系实际 落实课程思政。 探索新知 一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 例如，集合C={1，3}，是集合D={1，3，5}的子集，可记作C⊆D(或D⊇C). 在数学中，我们经常用平面内封闭曲线的内部表示集合，这种图称为Venn图． 如图表示集合C与集合D的关系是C⊆D： 由子集的定义可知，任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 规定：空集是任何集合的子集. 如果集合A不是集合B的子集，记作A⊈B或B⊉A，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)． 例如，集合A={2，3}，集合B={2，4，5}，则集合A不是集合B子集，即A⊈B. 想一想： 符号“∈”与“⊆”有何区别？ 如何正确使用这两个符号呢？ 总结： 符号“∈”是“属于”用于元素与集合之间。 符号“⊆”是“包含”用于集合与集合之间。 归纳概念，强调符号书写规范；文氏图帮助学生数形结合思考问题，提升直观想象核心素养。 深入思考，让学生自己探究，教师总结。 情境导入 问题：集合M＝{两组对边分别平行的四边形}与集合N＝{两组对边分别相等的四边形}有怎样的关系？ 发现：“两组对边分别平行的四边形”和“两组对边分别相等的四边形”都是平行四边形，因此，集合M和集合N都是由平行四边形组成的集合，是相同的集合，它们的元素完全相同． 创设问题情境引出集合相等。 探索新知 一般地，如果集合A的元素与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，当集合A的每一个元素是集合B的元素，同时集合B的每一个元素也是集合A的元素时，即A⊆B且B⊇A时，A=B. 如图为用Venn图表示集合A与集合B的关系是A=B. 对于集合C={1，3}与集合D={1，3，5}，显然C⊆D，但是集合D的元素5不在集合C中，即5∈D，但5∉C. 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”． 上例中，集合C={1，3}是集合D={1，3，5}的真子集，CD或DC. 空集是任何非空集合的真子集. 想一想： 如果集合A是集合B的子集，那么可能有几种情况？ A=B，两集合中元素全部相同 A≠B，A中元素比B少（还要考虑A是不是空集） 易混概念辨析： 子集≠真子集 集合本身是子集，但不是真子集。 空集是任一集合的子集。√ 空集是任一集合的真子集。× 加深认识元素与集合关系明确集合元素特征。 例题讲解 例1用符号“∈”“∉”“”“”或“=”填空. （1）{1，2，3，4} {2，3}； （2）m {m} （3）N Z （4）0 （5）{1} {x|x-1=0} （6）{x|-2<x<3} {x|x≥-3} 分析：（1）（3）（5）和（6）研究的是集合与集合之间的关系，答案应该在符“”、“”或“=”中选取；（2）和（4）研究的是元素与集合之间的关系，答案应该在符号“∈”或“∉”中选取. 解：（1）集合{2，3}的元素都是集合{1，2，3，4}的元素，并且集合{1，2，3，4}的元素1和4不是集合{2，3}的元素，因此{1，2，3，4}{2，3}； （2）m是元素，{m}是由元素m组成的集合，因此m∈{m}； （3）自然数都是整数，但是负整数不是自然数，因此NZ； （4）空集是不含任何元素的集合，因此0不属于． （5）解方程x-1=0得x=1，解集用列举法表示为{1}，用描述法表示为{x|x-1=0}，因此{1}={x|x-1=0}； （6）这两个集合可用数轴表示如图． 可以看出，{x|-2<x<3}{x|x≥-3}． 学生按座位依次回答，大家来评判对错。 例2写出集合M={1，2，3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 解：集合M的所有子集为,{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}， {2，3}，{1，2，3}.其中，除{1，2，3}外，都是集合M的真子集. 学生板演，另一位学生来点评，最后老师总结罗列子集的方法，如何能补充不漏，深刻理解子集和真子集的区别。 探究与发现 试用Venn图表示数集N、Z、Q、R，并说出它们之间有什么关系？ 学生板演，教师点评，最后要求大家记到笔记本上。 要“不重不漏”写出集合的子集，核心是按元素个数分类列举.假设集合 A = {a1, a2, ..., an} （含 n 个元素），按“元素个数从0到 n”分类列举，是避免遗漏的关键。 笔记归纳 若集合A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。 试用Venn图表示数集N+、N、Z、Q、R之间的关系。 示范如何区分两个集合之间的包含关系和元素与集合之间的所属关系，体验常用的解决此类问题的方法。 数形结合解决问题提升直观想象核心素养。 巩固和区分子集和真子集概念。 写子集技巧总结。 巩固练习 练习1.2 1.用符号“∈”“∉”“”“”或“=”填空： （1）0 {0} （2） {0} （3）a {a，b，c} （4）{a} {a，b，c} （5）{-4，4} {x|x²=16} （6）{x|x>2} {x|x>3} 2.设集合M={a，b}，请写出集合M的所有子集，并指出其中的真子集. 3.判断下列各组集合之间的关系. （1）集合A={x∈Z|-2<x<3}与集合B={-1，0，1，2}； （2）集合C={x|x<-1}与集合C={x|x<0}. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺。 知识梳理 培养学生总结学习过程能力。 作业布置 1. 书面作业 完成《同步练习》1.2习题。 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾； 学而时习，夯实所学。 板书设计 子集定义及表示： ，文字语言描述，图形语言（Venn图示例） 真子集定义及表示： ，文字语言描述，图形语言（Venn图示例） 集合相等定义及表示： ，文字语言描述，图形语言（Venn图示例） 空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，符号“ ”表示 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 本次集合关系教学，成功之处在于巧妙地运用了生活化情境导入，以二十四节气的例子，激发了学生的学习兴趣。在概念讲解时，将文字、符号与图形语言相结合，让学生多维度理解集合关系。师生互动与生生互动环节，学生积极参与，讨论问题深入，有效巩固了知识。通过融入思政元素，学生不仅学到了知识，还培养了集体意识和责任感。练习设计层次分明，有助于学生灵活运用所学知识，这些教学方法都取得了良好的效果。 但是，教学中也存在一些问题。部分学生在理解真子集与子集的区别上仍存在困难，说明对难点突破还不够到位。在小组讨论时，有少数学生参与度不高，可能是分组不够合理或引导不够。练习的反馈显示，部分学生对复杂集合关系的应用还不够熟练，说明练习的针对性还需加强。 针对教学中的不足，未来将加强对难点知识的讲解，采用更多实例和反例，帮助学生区分真子集与子集。优化分组方式，根据学生的学习情况和性格特点合理分组，提高小组讨论的参与度。在融入思政元素时，深入挖掘知识点背后的思政内涵，使其与知识点的结合更加自然紧密。设计更多针对性练习，尤其是复杂集合关系的应用题，让学生通过大量练习熟练掌握知识，不断提升教学质量。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$