2.3一元二次不等式（课件）-高教版《数学 基础模块上册》（2023修订版）《上好课》

2.3 一元二次不等式 1 1．知道二次函数的图像、一元二次方程的解与一元二次不等式的解集之间的关系． 2．能选择求根公式法、因式分解法或配方法等求解一元二次方程． 3．能做出一元二次函数的简图． 4．能根据一元二次不等式对应的一元二次方程的解，结合其对应的二次函数的图像，写出一元二次不等式的解集． 学习目标 某中职学校毕业生王华到某公司应聘，公司要他为一个长3m、宽2m的工作台设计一块长方形台布，作为考核他的项目，具体要求是：台布的面积不能超过台面面积的2倍，且使台布四边垂下的长度相等.问：垂下的长度应该在什么范围内？ 情境导入 x x x x x x x x 假设台布四边垂下的长度为x m，则台布的长为3+2x，宽为2 +2x, (3+2x)(2 +2x)≤2×2×3 2x2 +5x -3≤0 解得x即可. 情境导入 像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为 ax²+bx+c>0 (a≠0) ． 上面不等式中的“＞”也可以换成“＜”“≥”或“≤” ． 例如，x²-9>0，3x²-2x-1≤0，-2x²+5x+4<0 等都是一元二次不等式． 探索新知 我们知道，当a＞0时，关于一元二次方程ax2＋bx＋c=0和二次函数y=ax2＋bx＋c之间有下表所示结论． 由表中函数y=ax2＋bx＋c的图像可以看出，图像在轴上方的部分所对应的函数值，即 ax2＋bx＋c＞0， 图像在轴下方的部分所对应的函数值 y，即 ax2＋bx＋c＜0． 探索新知 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，我们是能否借助它们之间的关系求解形如  ax2＋bx＋c＜0或ax2＋bx＋c＞0 这样的一元二次不等式呢？ 探索新知 下面先来分析一元二次不等式 x²-2x-3<0 和二次函数 y=x²-2x-3、一元二次方程x²-2x-3=0之间的关系． 如图(1)所示，二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于两点，方程x²-2x-3=0的解是 ， 也就是抛物线与 轴交点(-1，0)和(3，0)的横坐标． 探索新知 如图(2)所示，当 -1 < x < 3 时，函数的图像位于x 轴的下方，此时 y < 0 ． 下面先来分析一元二次不等式 x²-2x-3<0 和二次函数 y=x²-2x-3、一元二次方程x²-2x-3=0之间的关系． 探索新知 如图(3)所示，当x<-1或x>3时，函数的图像位于x轴的上方，此时y>0． 下面先来分析一元二次不等式 x²-2x-3<0 和二次函数 y=x²-2x-3、一元二次方程x²-2x-3=0之间的关系． 探索新知 不等式 x²-2x-3>0 的解集为(-∞，-1)∪(3，+ ∞)． 由此得到，不等式 x²-2x-3<0 的解集为(-1，3)； 探索新知 先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集． 按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 ( a>0 )和 ax2＋bx＋c<0 ( a>0 )的求解方法： 探索新知 探索新知 按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 ( a>0 )和 ax2＋bx＋c<0 ( a>0 )的求解方法： 先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集． (1)求根 （2）画图 （3）找范围 （4）写解集 探索新知 根据一元二次方程判别式的三种情况，将一元二次方程的解、二次函数图像和一元二次不等式的解集列表： . 探索新知 例1 求下列一元二次不等式的解集： （1） x²-x-6 < 0 ； 解（1）因为不等式的二次项系数1＞0， 对应方程x²-x-6=0 的解为 ， 对应的二次函数的图像如图所示． 所以不等式 的解集为 ． 例题辨析 16 例1 求下列一元二次不等式的解集： （2） x(x-3)≥0； 解（2）因为不等式的二次项系数1＞0， 对应方程 x(x-3)=0的解为x1=0， x2=3， 对应的二次函数的图像如图所示． 所以不等式x(x-3)≥0的解集为 ． 例题辨析 17 例1 求下列一元二次不等式的解集： （3） 2x²-4x+3<0 ； 解（3）因为不等式的二次项系数2＞0， 对应方程 2x²-4x+3=0 无实数解 （ ），对应的 二次函数的图像如图所示． 所以不等式2x²-4x+3<0的解集为 ． 例题辨析 18 例2 若 有意义， 试求x的取值范围． 解 要使 有意义，应该满足不等式 ． 因为不等式的二次项系数3＞0，对应方程 的解为 ，对应的二 次函数的图像如图所示． 所以不等式 的解集为 ． 例题辨析 即当 时， 有意义． 19 如何求解一元二次不等式 ？ 当二次项系数a＜0时，由不等式的性质，不等式两边同乘−1，不等号方向改变，就可以将a＜0的情形转化为a＞0的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可． 例题辨析 例3 求一元二次不等式-x2+4x-2<0的解集． 即当不等式-x2+4x-2<0的解集为 例题辨析 解 因为不等式的二次项系数为-1<0，所以将不等式的两边同乘-1，不等号方向改变，得到与原不等式同解的不等式 x2-4x+2>0， 其对应方程x2-4x+2=0的解为x1=2- ，x2=2+ ，对应的二次函数的图像如图所示． 所以不等式x2-4x+2>0的解集为 21 例4 一元二次不等式x2+4x+m≥0对于一切实数x都成立，求m的取值范围． 解 因为不等式x2+4x+m≥0对于一切实数x都成立，所以对应的二次函数y=x2+4x+m 的图像是开口向上的抛物线，且在x轴上方，如图所示． 也就是说，对应方程x2+4x+m=0 的根的判别式 解得m≥4． 因此，m的取值范围是[4，+∞)． 例题辨析 22 例4的式子中含有参数，总结思路有： 解含参数的一元二次不等式的方法 (1)二次项的系数若含有参数,要分系数等于0、小于0、大于0讨论,然后将不等式的二次项系数化为正数. (2)若判别式不确定,则需讨论判别式与0的关系. (3)确定方程无实根时,可直接写出解集,确定方程有两个实数根时,要讨论两个实数根的大小关系,从而写出解集. 例题辨析 方法总结： 如果二次函数能直接进行因式分解,则分解因式得方程的根,再结合图象得出解集;若不能直接分解因式,则要结合判别式进行求解.最终结果必须是集合形式. 例题辨析 1.判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)不等式ax2+x-1>0一定是一元二次不等式.( ) (2)2x2+3y2+1≠0是一元二次不等式.( ) (3)一元二次不等式的解集可能有无穷多个.( ) (4)一元二次不等式的解集可能是空集.( ) 巩固练习 2.不等式(x-2)(x-3)≥0的解集为（ ）． A.(-∞，2)∪(3，+∞ ) B. (-∞，2]∪[3，+∞ ) C. [2，3] D. (2，3) 3.不等式2x-x² >0的解集为（ ）． A. (-∞，0)∪(2，+∞ ) B. (0，2) C. [0，2] D. R 4.不等式x²-2x+1 ≤0的解集为（ ）． {1} B. (-∞，1)∪(1，+∞ ) C. R D. 巩固练习 B A B 26 5. 解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0(a≥0). 分析:根据题意,分别求出a=0和a>0时,不等式的解集. 巩固练习 归纳总结 1.完成《同步练习》2.3习题。 2.查漏补缺：根据个人情况复习回顾课堂所学，整理完善课堂笔记。 作业布置 好好学习 天天向上 Lavf58.29.100 解:当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1; 当a>0时,原不等式化为(ax-2)(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1. 综上所述,a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1}, a>0时,不等式的解集为. $$