2.1.2不等式基本性质——不等式的性质（课件）-高教版《数学 基础模块上册》（2023修订版）《上好课》

2.1.2不等式基本性质 不等式的性质 1 1.能举例说明不等式的基本性质，能利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系。 2.通过小组探究培养逻辑推理能力，学会用数学语言描述现实问题。 3.感悟数学规则的普适性，培养“规则意识”，增强社会责任感。 学习目标 问题：等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示 文字语言 符号语言 性质1 性质2 等式两边都加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式 等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式 如果 a = b, 那么 a±c = b±c 如果 a = b, 那么 ac = bc ， 复习回顾 不等式也有这样的性质吗？如何研究不等式的性质呢？ 观察 在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为 a，b 的砝码. 图中天平倾斜，说明 a＞b. 探索新知 这时，如果在两端托盘中同时加上质量为 c 的砝码， 天平的倾斜方向会改变吗？这反映的数量关系是什么呢？ + c - c 图中天平仍然倾斜 a + c ＞ b + c 如果把 c 拿走呢？ 探索新知 + c 探索新知 - c 如果 a ＞b，那么 a + c ＞ b + c，a – c ＞ b – c . 可以用作差比较法证明性质1． 由 a > b，得 a-b>0，于是 (a+c)-(b+c)= a+c-b-c =a-b >0 ． 所以 a + c >b + c ． 性质1的证明 探索新知 性质1表明，不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变．因此性质1也称为不等式的加法法则． 同时，不等式的任何一项可以从不等式的一边移到另一边，但同时要改变符号．这条结论也称为移项法则． 探索新知 思考：对于倾斜的天平，如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平的倾斜方向会改变吗？ 利用数字进行分析 探索新知 用“ > ”或“ < ”完成下列两组填空. 第一组： 6 ______ 2 6 × 5 ______ 2 × 5 第二组： -2 ______ 3 -2 × 6 ______ 3 × 6 > > < < 6 ÷ 5 ______ 2 ÷ 5 > -2 ÷ 6 ______ 3 ÷ 6 < 观察这两组不等式，你发现了什么？ 探索新知 性质2 如果a>b，c>0 ，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac< bc． 性质2表明，不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 性质2也称为不等式的乘法法则． 探索新知 证明 由a>b， b>c ，得 a-b>0，b-c>0； 所以 a-c=a-b+b−c=(a-b)+(b-c)>0， 由此得 a>c． 性质3 如果a>b，b>c，那么a>c． 性质3表明不等式具有传递性． 探索新知 性质4也称为同向不等式的可加性． 性质4 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d． 证明 由a＞b， c＞d ，由性质1，得 a+c>b+c， b+c > b+d. 由性质3，得 a+c>b+d. 探索新知 例4 用符号“>”或“<”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质． 解 （1）根据不等式性质1，不等式两边同时减去5，不等号方向不变，即a． （1）如果a < b，那么a-5 b-5； 例题辨析 例4 用符号“>”或“<”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质． （2）根据不等式性质1，不等式两边同时加上4，不等号方向不变，即 a， 又因为，所以根据不等式性质3，可以得到 a． （2）如果a，那么a+4 b+2； 解 读一读 本题也可以根据不等式的性质1和性质3，由a+4>b+4>b+2得到 ． 例题辨析 解 例4 用符号“>”或“<”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质． （3）根据不等式性质2，不等式a<b两边同时除以-2，不等号方向改变，即 ． （3）如果a<b，那么 ， ； 例题辨析 解 例4 用符号“>”或“<”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质． （4）根据不等式性质2，不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，即， 再仿照（2）的方法，可以得到 ． （4）如果a>b，那么3a-2 3b-3 ． 例题辨析 例5 若 ， ，试证明 ． 解 因为a>b，c>0 ，由不等式的性质2得 ac>bc. 同理，由c>d，b>0 ，得 bc>bd. 因此，由不等式的性质3可得ac>bd ． 读一读 本题也是不等式的性质之一：两边都是正数的同向不等式，两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 例题辨析 例6 如果代数式 与代数式 的差不大于2，求x的取值范围． ， 解 由题可知 ， 化简得 ， 因此 ， 故 . 所以x的取值范围是 ． 例题辨析 等式与不等式的基本性质有哪些相同点和不同点？ 类别 相同点 不同点 不等式 等式 (1)两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等式和等式仍然成立； (2)两边都乘以(或除以)同一个正数，不等式和等式仍然成立. 两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. 两边都乘以(或除以)同一个负数，等式仍然成立. 巩固练习 1．已知a＞b，用符号“＞”或“＜”填空： （1）a+1 b+1； （2）-5a -5b； （3）3a+3 3b+2． 巩固练习 > > < 2．判断下列结论是否正确，并说明理由． （1）如果且，那么； （2）如果，那么； （3）如果，那么． 巩固练习 否 是 否 3．如果代数式 与代数式 的差不小于3，求x的取值范围． 巩固练习 解: 故x的取值范围为{x|x≥5} 4. 若m > n，判断下列不等式是否正确. (1) m - 7 < n – 7. ( ) (2) 3m < 3n . ( ) (3) -5m > -5n . ( ) (4) ( ) × × × √ 巩固练习 归纳总结 1.完成《同步练习》2.1.2。 2.查漏补缺：根据个人情况复习回顾课堂所学，整理完善课堂笔记。 作业布置 好好学习 天天向上 $$