2.1.2不等式基本性质——不等式的性质（教案）-高教版《数学 基础模块上册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学基础模块上册》 第1章 集合 2.1.2不等式基本性质--不等式的性质 一、教材 高等教育出版社《数学》（基础模块上册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本课是数学的基础理论之一，与方程、函数等核心概念紧密相连，是解决数学问题的重要工具。在后续学习中，学生会频繁用到不等式基本性质来求解各类不等式问题，如一元一次不等式、一元二次不等式等。它为学生提供了一种分析数量关系的数学思维模式，帮助学生从更广泛的角度理解数学的本质。通过对不等式基本性质的学习，学生能更好地理解现实世界中不等关系的普遍存在，培养逻辑思维能力和问题解决能力，为后续的数学学习和实际应用奠定坚实基础。 五、学情分析 中职学生在数学学习上存在一定基础差异。部分学生掌握了一些基本的数学运算和概念，如实数运算、简单的方程求解等，这为学习不等式基本性质提供了一定的知识支撑。他们能理解不等式的基本含义，如“大于”“小于”的概念，也能进行简单的实数大小比较。然而，也有不少学生在初中阶段数学基础较为薄弱，对一些数学概念理解不深，如对实数的分类和性质掌握不够清晰，这可能会影响他们对不等式性质中涉及实数运算的理解。在不等式基本性质的学习上，学生可能会在不等式两边同时乘除负数时改变不等号方向这一性质上出现混淆，难以准确判断不等号的变化。 六、教学目标 1.能举例说明不等式的基本性质，能利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系。 2.通过小组探究培养逻辑推理能力，学会用数学语言描述现实问题。 3.感悟数学规则的普适性，培养“规则意识”，增强社会责任感。 七、教学重点 不等式可加性与可乘性的理解与应用。 八、教学难点 可乘性中“乘负数不等号反向”的辩证理解。 九、教学方法 启发式教学：在不等式基本性质教学中，教师可先给出一些具体的不等式实例，引导学生观察两边数字变化与不等号的关系。 多媒体辅助教学：利用多媒体将抽象的不等式性质通过生动的动画、视频等形式呈现。 实例教学：通过实例教学，能让学生更好地理解不等式基本性质。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 引入 比较两个实数大小的作差比较法为研究不等关系奠定了基础．那么，如何用这个方法研究不等式的性质呢？ 复习回顾等式的性质： 文字语言 符号语言 性质1 等式两边都加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式 如果 a = b, 那么 a±c = b±c 性质2 等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式 如果 a = b, 那么 ac = bc ， 不等式也有这样的性质吗？如何研究不等式的性质呢？ 引出新知 复习所学知识，类比学习，更容易接受。 探索新知 在义务教育阶段，我们学习过一些不等式的性质. 用天平演示性质1、2，生动直观。 性质1如果a>b，那么a+c>b+c． 可以用作差比较法证明性质1． 由a>b，得a-b>0，于是(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b>0．所以a+c>b+c． 性质1表明，不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变． 因此性质1也称为不等式的加法法则． 利用不等式的加法法则，容易证明：如果a+b>c，那么a-c>b． 这表明，不等式的任何一项可以从不等式的一边移到另一边，但同时要改变符号．这条结论也称为移项法则． 性质2如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac<bc． 性质2表明，不等式两边同时乘(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 性质2也称为不等式的乘法法则． 性质3如果a>b，b>c，那么a>c． 证明由a＞b，b＞c，有a−b＞0，b−c＞0； 所以a-c＝a−b＋b−c=(a−b)＋(b−c)＞0，由此得a>c. 性质3表明不等式具有传递性． 我们也可以借助数轴来看不等式的传递性．如图2-4所示，对于实数a、b和c，它们在数轴上分别对应点A、B和C，由a>b，所以点A在点B的右边，又因为b>c，即点B在点C右边，所以三个点从左到右依次为点C、点B和点A，即a>b>c． 利用已有的性质可以证明如下结论： 性质4如果a>b，c>d，那么a+c>b+d． 性质4也称为同向不等式的可加性． 证明因为a>b，c>d，由性质1得a+c>b+c，b+c>b+d， 由性质3得a+c>b+d． 教师回顾义务教育阶段学习过的不等式性质，引导学生进一步认识和思考。 学生领会、分析、探究。 通过利用“作差比较法”让学尝试进行一些等式性质的证明，了解性的证明步骤和方法，培养学生直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养。 引导学生体验性质在不等式运算中的实际应用。 展示作差比较法在实际应用中的一些常用方法。 提升直观想象核心素养。 展示知识之间内在的联系及性质的进一步应用。 例题讲解 例4用符号“>”或“<”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质． （1）如果a<b，那么a-5b-5； （2）如果a>b，那么a+4b+2； 如果a<b，那么； （4）如果a>b，那么3a-23b-3． 解：（1）根据不等式性质1，不等式a<b两边同时减去5，不等号方向不变，即a-5<b-5． （2）根据不等式性质1，不等式a>b两边同时加上4，不等号方向不变，即 a+4>b+4，又因为b+4>b+2，所以根据不等式性质3，可以得到a+4>b+2． （3）根据不等式性质2，不等式a<b两边同时除以-2，不等号方向改变，即 （4）根据不等式性质2，不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，即 3a>3b，再仿照（2）的方法，可以得到3a-2>3b-3． 例5若a>b>0，c>d>0，试证明ac>bd． 解：因为a>b，c>0，由不等式的性质2得ac>bc． 同理，由c>d，b>0，得bc>bd． 因此，由不等式的性质3可得ac>bd． 例6如果代数式6x+7与代数式3x-5的差不大于2，求x的取值范围． 解：由题可知(6x+7)(3x-5)≤2，化简得3x+12≤2， 因此3x≤2-12， 故 所以x的取值范围是． 类别 相同点 不同点 不等式 (1)两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等式和等式仍然成立； (2)两边都乘以(或除以)同一个正数，不等式和等式仍然成立. 两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. 等式 两边都乘以(或除以)同一个负数，等式仍然成立. 等式与不等式的基本性质有哪些相同点和不同点？ 探究与发现 如果a>b，c>d，是否有“a-c>b-d”成立呢？如果成立，请说明理由；否则，请举出反例。 小组讨论，教师归纳结果。 结论：a>b 且 c>d 时，a−c>b−d 不一定成立。 反例：取 a=5, b=3, c=4, d=1，则 5−4=1>3−1=2。 关键：减法不保序，需满足 a−b>c−d 才成立。 帮助学生巩固不等式基本性质的应用，培养学生的逻辑推理和数学抽象等核心素养。 对不等式性质加深认识。 巩固作差比较法，为后续解不等式做铺垫。 巩固练习 练习 2.1.2 1．已知 a＞b，用符号“＞”或“＜”填空: （1）a+1 b+1； （2）-5a -5b； （3）3a+3 3b+2． 2．判断下列结论是否正确，并说明理由． （1）如果 a<b 且 b<c，那么 a<c； （2）如果 a>b，那么 a2>b2； （3）如果 a>b 且 c>d，那么 a+c>b+d． 3．若代数式 3x-5 与代数式 x+2 的差不小于 3，求x 的取值范围． 4.延伸类题目。 教师巡视指导，学生思考求解。 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 知识梳理 培养学生总结学习过程能力。 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上。 （2） 完成《同步练习》2.1.2； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾； 学而时习，夯实所学。 板书设计 2.1.1不等式基本性质--不等式的性质 传递性：a>b且b>c ⇒ a>c （类比年龄链） 对称性：a>b ⇔ b<a （天平两端互换） 可加性：a>b ⇒ a±c > b±c （数轴平移不变） 可乘性： • c>0时：a>b ⇒ ac>bc • c<0时：a>b ⇒ ac<bc （镜像反转） 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 通过生活实例导入，激发了学生的学习兴趣，使抽象知识变得生动易懂。启发式教学与小组合作学习的运用，让学生主动参与，积极思考，增强了学生的逻辑思维能力和团队协作精神。分层练习设计合理，满足了不同层次学生的学习需求，有效巩固了所学知识。教学中也存在一些问题。部分学生在理解不等式两边同时乘除负数时仍有困难，说明对该难点的讲解和练习还不够深入。互动环节中，个别学生参与度不高，可能是问题设置不够贴合他们的思维水平。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$