2.1.1不等式基本性质——实数的大小（教案）-高教版《数学 基础模块上册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学基础模块上册》 第1章 集合 2.1.1不等式基本性质--实数的大小 一、教材 高等教育出版社《数学》（基础模块上册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本课是后续学习不等式知识的基石，为理解不等式解集、不等式应用等知识奠定基础。帮助学生建立数形结合思想，培养逻辑推理和比较分析能力。通过学习，学生不仅能掌握实数大小比较的方法，还能初步认识不等式的性质，为进一步探索数学的奥秘开启新的大门，是学生构建完整数学知识体系不可或缺的一环。 五、学情分析 在实数相关知识方面，大部分学生能理解实数的概念，知道实数包括有理数和无理数，但对于无理数的认识较为模糊。在有理数知识上，学生掌握了有理数的运算，但对于运算规则的灵活运用存在不足，这可能会影响实数大小比较的学习。部分学生对数轴的认识不够深入，不会利用数轴比较实数大小，这些知识基础的不扎实，都需要在教学中予以关注和强化，以便确定合适的教学起点。 六、教学目标 1.掌握实数大小比较的数轴法、作差法和作商法，能准确判断任意两个实数的大小关系。 2．通过实例引入实数大小比较问题，引导学生观察、分析、归纳出比较方法，培养逻辑思维能力。 3．在解决问题的过程中，逐步掌握不等式基本性质的应用，提高分析问题和解决问题的能力。 七、教学重点 实数大小比较的数轴法、作差法和作商法。 八、教学难点 作差法比较代数式的大小。 九、教学方法 启发式：在实数大小比较教学中，可通过提问“如何判断两个实数的大小？” 实例教学：以学生身高为例，引入实数大小比较概念，让学生直观感受比较的必要性。 探究式：组织学生探究实数大小比较方法时，可给出几组不同形式的实数，让学生分组讨论比较方法，并尝试总结规律。在探究过程中加深对实数大小比较的理解，培养创新思维和自主学习能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 引入 几位同学身高不同，引出数比大小。 引出新知 情境导入 与相等关系相比，不等关系在现实世界中更为普遍．我们知道，不等式就是描述不等关系的一种重要的数学表示形式，我们将通过实数大小的比较，来研究不等式的基本性质． 两个周长相等的矩形，如图所示，它们的面积哪个更大呢？ 图（1）所示为正方形，面积为3cm×3cm=9cm2； 图（2）所示为长方形，面积为4cm×2cm=8cm2． 由于9−8=1＞0，所以它们的面积不相等，且图（1）所示正方形的面积大于图（2）所示矩形的面积． 教师展示情境，提出问题，引导学生观察分析。 学生观察情境，思考问题，计算分析判断。 从具体的问题引导学生发现两个实数大小比较 的方法，使学生能够顺利完成比较大小的抽象过程，培养学生数学抽象的核心素养。 探索新知 一般地，对于任意实数a，b，如果a-b>0，那么称a大于b（或b小于a）． 因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数a，b都可以在数轴上找到对应的点A和B，如图所示． 显然，当点A在点B的右边时，a>b；当点A在点B的左边时，a<b；当点A与点B重合时，a=b. 关于实数a，b的大小关系，可以通过以下运算来表示： a>ba−b>0a<ba−b<0 a=ba−b=0 由此可知，要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法． 教师精炼语言讲解关键词语，数形结合提出数轴表示的意义，强调解释 等价符号，归纳总结。 学生体会理解、分析“作差比较法的”内涵。 师生共同总结两个实数比较大小的方法，并利用数轴进一步说明，数形结合深化“作差比较法”，培养学生直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养。 例题讲解 例1比较与的大小． 解：因为 所以＞。 例2比较(x+1)(x+2)与3x-1的大小． 解：因为(x+1)(x+2)-(3x-1)=(x2+3x+2)-(3x-1)=x2+3>0， 所以(x+1)(x+2)>3x-1． 例3比较2x²-x与x²+2x-3的大小． 解：因为(2x²-x)-(x²+2x-3) 对任意实数x，都有所以 故2x²-x>x²+2x-3． 探究与发现 设a，b均为实数，试比较a²+b²-ab与ab的大小． PPT展示问题，学生讨论，各组派代表作答。 解题思路：要比较两个表达式的大小，通常可以采用作差法，即计算它们的差，然后通过因式分解或配方法判断符号。 学生展示，最后教师出示答案，同时提醒学生答题规范、步骤完整。 (a2+b2−ab)−ab=a2+b2−2ab=(a−b)2（这是一个完全平方公式） 分析符号：由于 (a−b)2 是一个平方项，对于任意实数 a,b，都有：(a−b)2≥0 当且仅当 a=b 时，(a−b)2=0。 结论：一般情况下，a2+b2−ab≥ab；当且仅当 a=b 时，a2+b2−ab=ab。 想一想： 实数比大小，除了上面学习的作差比较法，还有其它的方法吗? 小组讨论，教师示例讲解，汇总方法。 （1）数轴法（直观比较）将数表示在数轴上，左边的数恒小于右边的数。 适用场景：比较具体数值（如与1.414）。 （2） 中间值法（验证选项）取适当的中间值代入检验。 √3与1.8，可取1.74（√3≈1.732）与1.8比较， ∵1.74＜1.8， ∴√3＜1.8. 注意：中间值的选取要根据具体实数灵活确定，以简化比较过程 （3） 作商法（商大于1则前者大，商小于1则后者大） 作商法比大小需要注意： ★符号一致性​：必须确保两数同号​（同正或同负），否则商的正负会影响不等号方向。 ★分母不为零​ 方法（4）平方法 适用场景：比较无理数。 【同学们可以记笔记了】 帮助学生掌握“作差比较法”的基本步骤，培养学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。 通过作差法比较两个代数式的大小。灵活运用完全平方公式进行因式分解。理解非负性（平方数 ≥0）在不等式证明中的应用。 巩固练习 练习2.1.1 1． 比较下列各组实数的大小． （1）与 （2）与 （3）与0.83 2．若a>b，比较2a-1与2b-1的大小． 3．比较x2-1与2x2+3的大小． 4.比较x²-x与x-2的大小． 教师巡视，学生求解。 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 知识梳理 培养学生总结学习过程能力。 作业布置 1. 书面作业 完成《同步练习》2.1.1； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾； 学而时习，夯实所学。 板书设计 2.1.1不等式基本性质--实数的大小 实数大小比较： 作差法（差为正则前者大，差为负则后者大） 数轴法（数轴方向、对应点位置） 作商法（商大于1则前者大，商小于1则后者大） 特殊值法（验证选项） 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 在实数大小比较和不等式基本性质教学中，采用启发式、实例和探究式教学成效显著。通过引导学生思考、联系生活实例及自主探究，学生能较好地掌握实数大小比较的数轴法、作差法和作商法，以及不等式的基本性质。课堂互动活跃，学生参与度高，练习环节巩固了知识，也培养了学生的逻辑思维能力和科学精神，为后续学习奠定了良好基础。但部分学生在实数大小比较的联系上存在困难，容易混淆性质成立的条件，尤其是两边同时乘以或除以负数时不等号的变化。课堂时间分配不够合理，实例讲解占用时间较多，导致练习时间略显紧张，一些学生未能充分完成练习。还有个别学生参与互动不积极，影响了整体学习效果。通过更多的类比和对比练习，帮助学生深入理解。优化时间分配，合理安排实例讲解和练习时间，确保学生有足够的时间进行巩固练习。对于参与互动不积极的学生，可采取小组帮扶、个别鼓励等方式，激发其学习积极性，提高课堂参与度，提升整体教学质量。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$